1/12021北京重點(diǎn)校高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編集合的基本運(yùn)算一、單選題1．（2021·北京八中高一期中）對(duì)于集合A，定義了一種運(yùn)算“”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素，使得對(duì)任意，都有，則稱元素e是集合A對(duì)運(yùn)算“”的單位元素.例如：，運(yùn)算“”為普通乘法：存在，使得對(duì)任意都有，所以元素1是集合R對(duì)普通乘法的單位元素.下面給出三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“”：①，運(yùn)算“”為普通減法；②，運(yùn)算“”為普通加法；③（其中M是任意非空集合，運(yùn)算“”為求兩個(gè)集合的交集.（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③2．（2021·北京·人大附中高一期中）已知全集，，，則（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）若集合，則（

）A． B．C． D．4．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知集合，，則（

）A． B．C． D．5．（2021·北京八十中高一期中）如圖中陰影部分所表示的集合是（）A． B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪C）∩（?UB） D．6．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知集合，則（

）A．{1} B．{-1}C．{1，2} D．{1，2，3，4}7．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知集合，集合，那么（

）A． B． C． D．8．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知集合，那么等于（

）A． B． C． D．9．（2021·北京八中高一期中）若集合，，則集合（

）A． B． C． D．10．（2021·北京八十中高一期中）設(shè)集合，，則A． B． C． D．11．（2021·北京師大附中高一期中）已知集合，那么A．（-1,2） B．（0，1） C．（-1,0） D．（1,2）12．（2021·北京四中高一期中）設(shè)集合M={-1,0,1}，N={|=}，則M∩N=A．{-1，0，1} B．{0,1} C．{1} D．{0}二、填空題13．（2021·北京八中高一期中）稱有限集S的所有元素的乘積為S的“積數(shù)”，給定數(shù)集，則集合M的所有偶數(shù)個(gè)元素的子集的“積數(shù)”之和為_(kāi)__________.14．（2021·北京八中高一期中）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)__________.15．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）設(shè)集合A是集合的一個(gè)子集，對(duì)于，定義如下的三個(gè)結(jié)論中：①存在的兩個(gè)不同子集A，B，，都有且；②任取的兩個(gè)不同子集A，B，，都有；③設(shè)，則，都有.正確結(jié)論的序號(hào)是：______________.16．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）設(shè)集合，則________.17．（2021·北京·人大附中高一期中）設(shè)集合，其中為實(shí)數(shù)，令，，若中的所有元素之和為6，中的所有元素之積為_(kāi)________．18．（2021·北京·北師大二附中高一期中）設(shè)，集合，，若，則__________．三、解答題19．（2021·北京師大附中高一期中）設(shè)，已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）對(duì)于任何給定集合S，用表示集合S的元素個(gè)數(shù)，用表示集合S的子集個(gè)數(shù).已知集合A，B，C滿足下列兩個(gè)條件：①，②，求的最小值.21．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知集合(1)若，全集，求；(2)從條件①和條件②選擇一個(gè)作為已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍.條件①∶若；條件②∶若22．（2021·北京·人大附中高一期中）已知集合，對(duì)于A的一個(gè)子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)S中的任意一對(duì)元素，，都有，則稱S具有性質(zhì)P.(1)當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由.(2)當(dāng)時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P.①集合是否一定具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由；②求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值.23．（2021·北京·清華附中高一期中）設(shè)，集合，若個(gè)互不相同的非空集合，同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件，則稱是集合的“規(guī)范子集組”①；②對(duì)任意的，要么，要么中的一個(gè)是另一個(gè)的子集．(1)直接寫出集合的一個(gè)“規(guī)范子集組”(2)若是集合的“規(guī)范子集組”，（?。┣笞C：中至多有1個(gè)集合對(duì)，滿足且；（ⅱ）求的最大值24．（2021·北京·清華附中高一期中）已知集合，集合(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．25．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）對(duì)于一個(gè)所有元素均為整數(shù)的非空集合，和一個(gè)給定的整數(shù)，定義集合.(1)若，直接寫出集合，和；(2)若，其中，，求的值，使得集合中元素的個(gè)數(shù)最少；(3)寫出所有滿足的整數(shù)和，使得當(dāng)集合時(shí)，有，并說(shuō)明理由.26．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，集合，集合，且集合滿足，.（1）求實(shí)數(shù)的值.（2）對(duì)集合，其中.定義由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合，，其中是有序?qū)崝?shù)對(duì)，集合和中的元素的個(gè)數(shù)分別為和，若對(duì)任意的總有，則稱集合具有性質(zhì).①請(qǐng)檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)，并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和.②試判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.27．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.28．（2021·北京市第五中學(xué)高一期中）已知集合…，…，，對(duì)于…，，B＝（…，，定義A與B的差為…，A與B之間的距離為.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）證明：對(duì)任意，有（i），且；（ii）三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；（Ⅲ）對(duì)于……，再定義一種A與B之間的運(yùn)算，并寫出兩條該運(yùn)算滿足的性質(zhì)（不需證明）

參考答案1．D【解析】根據(jù)單位元素的定義，對(duì)三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“”進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：①若，運(yùn)算“”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒(méi)有單位元素；②，運(yùn)算“”為普通加法，其單位元素為0；③（其中是任意非空集合），運(yùn)算“”為求兩個(gè)集合的交集，其單位元素為集合．故選：D．2．C【解析】根據(jù)補(bǔ)集、并集的定義可求解.【詳解】，，，，.故選：C.3．D【解析】利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧?，所以，故選：D4．A【解析】根據(jù)交集的定義，即得解【詳解】由題意，根據(jù)交集的定義故選：A5．A【解析】根據(jù)韋恩圖的意義，結(jié)合集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)韋恩圖的意義，陰影部分表示的集合為：集合與在集合中的補(bǔ)集的交集.故可表示為：.故選：A.6．A【解析】直接根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：A7．A【解析】求得集合，集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，所以.故選：A.8．C【解析】直接利用交集的定義求解即可【詳解】解：因?yàn)榧希?，故選：C9．D【解析】直接利用集合交集的定義求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題..10．C【解析】由集合間的交運(yùn)算求解即可.【詳解】∵集合，，∴．故選．【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交運(yùn)算;屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】利用數(shù)軸，取所有元素，得．【名師點(diǎn)睛】對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問(wèn)題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理．12．B【解析】M="{-1,0,1}"M∩N={0,1}【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的基本運(yùn)算，較簡(jiǎn)單，易得分.先求出，再利用交集定義得出M∩N13．【解析】令，設(shè)的所有偶數(shù)個(gè)元素子集的“積數(shù)”之和為，所有奇數(shù)個(gè)元素的子集“積數(shù)”之和為，進(jìn)而根據(jù)，求解即可.【詳解】解：數(shù)集中共有99個(gè)不同的元素，設(shè)的所有偶數(shù)個(gè)元素子集的“積數(shù)”之和為，所有奇數(shù)個(gè)元素的子集“積數(shù)”之和為，令，所以，所以，，所以故答案為：14．1【解析】由已知得，即有，解得或，分別代入檢驗(yàn)可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足集合的元素的互異性，故舍去，綜上得，故答案為：1.15．①③【解析】對(duì)題目中給的新定義要充分理解，對(duì)于，或，可逐一對(duì)命題進(jìn)行判斷，舉實(shí)例例證明存在性命題是真命題，舉反例可證明全稱命題是假命題．【詳解】∵對(duì)于,定義,∴①例如正奇數(shù),正偶數(shù),∴,∴且,故①正確；②例如：,當(dāng)時(shí),；,；∴；故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則，則且，或且，或且，∴；若，則，則且，∴；∴任取的兩個(gè)不同子集，對(duì)任意都有，故③正確．∴所有正確結(jié)論的序號(hào)是：①③．故答案為：①③．16．【解析】先求得，由此求得正確答案.【詳解】，，，所以.故答案為：17．【解析】根據(jù)中的元素的和為6可得的元素，從而可求中的元素，從而可得各元素的積，注意分類討論.【詳解】因?yàn)椋?，故，所以，若，則或（舍），此時(shí)，故中的所有元素之積為.若，則，這與或，這與中的所有元素之和為6矛盾.若，則或（舍），此時(shí)，這與中的所有元素之和為6矛盾.若，則，則，即，無(wú)解.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于集合中元素的確定問(wèn)題，注意利用元素的互異性、確定性和無(wú)序性來(lái)分類討論.18．1或2【解析】，解方程可得因?yàn)?，所以，?dāng)m=1時(shí)，滿足題意；當(dāng)，即m=2時(shí)，滿足題意，故m=1或2.19．(1)或；(2).【解析】（1）根據(jù)并集和補(bǔ)集的概念即可求出結(jié)果；（2）由題意可得，解不等式組即可求出結(jié)果.(1)當(dāng)時(shí)，，且，則，所以或；(2)因?yàn)椋?，所以需滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．97【解析】由題知即，再利用容斥原理可得，，進(jìn)而可得，即求.【詳解】∵，∴，又∴，即，∴，又，∴，但，∴，同理，∴，當(dāng)時(shí)，，綜上，的最小值為97.21．(1)(2)條件①：；條件②：或【解析】（1），集合已知，根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義即可求解（2）條件①∶若，說(shuō)明；條件②∶若，則的范圍與的范圍沒(méi)有公共部分，從而可以求解實(shí)數(shù)的取值范圍(1)由題得：集合，因?yàn)?，所以集合，全集，所?2)選擇條件①因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由?）得：，若，則，解得：選擇條件②因?yàn)?，，且，則或22．(1)集合B不具有性質(zhì)P，集合C具有性質(zhì)P，理由見(jiàn)解析；(2)①T具有性質(zhì)P，理由見(jiàn)解析；②1346【解析】(1)當(dāng)時(shí),，結(jié)合新定義的性質(zhì)P可知集合不具有性質(zhì)；集合具有性質(zhì).(2)當(dāng)時(shí),,①根據(jù)，任取，其中，可得，利用性質(zhì)的定義加以驗(yàn)證即可說(shuō)明集合具有性質(zhì)；②設(shè)集合S有個(gè)元素，由①可知，任給，，則與中必有個(gè)不超過(guò)，從而得到集合S與中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過(guò)，然后利用性質(zhì)的定義進(jìn)行分析即可求得，即，解此不等式得.(1)當(dāng)時(shí)，集合，不具有性質(zhì)P.因?yàn)閷?duì)任意不大于5的正整數(shù)m，都可以找到該集合的兩個(gè)元素與，使得成立.集合具有性質(zhì)P.因?yàn)榭扇?，?duì)于該集合中任意的兩個(gè)元素，使得；(2)當(dāng)時(shí)，集合，，①若集合S具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).首先因?yàn)?，任取，其?因?yàn)?，所?從而，即，所以.由S具有性質(zhì)，可知存在不大于的正整數(shù)，使得對(duì)S中的任意一對(duì)元素、，都有.對(duì)于上述正整數(shù)，從集合中任取一對(duì)元素，，其中、，則有.所以，集合具有性質(zhì)；②設(shè)集合S有個(gè)元素，由①可知，若集合S具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).任給，，則與中必有一個(gè)不超過(guò).所以集合S與中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過(guò).不妨設(shè)S中有個(gè)元素、、、不超過(guò).由集合S具有性質(zhì)，可知存在正整數(shù).使得對(duì)S中任意兩個(gè)元素、，都有.所以一定有、、、.又，故、、、.即集合A中至少有個(gè)元素不在子集S中，因此，所以，得.當(dāng)時(shí)，取，則易知對(duì)集合S中的任意兩個(gè)元素、，都有，即集合S具有性質(zhì).而此時(shí)集合S中有個(gè)元素，因此，集合S元素個(gè)數(shù)的最大值為.點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.23．(1)(2)（?。┮?jiàn)解析；（ⅱ）【解析】（1）根據(jù)題意寫出答案即可；（2）（?。├梅醋C法證明即可；（ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，令，這樣取出的個(gè)集合滿足題意，用數(shù)學(xué)歸納法證明，將分為三類：①全集；②不為全集，且與的交集不為空集；③與的交集為空集，討論從而可得出答案.(1)解：設(shè)，令，則滿足且，所以的一個(gè)“規(guī)范子集組”為；(2)（?。┳C明：利用反證法證明：解：假設(shè)“存在兩個(gè)不同的集合對(duì)；”依題意即互補(bǔ)，不妨設(shè)對(duì)“規(guī)范k-子集組”來(lái)講：一方面，時(shí)，，另一方面，其中存在兩個(gè)不同的集合對(duì)；滿足，不妨設(shè)，即，再由“”，得，此時(shí)，要么，要么是的真子集，若，則，故，這與與矛盾；若是的真子集，則是的真子集，此時(shí)，且彼此都不是對(duì)方的子集，綜上，假設(shè)“存在兩個(gè)不同的集合對(duì)；”不成立，所以原結(jié)論成立，證畢.（ⅱ）解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，令，這樣取出的個(gè)集合滿足題意，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，考慮中不為全集且元素個(gè)數(shù)最多的集合（記為，并設(shè)中有個(gè)元素），則，將分為三類：①全集；②不為全集，且與的交集不為空集；③與的交集為空集.由的選取，知②中的集合均為的子集，且依然滿足條件，由歸納假設(shè)可知②中的集合的個(gè)數(shù)不超過(guò)，而③中的集合均為的子集，有歸納假設(shè)可知集合的個(gè)數(shù)不超過(guò)，所以，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，所以均有，即的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了集合新定義問(wèn)題，考查了分類討論思想，和數(shù)據(jù)分析能力，對(duì)邏輯推理能力要求比較高，難度較大.24．(1)或(2)【解析】（1）由題意可得，解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求出結(jié)果;（2）因?yàn)?，所以，所以，由此即可求出結(jié)果.(1)解：當(dāng)時(shí)，集合集合或；所以或.(2)解：因?yàn)?，所以，所以，?25．(1)，，.(2)答案見(jiàn)解析.(3)，或，.【解析】（1）根據(jù)題意，集合，利用列舉法，即可求得；（2）由，得到，得到時(shí)，此時(shí)中的元素個(gè)數(shù)最少，分類討論，即可求解；（3）根據(jù)題意，分、和三種情況分類討論，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解.(1)解：由題意，集合，且，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得.(2)解：由題意，集合，對(duì)于，其中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)中的元素個(gè)數(shù)最少，若為奇數(shù)，則時(shí)，中的元素個(gè)數(shù)最少；若為偶數(shù)，則或時(shí)，中的元素個(gè)數(shù)最少.(3)解：若時(shí)，可得，此時(shí)，且，所以；若時(shí)，可得，要使得且，則，即.若時(shí)，此時(shí)，顯然中有很多整數(shù)空缺，所以不成立.綜上可得：，或，.26．（1）（2）①具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)；，；②，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由，，可得，從而可求得的值，驗(yàn)證即可得結(jié)論；（2）①由（1）求得，，檢驗(yàn)性質(zhì)，即可得到結(jié)論；②分別證得和，從而可得．【詳解】（1）由，，，，可得，則，則或，時(shí)，，不滿足，時(shí)，，滿足題意，綜上，.（2）①，具有性質(zhì)，，，，，但，則不具有性質(zhì).②，證明如下：對(duì)任意，有，，，則，則，若，則，，則不同對(duì)應(yīng)的不同，則中每個(gè)元素在中都能找到不同元素與之對(duì)應(yīng)，則中元素個(gè)數(shù)不少于中元素個(gè)數(shù)，對(duì)任意，有，，，則，則，若，則，，則不同對(duì)應(yīng)的不同，則中每個(gè)元素在中都能找到不同元素與之對(duì)應(yīng)，則中元素個(gè)數(shù)不少于中元素個(gè)數(shù)，綜上.27．（1）或，；（2）；