第八單元

實(shí)數(shù)8.3實(shí)數(shù)極其簡單運(yùn)算8.3.1實(shí)數(shù)的概念人教版七年級(jí)下冊(cè)1.知道無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成.2.知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).3.能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，并用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小.學(xué)習(xí)目標(biāo)新課引入填寫下表：1234平方根立方根1上表中所填的這些數(shù)都是有理數(shù)嗎？±1、±2都是有理數(shù).我們一起來探究一下吧！

，

，

，

，

也是有理數(shù)嗎？新知學(xué)習(xí)探究

???它們都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.整數(shù)可以寫成小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù)(例如，將3看成3.0).任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).1.整數(shù)能寫成小數(shù)的形式嗎？2.通過前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，很多數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，例如

、

、

、π等，它們是哪類數(shù)呢？、(1)開方開不盡的數(shù)，如：

、

等；(2)化簡后含π的數(shù)，如：π+1等；(3)寫出來的無限不循環(huán)小數(shù)，如：0.3030030003…

無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)

.你還能舉出一些無理數(shù)的例子嗎？

無理數(shù)是不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比(分?jǐn)?shù))的數(shù)，它和有理數(shù)一樣，都是現(xiàn)實(shí)世界中客觀存在的量的反映.

溯

源

我國古人對(duì)無理數(shù)已經(jīng)有了很多認(rèn)識(shí).《九章算術(shù)》中用“面”來表示開平方開不盡的數(shù)，劉徽在其著作《九章算術(shù)注》中，不僅記錄了包含無理數(shù)運(yùn)算的問題，而且給出了用有限小數(shù)無限逼近無理數(shù)的算法“求徽數(shù)法”.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)正有理數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)無理數(shù)正無理數(shù)按正負(fù)分類：實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)0正有理數(shù)正無理數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)無理數(shù)無理數(shù)有

；

、

、例1

把下列各數(shù)填入相應(yīng)的空內(nèi).有理數(shù)有

；

整數(shù)有

；

負(fù)數(shù)有

.

-1、0.05、

、

、0、+15、

、-0.2、

、

、3.1415、-1、0.05、

、0、+15、

、-0.2、

、3.1415-1、0、+15、-1、、-0.2、不是帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù).一定要先計(jì)算，再判斷.每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，無理數(shù)是否也能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示呢？

數(shù)軸上表示正無理數(shù)a的點(diǎn)在數(shù)軸的正半軸上，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度；表示負(fù)無理數(shù)-b(b>0)的點(diǎn)在數(shù)軸的負(fù)半軸上，與原點(diǎn)的距離是b個(gè)單位長度.下面，我們以π，，為例，看一看如何在數(shù)軸上表示無理數(shù).-2-101234思考1.以單位長度為直徑畫一個(gè)圓、它的周長等于π.如圖，從原點(diǎn)開始，將這個(gè)圓沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周、圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)O到達(dá)點(diǎn)O'.點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？

從圖中看出，OO'的長是這個(gè)圓的周長π，所以點(diǎn)O'對(duì)應(yīng)的數(shù)是π，這樣，數(shù)軸上的點(diǎn)O'就表示無理數(shù)π.O'O2.如何在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)

和的點(diǎn)呢？

②以原點(diǎn)為圓心，正方形的對(duì)角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點(diǎn)

就表示

，與負(fù)半軸的交點(diǎn)就表示-.-2-101234①以單位長度為邊長畫一個(gè)正方形；事實(shí)上，每一個(gè)無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).因此，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.-2-101234π-2-101234

與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.由此我們可以得到：

正實(shí)數(shù)＞零，負(fù)實(shí)數(shù)＜零，正實(shí)數(shù)＞零＞負(fù)實(shí)數(shù).歸納總結(jié)-2-101234例2把下列實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較他們的大小(用“＜”連接).2，

，0，-3.-2-101234-3-4

-3-3＜0＜

＜2.

所以由數(shù)軸得到，根據(jù)計(jì)算器求得≈1.732；方法1數(shù)軸比較法比較與2.5的大??？變式練習(xí)

-2-101234-3-42

2.5

根據(jù)數(shù)軸可得，

＜

2.5.方法2平方法(根據(jù)被開方數(shù)越大，算數(shù)平方根越大)因?yàn)?)2=5，2.52=6.25，5<6.25所以<2.5.比較與2.5的大??？變式練習(xí)

實(shí)數(shù)的大小比較：1.數(shù)軸比較法：當(dāng)數(shù)軸上的正方向?yàn)閺淖蟮接視r(shí)，數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大；2.類別比較法：①.正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；②兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而??；3.差值比較法：a-b＞0→a＞b；a-b=0→a=b；a-b＜0→a＜b4.平方比較法：a2＞b2→a＞b(a＞0，b＞0)(主要應(yīng)用于無理數(shù)的估值或無理數(shù)的大小比較)5.立方比較法：a3＞b→a＞1.判斷題：(1)無限小數(shù)都是無理數(shù)；(2)帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)；(3)所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，反過來，數(shù)軸上所有點(diǎn)都表示有理數(shù).錯(cuò)誤.如：無限小數(shù)是有理數(shù).錯(cuò)誤.如：=2，是有理數(shù).錯(cuò)誤.前半句正確，后半句錯(cuò)誤，數(shù)軸上的點(diǎn)也可以表示無理數(shù)，如π.隨堂練習(xí)2.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的空內(nèi)：??有理數(shù)有

；

無理數(shù)有

；整數(shù)有

；負(fù)數(shù)有

；????3.把下列實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較大小(用“＜”連接).-4，

，

，.-2-101234-3-4

-4-4＜

＜

＜