講核心1、基本事件個(gè)數(shù)的確定方法（1）列舉法：此法適合于基本事件個(gè)數(shù)較少的古典概型；（2）列表法：此法適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)，也可看成坐標(biāo)法；（3）樹狀圖法：樹狀圖是進(jìn)行列舉一種常用方法，適用于有順序的問(wèn)題及較復(fù)雜問(wèn)題中基本事件數(shù)的探求；2、求解古典概型的概率“四步”法3、解決有序和無(wú)序問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)（1）關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看做是有順序的，也可以看做是無(wú)順序的，其最后結(jié)果是一致的．但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．（2）關(guān)于有放回抽樣，應(yīng)注意在連續(xù)取出兩次的過(guò)程中，因?yàn)橄群箜樞虿煌裕╝1，b），（b，a1）不是同一個(gè)樣本點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是要清楚無(wú)論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產(chǎn)品被取出的機(jī)會(huì)都是均等的．（一）概率計(jì)算【例題】1.在由1、2、3組成的不多于三位的自然數(shù)（可以有重復(fù)數(shù)字）中任意取一個(gè)，正好抽出兩位自然數(shù)的概率是______.2.已知甲袋中有2個(gè)白球、3個(gè)紅球、5個(gè)黑球；乙袋中有4個(gè)白球、3個(gè)紅球、3個(gè)黑球，各個(gè)球的大小與質(zhì)地相同．若從兩袋中各取一球，則2個(gè)球顏色不同的概率為_____．【練習(xí)題】3.盲盒是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的商品盒子．已知某盲盒產(chǎn)品共有種玩偶，小明依次購(gòu)買個(gè)盲盒，則他能集齊這種玩偶的概率是（）A. B. C. D.4.一個(gè)籠子里有只白兔，只灰兔，現(xiàn)讓它們一一跑出籠子，假設(shè)每一只跑出籠子的概率相同，則先跑出籠子的兩只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（）A. B. C. D.5.為了活躍網(wǎng)課氣氛，某老師安排甲乙兩同學(xué)玩錘頭?剪刀?布的猜拳游戲，贏了的同學(xué)要講一個(gè)數(shù)學(xué)小故事，假設(shè)兩人都隨機(jī)出拳，共進(jìn)行兩次游戲，則第一次游戲甲不講故事的概率為__________，兩次游戲甲乙恰好各講了一個(gè)數(shù)學(xué)小故事的概率為__________．（二）有放回抽樣與無(wú)放回抽樣【例題】6.一個(gè)口袋中有5個(gè)紅球，6個(gè)黃球，除了顏色外其他沒(méi)有區(qū)別．求：（1）若不放回的抽取兩球，均為紅球的概率；（2）若放回的抽取兩球，均不是紅球的概率．【練習(xí)題】7.一個(gè)信箱里裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后隨機(jī)地選取2封信，根據(jù)下列條件，分別求2封信上的數(shù)字為不相鄰整數(shù)的概率.（1）信的選取是無(wú)放回的；（2）信選取是有放回的.8.一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)形狀大小和質(zhì)地完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，求“取出的兩球編號(hào)之和大于4”的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號(hào)x，將球放回，再?gòu)暮兄腥稳∫磺?，記下該球的編?hào)y，求事件“”發(fā)生的概率.9.某商場(chǎng)做促銷活動(dòng)，顧客每購(gòu)滿100元可抽獎(jiǎng)一次．在一個(gè)口袋內(nèi)裝有除顏色外其余完全相同的5個(gè)小球，其中3個(gè)紅球、1個(gè)黑球、1個(gè)黃球．某顧客購(gòu)滿100元，可抽獎(jiǎng)一次．（1）若從中依次不放回地取出2個(gè)球，取出的球中有黃球，則送一件價(jià)值10元的禮品，求這位顧客能獲得一件價(jià)值10元的禮品的概率；（2）若從口袋中連續(xù)取兩次球，每次取1個(gè)球后放回，當(dāng)取出的2個(gè)球中沒(méi)有紅球時(shí)，送一件價(jià)值50元的禮品，問(wèn)這位顧客獲得一件價(jià)值50元的禮品的可能性會(huì)超過(guò)20%嗎？10.一個(gè)盒中裝有紅、白兩種顏色的玻璃球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)．（1）若一次從盒中隨機(jī)取出2個(gè)玻璃球，求至少取到一個(gè)白色球的概率；（2）依次從盒中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)，取后不放回．當(dāng)某種顏色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是紅色玻璃球的概率．【易錯(cuò)題小練習(xí)】11.袋中共有4個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球、1個(gè)白球和2個(gè)黑球.從袋中任取兩球，則兩球顏色為一白一黑的概率為______；12.一只口袋裝有形狀大小都相同的只小球，其中只白球，只紅球，只黃球，從中隨機(jī)摸出只球，試求（1）只球都是紅球的概率（2）只球同色的概率（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”概率的幾倍？1．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟：（1）首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；（2）確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；（3）求出每個(gè)事件的概率，再求積．2．使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們同時(shí)發(fā)生．（一）相互獨(dú)立事件的判斷【例題】13.已知下列各組事件：①擲一次骰子，事件A：點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；②擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：兩次正面都朝上；③從10男10女中選兩個(gè)人分別擔(dān)任正副班長(zhǎng)，事件A：正班長(zhǎng)是男的，事件B：副班長(zhǎng)是男的；④擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．其中A、B是獨(dú)立事件的序號(hào)是______.14.若，，，則事件A與B關(guān)系是（）A.互斥但不對(duì)立 B.對(duì)立C.相互獨(dú)立 D.既互斥又獨(dú)立【練習(xí)題】15.同時(shí)擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，則（）A.A與C互斥 B.B與D對(duì)立 C.A與相互獨(dú)立 D.B與C相互獨(dú)立16.袋中裝有質(zhì)地均勻的紅、白色球各一個(gè)，每次取一個(gè)，有放回地抽取兩次，設(shè)事件“第一次取到紅球”，事件“第二次取到紅球”，下列說(shuō)法正確的是（）A.與為對(duì)立事件 B.C.與相互獨(dú)立 D.與為互斥事件17.某商場(chǎng)推出抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在甲抽獎(jiǎng)箱中有四張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.六張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票；乙抽獎(jiǎng)箱中有三張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票，七張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，B表示在乙抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，C表示兩次抽獎(jiǎng)均末中獎(jiǎng)的事件.下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.事件A與事件相互獨(dú)立C.與和為 D.事件A與事件B互斥（二）相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算【例題】18.已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：（1）甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；（2）甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；（3）甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．19.已知某著名高校今年綜合評(píng)價(jià)招生分兩步進(jìn)行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進(jìn)入第二步面試；若材料初審合格，則進(jìn)入第二步面試．只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評(píng)價(jià)的錄取資格，且材料初審與面試之間相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名考生報(bào)名參加該高校的綜合評(píng)價(jià)，假設(shè)甲、乙，丙三名考生材料初審合格的概率分別是，，，面試合格的概率分別是，，．（1）求甲考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；（2）求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；（3）求三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率．【練習(xí)題】20.已知甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.8，乙運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.7，甲、乙各投籃一次．設(shè)事件A為“甲投中”，事件B為“乙投中”．（1）求甲、乙二人中恰有一人投中的概率；（2）求甲、乙二人中至少有一人投中概率．21.某中學(xué)為了豐富學(xué)生的業(yè)余生活，開展了一系列文體活動(dòng)，其中一項(xiàng)是同學(xué)們最感興趣的3對(duì)3籃球?qū)官?，現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，已知甲隊(duì)每場(chǎng)獲勝的概率為，且各場(chǎng)比賽互不影響．（1）若采用三局兩勝制進(jìn)行比賽（即先勝兩局者贏得比賽，同時(shí)比賽結(jié)束），求甲隊(duì)獲勝的概率；（2）若采用五局三勝制進(jìn)行比賽（即先勝三局者贏得比賽，同時(shí)比賽結(jié)束），求乙隊(duì)在第四場(chǎng)比賽后即獲得勝利的概率．22.某停車場(chǎng)臨時(shí)停車按停車時(shí)長(zhǎng)收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每輛汽車一次停車不超過(guò)半小時(shí)的免費(fèi)，超過(guò)半小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)3元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲?乙兩人在該停車場(chǎng)臨時(shí)停車，兩人停車時(shí)長(zhǎng)互不影響且都不超過(guò)2.5小時(shí).（1）若甲停車的時(shí)長(zhǎng)在不超過(guò)半小時(shí)，半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)，1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5小時(shí)這三個(gè)時(shí)段的可能性相同，乙停車的時(shí)長(zhǎng)在這三個(gè)時(shí)段的可能性也相同，求甲?乙兩人停車付費(fèi)之和為6元的概率；（2）若甲?乙停車半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)的概率分別為，，停車1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5小時(shí)的概率分別為，，求甲?乙兩人臨時(shí)停車付費(fèi)不相同的概率.【例題】23.某校高一年級(jí)組織學(xué)科活動(dòng)競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為：、、、、、．（1）求a的值及這100名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)；（2）若采用分層抽樣的方法，從成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的學(xué)生中共抽取7人，查看他們的答題情況來(lái)分析知識(shí)點(diǎn)上的缺漏，再?gòu)闹须S機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查分析，求這2人中恰好有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率．【練習(xí)題】24.從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：、、…、，并整理得到如下的頻率分布直方圖．（1）從該網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中隨機(jī)抽取1部，估計(jì)評(píng)分不小于90分的概率；（2）用分層抽樣的方式從評(píng)分不小于90分的影視作品中隨機(jī)抽取5部作為樣本，設(shè)x為評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量，求x的值；（3）從（2）得到的樣本中隨機(jī)抽取2部影視作品提供給學(xué)生寒假觀看，求兩部影視作品的評(píng)分都在區(qū)間的概率．25.某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教育活動(dòng)，為統(tǒng)計(jì)全區(qū)黨員干部一周參與主題教育活動(dòng)的時(shí)間，從全區(qū)的黨員干部中隨機(jī)抽取n名，獲得了他們一周參與主題教育活動(dòng)時(shí)間(單位：h)的頻率分布直方圖如圖所示，已知參與主題教育活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為92.（1）求n的值.（2）以每組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教育活動(dòng)時(shí)間的平均值以及中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.01).（3）如果計(jì)劃對(duì)參與主題教育活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的黨員干部給予獎(jiǎng)勵(lì)，且在內(nèi)的分別評(píng)為二等獎(jiǎng)和一等獎(jiǎng)，那么按照分層抽樣的方法從獲得一、二等獎(jiǎng)的黨員干部中選取5人參加社區(qū)義務(wù)宣講活動(dòng)，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎(jiǎng)的概率.26.近年來(lái)，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，語(yǔ)、數(shù)、英三門為必考科目，剩下三門為選考科目（物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理）．選考科目采用賦分”，即原始分不直接使用，而是按照學(xué)生在本科目考試的排名來(lái)劃分等級(jí)，并以此打分得到最后的得分，假定某省規(guī)定：選考科目按考生原始分?jǐn)?shù)從高到低排列，按照占總體15%，35%，35%，13%和2%劃定A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)，并分別賦分為90分、80分、70分、60分和50分．該省某高中高一（1）班（共40人）進(jìn)行了一次模擬考試選考科目全考，單科全班排名，（已知這次模擬考試中歷史成績(jī)滿分100分）的頻率分布直方圖和地理成績(jī)的成績(jī)單如下所示，李雷同學(xué)這次考試地理70多分．地理成績(jī)4044435253536161626364

6571727373737475757676777882838385858586868888899192939396（1）采用賦分制前，求該班同學(xué)歷史成績(jī)的平均數(shù)與中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果精確到0.01）；（2）采用賦分制后，若李雷同學(xué)地理成績(jī)的最終得分為80分，那么他地理成績(jī)的原始分的所有可能值是多少?（3）若韓梅同學(xué)必選歷史，從地理、政治、物理、化學(xué)、生物五科中等可能地任選兩科，則她選考科目中包含地理的概率是多少?27.珠算是以算盤為工具進(jìn)行數(shù)字計(jì)算的一種方法，2013年年底聯(lián)合國(guó)教科文組織將中國(guó)珠算項(xiàng)目列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．算盤的每個(gè)檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面的兩顆珠叫“上珠”，下面的5顆叫“下珠”，從最右邊兩檔的14顆算珠中任取1顆，則這一顆是上珠的概率為（）A. B. C. D.28.《易經(jīng)》是中國(guó)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽(yáng)線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦中陽(yáng)線之和為的概率（）A. B. C. D.29.據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年，是充分體現(xiàn)我國(guó)勞動(dòng)人民智慧的一種計(jì)數(shù)方法．在算籌計(jì)數(shù)法中，用一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子（用竹子，木頭，獸骨，象牙，金屬等材料制成）以不同的排列方式來(lái)表示數(shù)字，如果用五根小木棍隨機(jī)擺成圖中的兩個(gè)數(shù)（小木棍全部用完），那么這兩個(gè)數(shù)的和不小于9的概率為________________．30.洛書，古稱龜書，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源．在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖形，結(jié)構(gòu)是“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)”．其各行各列及對(duì)角線點(diǎn)數(shù)之和皆為15．如圖，若從五個(gè)“陽(yáng)數(shù)”中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則能使這三個(gè)數(shù)之和等于15的概率是________．31.龍馬負(fù)