2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高三第二次診斷考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

^4=<x--<x<1>5=<xx2-->0>

1.已知集合〔2J,1I4J,則4n5=（）

xX1<x<l

A.B.C.ID.

2.直線3x+4y-5=0的傾斜角為e,則sin*（）

3.34_4

A.5B.5C.5D.5

71

且弧長(zhǎng)為兀的扇形，則該圓錐的體積為

3.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為52

）

4273V153夜

—71--------71--------71--------71

A.3B.3C.3D.3

0的等差數(shù)列S）中,aaa

4.已知公差不為%+%=。3且\3=2,貝U

q+2+,,?+%0=（）

100110

A.30B.3C.3D.40

IItana_

sin+Z7）=—.coscifsin/?=—"：=

5.已知I,34,則tan/?（）

1_3

A.3B.3C.4D.4

6.在三棱錐/-88中，AB=AD=BD=2,BC=CD=42平面4臺(tái)。,平面近。，則

三棱錐4-8CD外接球表面積為（）

16718兀166兀

A.3B.3C.3D.3兀

7.已知“力都是正實(shí)數(shù)，ab+2a+b=4,則6的最小值為（）

2M3口.

A.2B.V6-2c.V6-1

8.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽jQx+1）為奇函數(shù)，"x）+/（x+2）=2/（l）,則

（）

A./（"）為奇函數(shù)

B.7（X）的圖象關(guān)于直線》=3對(duì)稱

C./（2x）的最小正周期為4

D."2x）的圖象關(guān)于點(diǎn)&））對(duì)稱

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知正方體"8C0-4與G2棱長(zhǎng)為1,下列結(jié)論正確的是（）

A.直線8C與G。所成角為4

V3

B.直線2。到平面的距離是3

V6

C.點(diǎn)8到直線"G的距離為3

￡

D.平面48G與平面”8C1所成角的余弦值為3

10.已知｛""｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，的公差為"'也｝的公比為",

%=4>°,下列結(jié)論正確的是（）

A.若d>。，則｛%｝為遞增數(shù)列

B.若q<°,則也｝為遞減數(shù)列

C.若4>1>d>0,則｛“也｝為遞增數(shù)列

D.若4>1>”>。，則為遞增數(shù)列

71

AC=1,NA=—QABC

11.在銳角三角形/8C中,3外接圓的半徑為火，則（)

-<AB<2

A.2

0<AB<-

B.2

-<R<1

C.2

V3--<2BC-AB<20-2

D.2

三、填空題（本大題共3小題）

12.若z（l+i）T-i,i為虛數(shù)單位，則回=.

13.S"是等比數(shù)列國(guó)｝的前“項(xiàng)和，已知%+$3=6,§3=3%,則％=.

14.在三棱錐尸-"8C中，48與PC中點(diǎn)分別為",N,點(diǎn)G為中點(diǎn).若。在

~PD=-PA,EPE=-PB——

產(chǎn)/上滿足3在抬上滿足4,平面。EG交PC于點(diǎn)尸，且PF=2PC,

貝!.

四、解答題（本大題共5小題）

15.記V/3C的內(nèi)角43,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,A48C的面積為s.若

4瓦

-----3a2-b2+c2

3

⑴求8；

..71

sinA+—

I6

(2)若siM+sinC=l,求的值.

16.我們知道關(guān)于"J的二元一次方程表示直線，但有的二元二次方程也能表示直線,

22八

比如x-y=o表示的就是》+'=0和》_夕=0兩條直線，

⑴求方程Gr+2）（2x+y+i）=o表示的直線與y軸圍成的面積；

22

⑵若方程"一廣+"2廣1=。表示的是兩條直線，求a

17.四棱錐尸-N8C。中，底面/BCD為正方形，AB=2,PB_LAD/PAB為銳角

（1）求證：平面平面

巴PBIG

（2）若與平面N8CZ）所成角為F=J,求平面48與平面PCD夾角的余弦值

18.已知函數(shù)"x）=M1K一"有兩個(gè)零點(diǎn)玉，超（3＜々），

（1）求/（“）的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵當(dāng)xe（O,l］時(shí)，-1）-。恒成立，求實(shí)數(shù)左的最小值；

“2一再<A/1+2〃-----

(3)證明.4

19.設(shè)集合4={123，-7}GCN+),對(duì)于集合4到集合4的函數(shù)/：434,記其中滿

足/(/(x))=x的函數(shù)為“回函數(shù)，，.對(duì)于任意給定的集合4,“回函數(shù)”的個(gè)數(shù)記

為父數(shù)列{"J的第，,項(xiàng)為4.例如4={1},“回函數(shù)”僅有一個(gè)，即/G)=i,滿足

?。))=/(1)=1,所以％=1；4={1，2},“回函數(shù)”有兩個(gè),即'3L=2和

，X

f2(x)=1^1

〔1戶=2,這兩個(gè)函數(shù)都能滿足J\JV))=X,所以?！?2.

(1)求生；

(2)當(dāng)"22時(shí)，給出和之間的關(guān)系式并證明;

2)

%之2+

(3)證明:“22時(shí),3

答案

1.【正確答案】D

x2—>0x<—x>—5=，％|%<一7"、］)

【詳解】由4得2或2,所以〔2或》>打

AryB=\x\-<x<}\-

所以I2

故選：D

2.【正確答案】A

.3.Asin。Asin。4..

tanBQ=—tan"=------cos6=------=—sin0

【詳解】由題意4,又cos。，所以tan。3

22222

sin6+cos0=sin0+—sin0=1sin0=—

從而9,25,而sin”0,

sin(9=-

所以5,

故選：A.

3.【正確答案】C

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為仙母線長(zhǎng)為人

2兀一兀

<I~2[r=\

271r=2兀=[/=4

則由題意:

所以〃=-1=V15

V=-?TIP2?h=兀

所以圓錐的體積為.33

故選：C.

4.【正確答案】C

【詳解】假設(shè)等差數(shù)列｛""｝的首項(xiàng)為4,公差為%

+%+d=〃]+2d

由4+=。3且="2彳？["1("1+2d)=+d

a=d=2

因?yàn)楣罱?二°,所以解得“一一§,

〔八

0=210x92110

ci\+,,,+t7in—*j]n10x—i--------x—=------

所以?23233,

故選：C.

5.【正確答案】A

sin(a+￡)=-,cosasin￡=—

【詳解】因?yàn)?4

sinacosB+cosasin￡=—

所以3,

sin?cos^=---=—

所以3412,

1

_1

sincrcos(3-

112-3

coscrsin/?-4

所以

11

tana--------=—

即tan僅3,

tana_1

即tan/3.

故選：A.

6.【正確答案】A

【詳解】取8。中點(diǎn)M,連接

2，，故M4A50,

由于平面平面C8O,且交線為2。，M4u平面/8。,

故平面C2D,

又8C=CD=拒，BD=2,故△8<R為等腰直角三角形，故MB=MC=MD,

因此外接球的球心。在上，

G1

AM=—AB=43,BM^-BD=l,

22

、…一,OB=R7MB?OM?=/On=R

設(shè)球半徑為火，則

解Ji,

4兀A2=4nx—="四

故表面積為33,

故選：A

7.【正確答案】C

b7--4--—--2-。--....6.......C2.

【詳解】由ab+2a+b=4,得a+1。+1」

a+b=a+-2=Q+1+—3>2j((2+l)--3=2a-3

貝“a+1a+1\a+1,

?-6

當(dāng)且僅當(dāng)“一”+1,即。=&-1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)6="-2>0,

所以“+6的最小值為2#-3.

故選：C.

8.【正確答案】D

【詳解】因?yàn)椤?%+1)為奇函數(shù)，所以"2x+l)+/(-2x+l)=0,

所以"x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則"2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(則對(duì)稱，D項(xiàng)正確;

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的定義域?yàn)镽,易知"2無(wú)+1)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)?(2x+l)為奇函數(shù)，所以/(2x0+l)=/(l)=0；

則/(x)+/(x+2)=2/(l)=0,所以/'(久)=一/3+2),

根據(jù)“無(wú))的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，°)對(duì)稱，得"x+2)=-/(r),

所以/(x)=/(r),故)(x)為偶函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)椤皒+2)=-“x+2+2)=-“x+4),

所以/(x)=/(f)=-/(x+2)="x+4),所以"x)的最小正周期為牝

則"2x)的最小正周期為2,C項(xiàng)錯(cuò)誤；

根據(jù)/(X)為偶函數(shù)，且關(guān)于點(diǎn)(1，。)對(duì)稱，最小正周期為4,

易知/(X)的所有對(duì)稱軸為直線*=2左(左eZ),故B項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選.D

9.【正確答案】BCD

［詳解］CQu平面CDAG,所以8CJ_CQ,人錯(cuò);

以。為原點(diǎn)，分別以“4DCD2為x,%z軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，

則4(1,0,1),G(0,l,l),。(0,0,0),C(0,l,0)；5(1,1,0)；

=(1,0,1),r>G=(0,1,1),設(shè)平面NQG的一個(gè)法向量是m=(x,y,z)t

m?DA=x+z=0

<X

貝lj[比=y+2=0,?。?],得加=(1,1,一1),

DC=(0,1,0)

所以直線8c到平面的距離等于點(diǎn)。到平面ACQ的距離，即為

\DC-m\_|0+1+0|_73

同出3,B正確；

^ABCX是直角二角形，AB=\,BCl=42,ACX=V3,

1x72_V6

因此8到直線"G的距離等于也3,c正確；

由正方體的性質(zhì)，可得平面48G,4°，平面

4(i,o,i),4(U1)，

西=(1,1,1),蘋

]_

CQSDB,AC

XX3

所以平面48G與平面03C1所成角的余弦值為3,D正確.

故選：BCD.

10.【正確答案】AC

【詳解】對(duì)于A,d>0,即0一%-1>°,單調(diào)遞增，正確；

對(duì)于B,取4=7,此時(shí)等比數(shù)列0'｝為擺動(dòng)數(shù)列，不具有單調(diào)性，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)楣?々>°,當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛a｝為正項(xiàng)且單調(diào)遞增，

d>0時(shí)，等差數(shù)列｛%｝,各項(xiàng)均為正，且遞增，則?！?2包>。也+1>。/,,

所以包也，｝為遞增數(shù)列，正確；

勾=也=-^<1

火

a,=bx=-q=2,d=-電

對(duì)于D,取2,3,此時(shí)23,顯然不滿足遞增屬性，

錯(cuò)誤.

故選：AC

11.【正確答案】AC

//=—

【詳解】對(duì)于AB,銳角三角形"BC中，AC=1,3,V/BC外接圓的半徑為五,

cjo,$8一cjo,McJ

I2九3I2九則有62,同理62,

ABACBC2R

所以由正弦定理sinCsin5sin”,

-cosB+1-smB

V31

ACsinCsinC22

得sin5sin5sin5sin52tan52

6

兀c兀tan3>也3

—<B<—0<-----<60<<—

由62得3,有tan5,有2tan82,

-<AB<2

所以2,故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2R=/J=—'—-<sinB<l1<—1―<2

對(duì)于C,sin5smB,由上2,得sm5,則有2，故C選

項(xiàng)正確；

rain也sinCV36cos216（2-cos8）1

2JDC-A.JJ=-；------；----——；---------；--------=------；----------

對(duì)于D,sin5sin5sin52sin522sin52,

71兀A/［（1-2COSX）

xe

5

62，貝ij.2sin2x

7171

r—<X<一'——<X<——

所以/（久）<0時(shí)，63〃乃>0時(shí)，32,

兀717171

所以/（X）在65?i'2

上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

_71273-2f<273-2

'時(shí)，/（X）有最小值1,又V3--

所以

所以14/。）<26-2,即1428c-工5<2石-2,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.【正確答案】1

【詳解】解：因?yàn)閦（"i）=l-i

1-i-2i

z=-----——二—1

所以1+i2

所以忖=1

故1

3

13.【正確答案】2或-3

【詳解】$3=%+%+%=3%

22

ax+axq=2a1q即ax(2q-q-1)=0

因?yàn)閝wo,所以2q2-g-i=(q-i)(2g+i)=o,

1

1q二—

解得夕=1或2,

又%+S3~6,—3%

3

所以他=6,即的

2,

a2=%=3

所以2q5或-3.

3

故2或-3.

6

14.【正確答案】7

PG=-

【詳解】由條件可知,2

3—?—?4—?

PA=-PDPB=—PE

因?yàn)?3

——?3——?1—?1____

PG=—PD+—PB+—PF

所以8344，因?yàn)辄c(diǎn)G，。乃，廠四點(diǎn)共面,

3+'二1

所以8344,解得:

故7

B=—

15.【正確答案】（1）3

百

⑵3

S=—acsinB

【詳解】（1）由三角形面積公式可得：2，由三角形余弦定理可得:

b2=a2+c2-2accosB,

-----acsrnB=a2+c2-b2=2accosB

又因?yàn)橐阎?,所以有:

可得12115=6,;8€（0,兀），得人與

（2）由已知結(jié)合三角形內(nèi)角和為180。得：siM+sinC=siM+sin（/+8）

=sirU+sin=siih4+—siib4+

2

16.【正確答案】（1）2

【詳解】（1）（“7+2）（2》+了+1）=°表示的直線為x-y+2=0和2x+y+l=0,

fx—y+2=0

聯(lián)立〔2x+y+l=0,得兩直線交點(diǎn)為（-1,1）,兩直線與V軸交點(diǎn)分別為（。，2）和（°，T）

-xlx|2-（-d=-

二兩直線與〉軸圍成的三角形面積為2?/2

（2）若方程，一/+以+2y-1=0表示兩條直線，

則該方程必能表示為兩個(gè)二元一次方程的乘積，設(shè)

x2-y2+ax+2y-I=（x+y+m^（x-y+n^

貝IX?一歹2+OX+2歹一1=X2一歹2+（加+〃）％+（〃一加）歹+加〃

n-m=2/、2/、2

1=>（加+〃）=（加一〃）+4mn=0

,.a=m+n=O

17.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

V42

⑵7

【詳解】（1）.??四邊形/BCD為正方形，.-.AD1AB,又ADLPB,且PBcAB=B,

PB，4Bu平面pAB，a/D_L平面PAB,又vADu平面ABCD,

平面尸/BL平面ABCD.

（2）以A為原點(diǎn)，/創(chuàng)ND分別為刈了軸，過(guò)A作平面的垂線，以該垂線為z軸

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

由（1）可知z軸在平面PAB內(nèi),

由題意可得4°，°，°），80,0,0）,0（020）,。（2,2,0）,P（x,0,z）

則Z>P=（x,-2,z）,8尸=（x-2,0,z）,

易知平面N28的法向量為"=（°，°』），

DPn.71

I-IL=sin—

DPn3

3X2+12=Z2

\BP\=2A/6

UI，得x2—4x+z2=20

解得x=2或X=-1,

???/尸/8為銳角，，x=2,z=2而，即哽，。，?戊）,

???麗=（2,一2,2與配=（2，。，0）,設(shè)平面尸。的法向量為扁Ha，%，。）,

DP?a=02a-2b+2y/6c=0

=@,跖1)

DC,叫=°,得.2a=0，取c=l,得叫

易得平面P42的法向量為加2=（0/，0）,

V42

cos。=|cosmm|=7

設(shè)平面尸N8與平面PCD夾角為°,則?1,2

V42

綜上，平面尸43與平面PC。夾角的余弦值為7.

X￡10,—

—,+00

時(shí)，/（無(wú)）單調(diào)遞減，XS時(shí)，/（X）單調(diào)遞增,

18.【正確答案】（1）

/（x）的極小值為一%一”，無(wú)極大值

⑵2

（3）證明見(jiàn)解析

1

【詳解】（1）/"）=欣+1令/'（無(wú)）=0x=—

，得e,

xe^0,—

時(shí)，r（x）＜0J（x）單調(diào)遞減,

4二時(shí)，/'。）＞°，/自）單調(diào)遞增,

一Q

“無(wú)）的極小值為

,無(wú)極大值.

(2)/(x)2左(x2-l)-a即xlnx-^G?-1)N0g(x)=xlnx-A：-1^),g(1)=0

左VO時(shí)，xe（°，l）時(shí)，而xlnx＜0,不合題意;

左＞0時(shí),g'(x)T2+l-2h,g'(l)=l-2左，令?yuàn)yx)=g").

/ir(x)=--2k

，顯然“（X）為減函數(shù),

(1)=1—2k=0□-+

當(dāng)2,即v7町，

則xe(O,l],"(x)NO,g?)單調(diào)遞增且/(1)=1-2左=0,

時(shí)，g'(x)V°，g(x)單調(diào)遞減，■-g(x)-g(1)=0,

0<lt<

當(dāng)-2時(shí),/1'(l)=l-2k>0

如<。

時(shí)，"(x)>O，g'(x)單調(diào)遞增且^°)12k>。送

e

/.3xe

0使得g'G))=o,且x“0,x。)時(shí)，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

xe(x0,l)時(shí)，g，(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

??.xe(x(),l),g(x)<g(l)=O,不合題意.

綜上，上的最小值為"

(3)當(dāng)xe(?！?時(shí)，xlnx<0,若a?0,則“無(wú))<°,則在(°」)沒(méi)有零點(diǎn),

又/(x)在［1，+8)上單調(diào)遞增，所以/(x)最多只有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意,

1

=----Q<0,「.一—<〃<0

極小值eee

<0,.*.-<x2<10<M<一

e則e

由(2)可知°="%)>式")一”,解得馬<a+2"

_______^2^2a2e24再_2

Xi<Jl+2〃-----Xj〉----a>一,再

欲證4,即證4,即證e2

/(再)=0,a=xJiUj

2

xlnx,>--、反llLX