2024-2025學(xué)年上海靜安區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1.已知集合/=律，N=且MuN=N,則實(shí)數(shù)”

【正確答案】-1

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求。的值.

【詳解】MUN=NnM0N,a=l或/=1，由互異性，a=—1.

故-1.

2.已知扇形的半徑是3,弧長(zhǎng)為6,則扇形圓心角的弧度數(shù)是.

【正確答案】2

【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)得到關(guān)于圓心角的方程，解之即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)扇形的圓心角為a（a〉0）,

因?yàn)樯刃蔚陌霃绞莚=3,弧長(zhǎng)為/=6,

所以由/=ar,得6=3a,則a=9=2.

3

故答案為.2

3

3.已知點(diǎn)P（3,jJ（jo<0）是角a終邊上一點(diǎn)，若cosa=M，則tana=.

4

【正確答案】-一

3

【分析】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解.

33

【詳解】cosa=^==-t又為<0,

{9+為>

解得：%=-4，

4

所以tana=——,

3

故-3

3

4.已知司=后,愀=1，向量值與否的夾角為45°.向量方在反方向上的數(shù)量投影為.

【正確答案】1

【分析】由投影數(shù)量的公式求解即可.

【詳解】向量2在B方向上的數(shù)量投影為同cos45°=后X*=1.

故1

5.已知直線/i：(a+l)x+y+a=0,/2：*+(4+l)y+2=0,若/±/2,則實(shí)數(shù)a的值為.

【正確答案】-1

【分析】直接根據(jù)兩直線垂直的公式計(jì)算即可.

【詳解】由得(a+l)xl+lx(a+l)=O,解得a=—1.

故答案為1

6.若有兩個(gè)復(fù)數(shù)a,萬(wàn)，滿足a+夕=4,a〃=5,貝.

【正確答案】±2i

【分析】由題意得火，是方程——4x+5=0的兩個(gè)虛根，由此計(jì)算即可.

【詳解】a(4—a)=5na?-4a+5=0,同理,？一4夕+5=0,

所以％夕為方程/_4x+5=0的兩個(gè)虛根，

解方程得x=2±i

所以a—￡=±2i.

故土2i

7.重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源.甲、乙兩人相約來(lái)到重慶旅游，兩人分別從

48,C,￡)四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人恰好選擇同一景點(diǎn)的概率為.

【正確答案】4##0.25

4

【分析】利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】甲、乙選擇的景點(diǎn)可能為：

AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,共16種可能；

甲、乙兩人恰好選擇同一景點(diǎn)的可能為幺4AS,CC,。。共4種可能；

41

因此甲、乙兩人恰好選擇同一景點(diǎn)的概率為一=一.

164

故答案為

4

8.若/(刈=/—礦⑴，貝|J/'(O)=.

【正確答案】-1

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得r(x),然后令x=i代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)函數(shù)y=n>)求導(dǎo)得，/,(x)=2x-/,(l)；

令x=l,得/'(1)=2—整理得=

因此/(%)=3-x,/,(x)=2x-l,故/<0)=一1.

故-1

9.已知函數(shù)y=恒(依2+》+1)的值域是R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【正確答案】0,1

_4

【分析】對(duì)符合函數(shù)進(jìn)行拆分，由外函數(shù)值域得出內(nèi)函數(shù)值域，再通過討論參數(shù)，列出不等

式求得參數(shù)范圍.

【詳解】令/="2+》+1，則y=igr,要使得y=lgf的值域?yàn)镽,則函數(shù)f的值域。滿足

(0,+oo)cD,

當(dāng)awO時(shí)，即函數(shù)/1開口向上，且最小值小于等于0,

a>01

;?<,1?0<aV—,

A=1-4(2>04

當(dāng)Q=0時(shí)，t=X+1滿足題意，

綜上所述1

4

故o，；

10.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋的中國(guó)古老民間藝術(shù)之一.已知某剪紙的裁

剪工藝如下:取一張半徑為1的圓形紙片，記為OO],在。內(nèi)作內(nèi)接正方形，接著在該正方

形內(nèi)作內(nèi)切圓，記為。。2,并裁剪去該正方形與內(nèi)切圓之間的部分（如圖所示陰影部分），記

為一次裁剪操作，L,不斷重復(fù)上述裁剪操作，則被裁剪部分的面積之和的極限為_________.

O

【正確答案】4-71##-71+4

【分析】設(shè)OQ,的半徑為凡，由題意可知居=學(xué)凡,根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求.

【詳解】設(shè)OQ,的半徑為凡，

則與=孝，°。用的半徑為李此，即凡+產(chǎn)字凡，

痂「夜r’「后丫rn1

故凡=^i—=—=->

所以O(shè)Q的面積為S=7r[g]弋,

又第〃次裁剪操作的正方形邊長(zhǎng)為2a，

z\2f--ll

171_4—兀,

故第〃次裁剪操作裁剪掉的面積為：L=J

u）2"2"-22"一2"

所以被裁剪掉的總面積為

（4-7t）x—x1-|-j

//C11n2［（2月

（"兀）匕+合+域+…+旬=--------7------------=（4-兀）

2

所以被裁剪掉的總面積的極限為㈣＜（4-兀）1-［；］＞=4-7r.

故4一兀

11.45為雙曲線/二i右支上兩不同點(diǎn)，則方.礪取值范圍是.

【正確答案】［L+s）

【分析】方法一：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再求最值即可；

方法二：設(shè)/（sec/tana）,5（sec/?,tanA）,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再通過三角恒等

變形化簡(jiǎn)，再求最值即可；

方法三：設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立消元，由韋達(dá)定理代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再求最

值即可；

方法四：雙曲線圖像與函數(shù)y=上圖像全等，由蘇?麗=巧巧+——,再求最值即可.

2X4X1X2

【詳解】方法一：因?yàn)?8為雙曲線——/=1右支上兩不同點(diǎn)，

設(shè)力（Xi，yi）,B（%2，y2）＞則X；-=1,考-瘠=1,

則OAOB=xxx2+yty2=Jl+y；Jl+y；+%%=J?%丫+"+只+1+%為

21

=’（必必7-2%%+1+（%+v2）+必必'|必%T|+M%N1-%%+%為=，

取等號(hào)條件是凹+為=0（外力%），顯然該式可以取到無(wú)限大，

所以0/05取值范圍是［L+00）.

方法二：

則O4OB=secasecP+tanatan。=1+sinasin/?e?Lcr/?

cosacosW"I227"

c..c("1+sinasinQ.

cosacosp-smasmp=cos(cif+p<1,所以---------21,

'7COSCkCOS^

取等號(hào)條件是a+A=O(aw0，所以E.礪取值范圍是+

方法三：設(shè)直線AB方程為x=my+n與雙曲線右支交于A,B兩點(diǎn)(\m\<1),

聯(lián)立得(加2-1)v2+2mny+n2-1=0,

設(shè)4(%161)乃(42/2)，

則OAOB=3+yty2=(m-+1)%%+加〃+%)+

222

(zn+l)(M-l)2m2n22-m-1A2FlA

=-----J——-——;—+n~=-=T+-----reL+")

m2-1m2-1m2-11-m2

即?礪取值范圍是[I+8).

方法四：雙曲線圖像與函數(shù)y=2圖像全等，

2x

在歹=，-(%>0)上取兩點(diǎn)4(%1)1)方(%2)2)，

2x

->--1

可知ON.05=XjX2+-------,

4XXX2

XJX2〉0時(shí)XjX?H------>2.1—=1,取等號(hào)條件為X]X>=—,

4X；X2V42

所以0/05取值范圍是[L+°°).

12./(x)=sina)x,a)>0,XE[-2,2],y=/(x)和y=/(/(x))的零點(diǎn)按從小到大順序可

以分別構(gòu)成兩個(gè)等差數(shù)列，則①所構(gòu)成的集合為.

【正確答案】<。,<。<兀或。=--—>

【分析】求出/(力=0的解，由等差數(shù)列的定義和定義域得到再求出/(/(x))=0

的解，分類討論。的氛圍，驗(yàn)證是否滿足方程得解能形成等差數(shù)列，然后得出取值范圍.

【詳解】①令/(x)=0,則ox=E,即》=紅，

CD

TTTTTTTT

??,當(dāng)左取一1,0,1時(shí)，X的值為：—一,0,一滿足等差數(shù)列，即—2?——,即/之一即可.

CDCDCD2

②令/(/(x))=0,貝iJ/(x)=?，左=0時(shí)，x=—,當(dāng)人=±1時(shí)，/(x)=±-

CDCDCD

若》=工〉1,即。<兀時(shí)，則/(/(x))=o的解與/(x)=0相同，滿足題意；

CD

兀7L]+2左

若％=—=1,即刃=兀時(shí)，令sinGx=±1,即兀x=一+左兀，則1=----,

co22

則/(/(x))=0的解：—2,q,—1,—；,0,g』1,2,滿足等差數(shù)列；

若》=工<1,即。〉兀時(shí)，因?yàn)樽?0時(shí)/(/(x))=0已存在至少三個(gè)解：—工,0,工,

CDCDCD

jrI71|JT

由三角函數(shù)圖像可知，/(x)=—在0,一存在兩個(gè)解，且0,玉,馬，一成等差數(shù)列，即

CD\CDJCD

71

X.二,

13。

mil-兀兀an2y/~-

貝Usin—=-~-=-，即。=---

32。3

方法點(diǎn)睛：因?yàn)槿呛瘮?shù)有界，所以討論/是否大于1：大于1,則/(/(x))=0的解與

/(x)=0相同；等于1,則求出。和方程得根；小于1,結(jié)合三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性和已有

TT

的解，得到0,七,々，一成等差數(shù)列，得到方程的一個(gè)根，代回原方程求出。的值.

a)

二、選擇題(本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分)

13.在AA5C中，若sin2Z+sin28<sin2C，則AA5C的形狀是

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.不能確定

【正確答案】A

_2

【分析】由正弦定理得/+人2<02,再由余弦定理求得cosC=一<0,得到

2ab

7F

Ce(Q,?),即可得到答案.

【詳解】因?yàn)樵贏ABC中，sin2A+sinB2<sin2C.

cihc

由正弦定理知sinZ=——,sinB=——,sinC=——，代入上式得/+〃<，，

2R2R2R

〃2z_2_72.―

又由余弦定理可得cosC=巴士~—<0,因?yàn)镃是三角形的內(nèi)角，所以Ce(一,乃)，

2ab2

所以A48C為鈍角三角形，故選A.

本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀，其中解答中合理利用正、余弦

定理，求得角C的范圍是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.將某學(xué)校一次物理測(cè)試學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，則估計(jì)本次物理測(cè)試學(xué)生成績(jī)的平均

分為(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)()

【正確答案】C

【分析】根據(jù)小矩形面積和為1解得加的值，再根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)即可.

【詳解】依題意，(0.005+0.015+0.02+0.03+0.005+w)x10=1,解得加=0.025,

則平均分為45x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.05=72.

故選：C.

15.設(shè)J=/(x)與〉=g(x)是兩個(gè)不同的幕函數(shù)，記Af={x|/(x)=g(x)},則M中的元

素個(gè)數(shù)的可能是().

A.0、1、2、B.1、2、3C.1、2、3、4D.0、1、2、

3

【正確答案】B

【分析】由幕函數(shù)的函數(shù)圖像及性質(zhì)可以得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)〃x)=x",g(x)=x"，

由幕函數(shù)圖像可知，/(l)=g(l)=l,故/(x)=g(x)至少存在一個(gè)解X=l；

②若/(x)，g(x)在0處都有定義，則/(o)=g(o)=0，故/(X)=g(x)可能存在解x=0,

③若/(x),g(x)同為奇函數(shù)或者偶函數(shù)，由對(duì)稱性可知，/(—l)=g(—1)=1或

/(T)=g(T)=T，故/(x)=g(x)可能存在解x=-l,

綜上所述：M中的元素個(gè)數(shù)的可能是：1,2,3.

故選:B.

16.已知定圓,點(diǎn)/是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若線

段PN的中垂線交直線于點(diǎn)。，則點(diǎn)。的軌跡可能是：(1)橢圓；(2)雙曲線；(3)拋物線；

(4)圓；(5)直線；(6)一個(gè)點(diǎn).其中所有可能的結(jié)果有().

A2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【正確答案】C

【分析】作出圖像，通過橢圓，雙曲線，圓的定義和圓的性質(zhì)，判斷結(jié)論.

【詳解】(1)橢圓(點(diǎn)/在圓加內(nèi)，不包括圓心)

如圖：

V\AQ\=\PQ\,：.\AQ\+\M^=|PQ|+|MQ卜W0=1,即。點(diǎn)的軌跡是以A,M為焦點(diǎn)的

橢圓.

(2)雙曲線(點(diǎn)/在圓M外)

如圖：

VV\AQ\=|叫|M2|-|聞=—|PQ|==1,即。點(diǎn)的軌跡是以4M為焦點(diǎn)

的雙曲線.

當(dāng)A與M重合時(shí)，。在"P中點(diǎn)，所以。點(diǎn)的軌跡是以加為圓心，半徑為;的圓.

當(dāng)A在圓上時(shí)，/尸為弦，所以。一定與M重合，所以。點(diǎn)的軌跡是點(diǎn)

故選.C

三、解答題.（本大題共5小題，滿分78分）

17.如圖所示五面體中，四邊形4BCD為長(zhǎng)方形，所//平面48。。,/\2。￡和丫83是全

等的等邊三角形.

(1)求證：EFI/DC,

(2)若已知=2BC=2EF=4,求該五面體ABCDEF的體積.

【正確答案】(1)證明見解析；

(2)竺血.

3

【分析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可求證；

(2)將組合體分為四棱錐￡-ZOG7/和廠-BOWN后即可求解；

【小問1詳解】

五面體48cos9中，因?yàn)镋E//平面N8CD,EEu平面CDE尸,

平面。￡)所口平面/5。。=。。，所以跖//CD.

【小問2詳解】

過點(diǎn)E作EG，。。，作EH上AB,垂足分別為G,〃，過點(diǎn)/作EA/LDC,

作垂足分別為M,N,連接GH,MN,如圖,

取G/f中點(diǎn)。，連接￡0,

由對(duì)稱性可得EG=EH=FN=FM,

所以E0LG7/,因?yàn)?8//CD,所以

又EH,EGu平面EGH,EGcEH=E,

所以。C_L平面￡G〃，又GHu平面￡G〃，

所以。CJ_G8,又因?yàn)椤?gt;CJ_￡G,

EGC\GH=G,EG,GHc:EGH,所以。CL平面EGX,

因?yàn)椤辍?lt;=平面EG/f,所以EOLDC,

又GHcDC=G,GH、OCu平面/BCD,所以￡0，平面45C￡>；

因?yàn)?8=28。=2￡尸=4,

所以由EH，Z3、FNLAB和EG=EH=FN=FM以及圖形對(duì)稱性可得在底面ABCD

中4H=NB=1,GH=2,

所以在AEGW中，EG=EH=瓜,可得E0=、/5，

，四棱錐￡-ADGH和尸-BCMN的體積均為

匕=g…EO=《H.GH.0E士。乂2卜母=2,

三棱柱EGH-FMN的體積匕=S^GH?E/=]gx2x應(yīng)]X2=2VL

所以，該五面體48CDE尸的體積為2匕+匕

18.設(shè)/(x)=(a+l)lnx+ox2,x>Q,(常數(shù)aeR).

(1)y=fO)為(0,+。)上的嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵設(shè)a>0,若對(duì)于任意X],/e(0,+oo),x[^x2,都有|/(再)一/(工2)|〉4kl一引成

立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)[0,+8)

(2)a>\

【分析】(1)根據(jù)/(x)的單調(diào)性得到/'(x)20在(0,+8)上恒成立，列不等式求解即可.

⑵根據(jù)⑴的結(jié)論將，(石)一/(%2)|〉4歸—轉(zhuǎn)化為/8)-4%2>/8)-4匹，構(gòu)

造函數(shù)g(x)=/(x)-4x,根據(jù)g(x)的單調(diào)性得到g'(x"O在(O,+s)恒成立,再結(jié)合基

本不等式求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閥=/(x)為(o,+°°)上的嚴(yán)格增函數(shù)，

故/<X)=巴1+2ax=2ax~+a+1>0在(0,+⑹上恒成立，

XX

所以2ax?+4+120在（。,+⑹上恒成立,

a>0

所以4,八等號(hào)不同時(shí)取到，

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是［0,+8）；

【小問2詳解】

不妨設(shè)再<%2，由（1）可知函數(shù)y=/（x）在（0,+°O）上嚴(yán)格增，故/（七）</（》2）,

此時(shí)，不等式|/（石）一/（%2）|>4忖一》2|等價(jià)于/（》2）一4》2>/，

令g（x）=/（x）-4x,X>0,

所以函數(shù)了=g（x）在（0,+℃）是嚴(yán)格增函數(shù)，

故g'（x）20在（0,+8）上恒成立，只需g'（x）min之。，

求導(dǎo)可得g'（X）=/'（x）—4=2江+"+1_4=2ax+3一4

XX

因?yàn)镼>0,X>0,

所以g〈x）=2ax+“+I-422：2“4+1）-420,

x

當(dāng)且僅當(dāng)2ax=四，即1=J”1時(shí)等號(hào)成立，

xV2a

解得a21.

19.仰暉樓有/、2兩部電梯.已知電梯每上一層需要5秒，電梯在某層樓停留時(shí)開門到關(guān)門所

花時(shí)間為10秒（人員均能在電梯開關(guān)門時(shí)間內(nèi)完成進(jìn)出電梯和按樓層等操作）.某天清晨，樓

上還沒有人，1樓己經(jīng)有若干人均欲乘坐電梯上樓，目的地分別是2~10樓.現(xiàn)兩部電梯均恰好

在1樓（兩部電梯互相獨(dú)立運(yùn)行，可以獨(dú)立開關(guān)門，在1樓按下按鈕后將同時(shí)打開門），且每

部電梯容量足夠容納所有人.定義4（與）為：從/（5）電梯開門時(shí)刻算起，到電梯內(nèi)最后一

人到達(dá)目標(biāo)樓層后/（B）電梯門關(guān)閉為止，所花時(shí)間.記"運(yùn)輸完成時(shí)間=max{71,，}

（1）若所有人均乘坐一部電梯，求”；

（2）為了研究說的最小值，我們需要對(duì)電梯的"乘坐安排"作出一些合理假設(shè).例如：假設(shè)兩部

電梯都有人乘坐.理由：分開乘坐，比如去2層的人都坐電梯/,其余人坐電梯8,則普,7；均

小于（1）中"，故"運(yùn)輸完成時(shí)間"也小于（1）中70,所以要使得《最小，兩部電梯一定都

有人乘坐.請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上再提出1至2條關(guān)于電梯"乘坐安排"的合理假設(shè)，并簡(jiǎn)述作出這些

假設(shè)的理由（若有多條假設(shè)，請(qǐng)按重要性從高到低寫出最重要的兩條）；

（3）求出”最小值.

【正確答案】（1）145秒

（2）答案見解析（3）95秒

【分析】（1）根據(jù)題意，知總時(shí)間包括開門的兩次及中途上樓的層數(shù)；

（2）分目的地為同一層樓的人都坐同一部電梯，即/、8電梯所到樓層不重疊和不妨設(shè)/電

梯到達(dá)10層，則可假設(shè)2電梯停留層數(shù)均小于/電梯停留層數(shù)，兩種情況討論，進(jìn)而可得出

結(jié)論；

（3）根據(jù)題意求出”與。的關(guān)系，進(jìn)而可得出答案.

【小問1詳解】

包括1樓，電梯共開關(guān)門10次數(shù)，上升9層，

所以完成運(yùn)輸所花時(shí)間為10x10+9x5=145秒；

【小問2詳解】

假設(shè)T;目的地為同一層樓的人都坐同一部電梯，即/、8電梯所到樓層不重疊.

理由：將目的地為同一層樓的人調(diào)整到同一部電梯可以使得其中一部電梯至少節(jié)約10秒，這

樣調(diào)整后方案的"運(yùn)輸完成時(shí)間"必然不大于原方案.

假設(shè)二：不妨設(shè)/電梯到達(dá)10層，則可假設(shè)8電梯停留層數(shù)均小于N電梯停留層數(shù).

理由：記3電梯最高到達(dá)儀/><10）樓，若存在/電梯到達(dá)。樓，且的情況.兩部電梯交

換這兩層的人，則心不變，”至少減少5秒，新方案"運(yùn)輸完成時(shí)間”必然不大于原方案；

【小問3詳解】

設(shè)/電梯到達(dá)樓層為。層，10>?>3,3電梯到達(dá)樓層為2~。-1層，

7；=（12-a）xl0+9x5=165-10a,7^=（a-l）xl0+（fl-2）x5=15a-20,

,,[165-10?,3<a<7

Tn=max{T,,T?}=<,

a=7時(shí)，”取得最小值95秒，即/電梯目的地為710層，2電梯目的地為2?6層.

22（3、1

20.如圖，已知橢圓C：I+￡=l（a〉b〉0）經(jīng)過點(diǎn)尸離心率e=g.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵橢圓C上任意點(diǎn)T,X軸上一點(diǎn)S（加,0）,若|73|的最小值為帆+2|,求實(shí)數(shù)加的取值

范圍；

（3）設(shè)4s是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)尸），直線AB與直線I:x=4相交于點(diǎn)M,

記PA,PB,PM的斜率分別為配左2，質(zhì)，求證:左，&，左2成等差數(shù)列.

22

【正確答案】（1）—+^=1

43

（2）m<--

2

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率求出a=2,c=l,從而求出廿二片―02=3,得到橢圓方

程;

（2）設(shè)T（xj）,|TS『='-2%+蘇+3,討論對(duì)稱軸與定義域的關(guān)系即可得出答案.

（3）先得到直線Z8的斜率一定存在，設(shè)出直線48的方程，求出M（4,3左），直線A8的方

程與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，進(jìn)而表達(dá)出左，左2,右，從而得證.

【小問1詳解】

由題意，點(diǎn)尸在橢圓￡+E=l上得，可得±+冬=1①

I2ja2b2a4〃

1c1

又由e=—,所以一二—②

2a2

由①②聯(lián)立且02=/-〃，可得。2=1，/=4，〃=3，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1.

43

【小問2詳解】

（2、2

設(shè)T（x,y）,二（1—冽J+y2=卜—加）2+3]_32mx+m2+3,

令g（x）=^--2mx+m2+3，對(duì)稱軸為x=4加,因?yàn)橐?<x?2，

當(dāng)4加<一2,即加〈一工，

2

g（x）min=g（-2）=1+4加+冽?+3=4m+m2+4=（m+2）2,故符合題意;

當(dāng)4m>2,即冽>；,

g（x）min=g（2）-l-4m+m2+3=-4m+m2+4=（加一2『,

所以（加—2）2=（加+2）2,解得冽=0,不符合題意；

當(dāng)一2?4m<2,即—<m<—,

22

g（x）min=g（4〃?）=-3m2+3=（加+2）~,解得沉=--；

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為.加《-工

2

【小問3詳解】

由（1）知，橢圓的方程為土+匕=1,可得橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)尸（1,0）,

43

顯然直線45斜率存在，設(shè)48的斜率為左，則直線48的方程為歹=k（x-1）,

y=k（x-l）

2

聯(lián)立方程組《w整理得（4左2+3）x-8k2x+4（左2—3）=0,

[43

8k24g3）

易知A〉0,設(shè)8（工2，%）,則有為+馬

由直線48的方程為歹=k（x—1）,令x=4,可得y=3左，即M（4,3左），

33

二匕一2,3k--

從而kk=

一]2—

X]x21

又因?yàn)?aB共線，則有左=3尸=左.，即有上T=TT=3

X］L1

33

%一1%-53(11)

所以/kv?+Ik八/2=

Xj—1%—]2(X]—1%—1,

/+/-2

=2k--——

2X1%2,一(%+4)+1

將％+%=T年=生口

代入得

124/+3?24/+3

8k之2

34/+3-

k、+k,=2k——2k-\

4代-3)8必門

4左2+34左2+3

又由公=左—；，所以左+左2=2%，即/，k3,&成等差數(shù)列.

方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(占,%),(々，%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或>)的一元二次方程，注意△的判斷；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為占+%、再%2(或見+%、%%)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

21.已知y=f(x)是定義在［0,+。)上的函數(shù)，滿足/(x)>0恒成立.數(shù)列｛%｝滿足:4=0,

a+1

4+1=nz?eN,/z>l

/(%)'

(1)若函數(shù)/(x)=a-2*—1(x20),求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若函數(shù)y=f(x)是［0,+。)上的減函數(shù)，求證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)均存在〃°eN,〃o?l,

使得n〉人時(shí)，均有an>M■,

(3)求證："函數(shù)y=/G)是[0,+。)上的增函數(shù)”是"存在〃eN,〃21,使得

/(4+])<2/(%)"的充分非必要條件.

【正確答案】(1)a>\

(2)證明見解析(3)證明見解析

【分析】(1)將/(x)=a-2*—1>0恒成立轉(zhuǎn)化為°〉,然后求最值即可;

-」max

、1、“T

(2)利用放縮的思路得到%+i2%,然后利用累加法得到%>7⑹，最后取

〃。不必⑼]+1eN*即可得證;

x+l,xe[0,l]u[2,+co)

(3)取特殊函數(shù)/(x)=<來(lái)證明非必要性，利用反證法的思路來(lái)證

3-x,xe(1,2)

明充分性.

【小問1詳解】

由/(x)=a2—1>0即對(duì)一切xe[°，+8)恒成立，所以a〉l,

當(dāng)a〉1時(shí)，/(x)在xe[0,+co)上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意0<玉<々，均有/(%1)*/(x2),

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為.a〉1

【小問2詳解】

證明：由函數(shù)/(x)在[0,+⑹上單調(diào)遞減，即對(duì)一切xe[O,+⑹，均有/(x)?/(O),

所以對(duì)一切〃eN*，均有/(4)</(O),可得:4+1=%H--；--2H--；~~-

fM/⑼

n—1

所以=%一〃〃一i+…+〃2-+%之/⑼，對(duì)一切n>2,

對(duì)任意正實(shí)數(shù)取〃0=[M(0)]+1?城，[]為表示為取整,

72-1%—10⑼+1-1

當(dāng)〃>4時(shí)a〃之一r>/、=M

。"/(0)/(0)/(0)

【小問3詳解】

/、x+l,x€[0,11U[2+(X))

非必要性:取/(x)=)」L90在[0,+⑹上不是增函數(shù)，

3—x,x€(1,2)

1133

但％=0,%=%+而J=1,%=%+冗力=5,/(%)=2,/(%)=5<2/(%)，

充分性:假設(shè)對(duì)一切〃CN*，均有/(4+J之2/(4)>0,

所以/(%)"/(6)=2"/⑼(*),

由遞推式

11八,1(1Tl八112

/(??)2。⑼7(0)12^2J/(0)1」/(0)

2

2

因?yàn)閥=/(x)為增函數(shù)，所以/(4+Jv/**

‘2'

由(*)(**)可知：2"⑼4/17(0)J對(duì)一切〃eN*均成立,

記N=/(0)>0,3=/-^―>0可知，當(dāng)〃>log,［且］時(shí)，上述不等式不成立,

U(0)J3

所以假設(shè)錯(cuò)誤，即存在〃eN*，使得/(4+J<2/(4).

方法點(diǎn)睛：反證法的一般步驟：

①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；

②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；

③結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立.

【附加題】(共10分)

22.世界上除了圓形的輪子之外，還有一些好事之徒制作了不少形狀的多邊形輪子.

（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形4BCD,其初始位置為/（0,0）,

5(1,0),C(l,l),D(0,l).

%

D-

O(A)Bx

①將整個(gè)正方形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C首次旋轉(zhuǎn)到x軸正半軸上停止：

②再將整個(gè)正方形ABCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D首次選擇到x軸正半軸上停止；

③再將整個(gè)正方形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A首次選擇到x軸正半軸上停止；

④再將整個(gè)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B首次選擇到x軸正半軸上停止.

我們將上述四個(gè)步驟依次操作一遍，稱為將正方形48CD“滾動(dòng)”一周.

為使點(diǎn)B向x軸正方向移動(dòng)100個(gè)單位長(zhǎng)度，需要將正方形/BCD“滾動(dòng)”周，在這個(gè)

過程中，點(diǎn)A經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)度為個(gè)單位長(zhǎng)度；

（2）如果制造一個(gè)正〃邊形