三角恒等變換及應(yīng)用（八大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01兩角和與差的三角函數(shù)

?題型02二倍角公式

?題型03半角公式

?題型04輔助角公式及應(yīng)用

?題型05降幕公式

?題型06萬(wàn)能公式

?題型07積化和差與和差化積公式

?題型08三角恒等變換的應(yīng)用

?題型01兩角和與差的三角函數(shù)

1.(23-24高三上?廣東肇慶?階段練習(xí))cos50°cos700+sin50°cos160°=()

A百RJ3

A.---b.C.--D.y

2222

2.(2023?福建廈門(mén)?模擬預(yù)測(cè))已知sina+sin=sin[a]

,貝！Jsina=()

A.0B.C.±—D.+—

72一2

3.（23-24高三上?廣東江門(mén)?階段練習(xí)）如圖，a,尸是九個(gè)相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個(gè)角,

則a+Q=()

兀兀兀5兀

A.—B.-C.-D.—

64312

已知tana=；,tan/?二;，則tan(夕-a)=()

4.（2023?四川宜賓?二模）

417

A.1B.-C.-D.-

376

已知戊￡(0,兀)，若G(sina+sin2a)+cosa—cos2a=0,貝人抽卜+春卜()

5.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）

V3_V6+V2門(mén)^6-^2

A.—B.----L.-----------u.-----------

2244

?題型02二倍角公式

6.（21-22高三上?陜西漢中?階段練習(xí)）已知sin2x=sinx,xe（0,7t）,則cosx=（）

A.0B.2C.0.5D.0或2

7.（20-21高三上?吉林松原?期末）若cos+=則sin29二()

1B

A.—B.C.yD.

2222

2V5EcCOS。/、

8.（23-24高三上?福建寧德?期中）已知a是第一象限角，cosa=------,貝Ucos26z——;=()

5sina

137131

A.-----B.—C.—D.—

55510

9.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）右tan16z+—1=3,貝!Jsin2a+cos2a=()

864

A.-B.1C.一D.—

553

10.(2024?遼寧?一模)若tan2c=±,則2+2c°s2a-3sm2a=()

3l—cos2a

1_p._p.11

A.一一或2B.-2或,C.2D.一一

222

11.(2024?全國(guó)■模擬預(yù)測(cè))已知tantzcos[E-a]-cos[m+e]=0，貝l]------------------

14)^4)<2)4cos-(z+sm2(z

A.273-2B.472-3C.2V2D.3-2V2

?題型03半角公式

12.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知角a是第二象限角，且終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,4）,則tan￡=（）

A.3B.yC.2D.十或2

13.（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）已知角二的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)門(mén)；,-乎],則2cos2]+5山￡=（）

A5—Jl5D-x/l5—5-5+Jl5

444

14.（2023?全國(guó)?高考真題）已知。為銳角，cosa='+亞n,,.a

則sin-=）.

42

3—^5—1+V53—>/5—1+y/5

ARrD.

8844

15.（22-23高三上?河北石家莊?期末）已知l+cosO=4I,g

則tan—=.

sing32

?題型04輔助角公式及應(yīng)用

16.（23-24高三下?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)）已知0,-,sinr+cosx=—,貝!Jtanx—<=_____.

L4j5I4；

17.（2024?新疆喀什?二模）已知函數(shù)/（x）=sin（x-夕）-cosx,其中滿足/⑼=則

9=.

18.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)工￡,則函數(shù)y=Jsinx+Jcosx的最大值為.

19.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知函數(shù)/（%）=sins:-百cosox（69>0）,若存在再兀］，使得/（項(xiàng)）=-2,則G

的最小值為1

?題型05降幕公式

sin800+1

20.（2022?云南?模擬預(yù)測(cè)）（）

A.V2B.__C.-2D.2

~2~2

05

（22-23高三下?安徽?開(kāi)學(xué)考試）已知sind+2cos2—=—,則sin26=（）

24

151533

A.B.—C.——D.

161644

/pn-.,,,,r+j-j-iui、一th1—cos26+sin26

22.（2021?四川巴中?模擬預(yù)測(cè)）已知；----——―T=2,則tan6=（）

l+cos20+sin20

A.1B.2C.3D.

cox

23.（22-23高三上?廣西柳州?階段練習(xí)）已知的數(shù)/（x）=2cos2（0>0）,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)K

在區(qū)間。"+6）上的值域均為［-5,-3］,則①的取值范圍為（）

A?陷B.仔+jC.日+8）71

D.—,+00

3

?題型06萬(wàn)能公式

24.（20-21高一下?陜西西安?期末）若tana=3,則sin2a=（）

33D3

A.-B.--c

55-4.4

7C2

25.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知第二象限角。滿足tanadan6T+—-,則cos2a=()

4433

A.——B.一C.一D.--

5555

71

26.（2021?河北邯鄲?一模）已知2sin（萬(wàn)一戊）=3sin］,+a，則sin2a--sin2a-cos2a-()

2

5151

A.—B.C.D.

13131313

?題型07積化和差與和差化積公式

7t—3兀.7八1

27.（2021高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求cos—+cos--2sin—cos?的值;

884O

28.（22-23高三上?廣東汕頭?期末）設(shè)銳角三角形45C的內(nèi)角4、B、。所對(duì)的邊分別為q、b、c,已知

a=bcosA-acosB.

⑴求證：B=2A；

（2）求"的取值范圍.

a

?題型08三角恒等變換的應(yīng)用

29.（2024?山東?二模）已知函數(shù)/（x）=J§sin2x-cos2x,則下列結(jié)論正確的是（）.

A.函數(shù)/（力的最大值是百

B.函數(shù)在-pj上單調(diào)遞增

C.該函數(shù)的最小正周期是2兀

D.該函數(shù)向左平移？個(gè)單位后圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

6

30.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sis+2cos2號(hào)（g>0）在［0,兀］上有且僅有4個(gè)零點(diǎn).則/⑺圖

象的一條對(duì)稱軸可能的直線方程為（）

7171

A.x=—B.X=一

2010

371571

C.x=------D.X二——

2014

31.（22-23高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）已知函數(shù)/卜）=5由。-（：05。+2651111005%-；k￡R）.

⑴求〃》）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;

兀兀a兀求cos（2a+：兀］的值.

⑵若，且/—+一

2124

32.(2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx-〃(sin2x-cos2x

則直線24x-9Q-肪=0與/⑺的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

33.（23-24高三下?浙江寧波?階段練習(xí)）的內(nèi)角45。的對(duì)邊分別為。也。，且

sin(4-B)cosC=cosBsin(4-C).

⑴判斷的形狀;

1911

⑵若"8C為銳角三角形,=求/+"+》的最大值-

02模擬精練

一、單選題

已知戊］。,；-,貝！|sin[a+；71]=(

1.（2024?福建廈門(mén)?三模）,sin2a=)

54

A柄V5「2百4

B.D.

25555

3cosa

2.（2024?河北保定?二模）已知tana=，則cos2a=()

sina+11

7777

A.——B.C.一D.

8899

a

3.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知■，兀，25cos2a—10sina—l=0,貝!jtan—=()

2

43]_

A.3B.C.一D.

343

g,貝！Jcos口1—571

4.（2024?河南?二模）已知sinx+cosx)

2

3388

A.B.一C.—D.

5599

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知尸是單位圓上不同的兩點(diǎn)，其中尸在第一象限,

31

0在第二象限，直線。尸的傾斜角分別為a1,若點(diǎn)P,。的橫坐標(biāo)分別為1-5,則sin（夕-0=（）

A4--3?473+3

D.----------

1010

C3鳳4D3—+4

1010

IT7TItana2/小

6.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）若一/a<〃<了且coscsm"，’ta““則cos(*0=()

A疝O疝「V35V35

A.-----D.-------L?-----D.

666~6~

TTsin2x+3cos2x+3人心日】口/

7.（2024?全國(guó)?三模）當(dāng)0V尤〈一時(shí),----------------的最大值是（)

2cosx

A.2B.VioC.0D.2而

8.（2024?陜西榆林?三模）已知240,2兀）,若當(dāng)工￡［05時(shí)，關(guān)于％的不等式

（sina+cosa+l）/_（2sina+l）x+sina〉0恒成立，則a的取值范圍為（）

兀5兀兀5兀兀71兀5兀

A.B.C.D.

125126，-6-

二、多選題

3

9.（2。23?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若tag*?！辏?,兀），貝|（）

a1176

A.sin。>cos。B.0<ortan?<1C.tan———D.cos2a+—

23I4.50

10.（2023?浙江?二模）已知函數(shù)［（x）=sin（x+°）-sin（x+7°）為奇函數(shù)，則參數(shù)。的可能值為（）

71713兀71

A.-B.一C.—D.-

8482

71

（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）已知/（x）=sin2cox+—-cos2+y（?>0）,下列判斷正確的是（）

A.若■/'(%)="%)=0,且卜|-/1山=、,則0=2

B.0=1時(shí)，直線x=m為/（尤）圖象的一條對(duì)稱軸

6

C.。=1時(shí)，將/（x）的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.若/"（X）在［0,2兀］上恰有9個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為

三、填空題

,人e一5、一t心6cosae

12.(2024?全國(guó)?一模)已知tana=----------,則cos2a=

7—sina

13.（2024?湖北?三模）設(shè)函數(shù)/（%）=$皿%+夕）+850+0）對(duì)任意的洶1￡2均滿足/（-%）=/（x）,貝［］tan"=

A展則

14.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為。也。，若sin《二

2

￡的取值范圍是

b

四、解答題

15.(2024?黑龍江?二模)已知向量比=]j§'sin2sin|'+cos|^,萬(wàn)=(2cos|?,sin|-cos],且函數(shù)

f(x)=m-n-a在xeR上的最大值為2-g.

⑴求常數(shù)。的值；

⑵求函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

16.(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))已知在AABC中，三邊a,6,c所對(duì)的角分別為48,C,已知

a(cosA+cosScosC)=Gbsiih4cosc.

(1)求C;

⑵若“=2,4/3C外接圓的直徑為4,求。8c的面積.

17.(2023?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知“8c的內(nèi)角4瓦C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且6=-2acosC.

(1)證明：tanC+3tan4=0；

(2)若“BC的面積為26/=2收，判斷“3C是否為等腰三角形，并說(shuō)明理由.

18.(2024-江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=2sin2尤+3sinxcosx+cos2+：]+a.

(1)若xeR,求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵當(dāng)時(shí)0,萬(wàn)]時(shí)函數(shù)〃x)的最小值為2,求實(shí)數(shù)。的值.

[xf=ax+by…

19.(2024?安徽?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用公式，二①(其中a,,c,，為常數(shù))，

[y=ex+ayb

將點(diǎn)尸(X/)變換為點(diǎn)尸'(無(wú)'/')的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①

可由。，b,c,，組成的正方形數(shù)表1(ab/唯\一確定，我們將(a…b\稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫(xiě)英

(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)p(3,4)繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得到點(diǎn)p(到原點(diǎn)距離不變)，求點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

(2汝口圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)尸(xj)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)&角得到點(diǎn)P(x'/')(到原點(diǎn)距離

不變)，求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；

⑶向量痂=(x,y)(稱為行向量形式)，也可以寫(xiě)成這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標(biāo)公式

①可以表示為：mD則稱是二階矩陣T與向量的乘積，設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,

m,五是平面上的任意兩個(gè)向量，求證：A[m+n)=Am+Aii.

三角恒等變換及應(yīng)用（八大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01兩角和與差的三角函數(shù)

?題型02二倍角公式

?題型03半角公式

?題型04輔助角公式及應(yīng)用

?題型05降幕公式

?題型06萬(wàn)能公式

?題型07積化和差與和差化積公式

?題型08三角恒等變換的應(yīng)用

?題型01兩角和與差的三角函數(shù)

1.（23-24高三上?廣東肇慶?階段練習(xí)）cos50°cos700+sin50°cos160°=（）

ARV3r_1rx￡

A.b.C.u.~

2222

【答案】C

【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與和差公式即可得解.

【解析】cos50°cos70°+sin50°cos160°

=cos50°cos70°+sin50°cos(90°+70°)

=cos50°cos70°-sin50°sin70°

=cos(50°+70°)=cos120°=--.

故選：C.

2.(2023?福建廈門(mén)?模擬預(yù)測(cè))已知sintz+sin，+[^=sin[g-a[,貝!]sin(z=()

A.0B.±—C.±—D.±—

722

【答案】A

【分析】利用兩角和差的正弦公式將題給條件化簡(jiǎn)，得到關(guān)于sine的方程，解之即可求得sine的值.

?正-..(2兀).(1.百'

【解析】sincr+sina+——\=sma+——sincr+——cosa

2222

故選：A

3.(23-24高三上?廣東江門(mén)?階段練習(xí))如圖，a,，是九個(gè)相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個(gè)角,

貝lJa+〃=()

兀兀715兀

A.-B.-C.一D.—

64312

【答案】B

【分析】求出名尸的正切值，即可得出a+-的正切值,進(jìn)而求出a+￡的度數(shù).

【解析】由題意及圖得，tana=g,tan〃=g,

-1-1__1

tan(a+/?)=*!4±颯^=匕1.

]—tana+tan^j_xj_

一23

陷,二回

「?a+/?=￡.

故選：B.

4.（2023?四川宜賓?二模）已知tana=gtan/?=；,則tan（/?—a）=（）

417

A.1B.—C.—D.一

376

【答案】C

【分析】根據(jù)正切的和差角公式即可代入求解.

11

【_解析】tan，c("a、)\t+anW￡〃-tannae23.L

l1+-1x-17

23

故選：C

?廣西?模擬預(yù)測(cè))已知(兀)，若省貝!

5.(20241￡0,(sin1+sin2a)+cosa-cos2a=0,Jsin[a+])

AA/2口A/3R+>/2nV6—V2

2244

【答案】A

【分析】利用正弦兩角和公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出a,代入即可求解.

【解析】因?yàn)镚(sina+sin2a)+cosa-cos2a=0,

2a一旦2a

所以11

2222

所以sin(a+.=sin|—~2a

16

兀兀7171

以aH——■—2^z+2ATT,k￡ZaH----1-----26z—2ATI+兀，左eZ,

6666

又ae(0,7t),所以&

故選：A

?題型02二倍角公式

6.（21-22高三上?陜西漢中?階段練習(xí)）已知sin2x=sin尤，xe（0,7i）,貝!]cosx=（）

A.0B.2C.0.5D.0或2

【答案】C

【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.

【解析】因?yàn)閤e（0,7i）,所以sinxwO,

所以由sin2x=2sinxcosx=sinx得cosx=—,

2

故選：c

7.（20-21高三上?吉林松原?期末）若cos（：+。；,則sin26=()

1

A.——c

22-T2

【答案】C

【分析】利用和角的余弦公式展開(kāi)，再平方即得解.

【解析】解：由題得巫cose-1sinecos。一sin6=9

2222

兩邊平方得1—sin2。二士sin2。=L.

22

故選：C

2V5cosa

8.（23-24高三上?福建寧德?期中）已知。是第一象限角,cosa=-----,則cos26z-()

5sina

137131

A.——B.——C.—D.

55510

【答案】B

【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式化簡(jiǎn)求值.

因?yàn)椤Ｊ堑谝幌笙藿?，?

【解析】cosa=2

275

57

5

5

故選：B.

9.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))若tan[a+z)=3,貝！JsinZa+cos?。=(

864

A.-B.1C.一D.

553

【答案】A

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式求出tana,再由二倍角公式公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再

代入計(jì)算可得.

71

tana+tan—

tana+1〃目,￡

【解析】因?yàn)閠an（a+；4----------=:，即ntana

711-tarrz

I—tana?tan—2

4

2X￡+1

2sinacosa+cos*2a_2tana+1_28

則sin2a+cos2a=

si?n2a+cos2atan2a+1ILi5-

故選：A

42+2cos2a-3sin2a

10.(2024?遼寧?一模)若tan2a=—,則)

31-cos2a

151

A.一7或2B.—2或5C.2D.——

22

【答案】C

【分析】

根據(jù)已知條件，利用正切的二倍角公式求出tana,再利用正余弦二倍角公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化

簡(jiǎn)要求值的式子，帶值計(jì)算即可得到答案.

42tana41-

【解析】tan2a=§n=—=>tana=一或一2,

l-tan2a32

2+2cos2a-3sin2a

1-cos2a

2+2(2cos2a-l)-6sinacosa

1-l-2sin2a

4cos2a-6smacosa

2sin2a

2-Stance

tan2a

代入tana求得值均為：2.

故選：C.

71—71+j=0,aw[0,5),則sin2a/、

11.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知tanacos~~a-cos----2----：----二()

44cosa+sm2a

A.273-2B.472-3c.2V2D.3-2V2

【答案】D

【分析】先利用誘導(dǎo)公式和差角公式求出正切值，再利用齊次式可求答案.

71兀

【解析】因?yàn)閠anacos-cos------FCX=0,所以tanacosa-sm=0,

4~~

又二寸。，!?卜所以cos:一所以tana-tan二0,

即‘a(chǎn)na一三翳=°'解得tan?=0-1或tana=-忘-1，

因?yàn)閍所以tana=V5—l，

sin2a2sinacosatanaA￡-I

所以----n-----：-----=----2-----------------=3-2V2.

4cosa+sin2a4cosa+2sinacosa2+tanaV2+1

故選：D

?題型03半角公式

12.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知角a是第二象限角，且終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,4),則tan￡=()

A.3B.yC.2D.g或2

【答案】C

Cfcinry

【分析】根據(jù)已知條件求出sina和cosa的值，再利用tan1=產(chǎn)'求解即可.

21+cosa

【解析】???角0是第二象限角，且終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,4),

55

.aA.aa4

sm—2-sm——cos—

asma

tan—=222

2a21+cost/

cos—2cos01+

22

故選：c.

13.(23-24高三下?云南?階段練習(xí))已知角e的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸:,-乎;則2cos之事+sine=()

.5-V15D-V15-5_5+V15、V15-5

4444

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求出正弦和余弦，結(jié)合半角公式求出答案.

【解析】由三角函數(shù)定義得sina=-姮，cosa=L

44

在［、jc2a.1-1J1515-J15

所以2cos——bsina=1+cosa+sma=1--------F—=----------?

2444

故選：A.

14.(2023?全國(guó)?高考真題)已知a為銳角，cosa=+，貝!Jsin7=().

42

3—A/5—1+y/~53—V5—1+A/5

A.-------DR.----------rC..---------nU.----------

8844

【答案】D

【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【解析】因?yàn)閏osa=l-25時(shí)4=91,而a為銳角,

解得:75-1.

4

故選：D.

15.（22-23高三上?河北石家莊■期末）已知!+但=g貝ljtan'=.

sin。32

【答案】百

【分析】利用半角公式即可求解.

e

2、cos工—。cos—1人

L,、r1+COS0曰

【解析】因?yàn)轱wk_______2____2=11+cos^

.80.90'sin6

2sin—cos—sm—tan—1,111173

2222

所以tang=8,

故答案為：V3.

?題型04輔助角公式及應(yīng)用

16.（23-24高三下?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)）已知xe0,：,sinx+cosx=;一，則tan［x-￡J=.

【答案】3

［分析】借助輔助角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)算即可得.

故sin［尤+：3V10

10

sinfx+—3A/10

I4人

tanfx-^=tanfx-^+Xtanfx+^10_q

I4；I4J14；cosfX+色］

(4J7o-

故答案為：3.

71

17.（2024?新疆喀什?二模）已知函數(shù)［（x）=sin（x-0）-cosx,其中0<0<萬(wàn)，滿足/（0）=/則

9=.

【答案】

O

【分析】根據(jù)了（0）=（［代入計(jì)算，化簡(jiǎn)可得關(guān)于。的方程，解方程即可.

【解析】因?yàn)?3=$皿苫-9）-8"，/（O）=/^y^,

jr1

所以一sin°-l=sin（§—（p）~—,

grpiA/31..1日口百1.1

所以cos（p-—sin夕+sm°+喳=0,即coscp+—sin夕=一了，

jr1

所以sin（"+§）=-5,

TT7乃S77

又因?yàn)?<0〈］，所以9+二=二，即片衛(wèi).

366

故答案為：.

O

18.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)工￡,則函數(shù)y=Jsinx+Jcosx的最大值為

【答案