二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課一、微分中值定理及其應(yīng)用

中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系羅爾定理柯西中值定理泰勒中值定理

2.微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論

3.有關(guān)中值問題的解題方法利用逆向思維,設(shè)輔助函數(shù).一般解題方法:證明含一個(gè)中值的等式或根的存在,(2)若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理.必須多次應(yīng)用中值定理.(4)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),多考慮用泰勒公式,(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理.

例1.

設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)有界.證:取點(diǎn)再取異于的點(diǎn)對(duì)為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理,得(定數(shù))可見對(duì)任意即得所證.

例2.

設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且證明至少存在一點(diǎn)使上連續(xù),在證:問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故至使即有少存在一點(diǎn)

例3.且試證存在證:欲證因f(x)在[a,b]上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有將①代入②,化簡得故有①②即要證

例4.

設(shè)實(shí)數(shù)滿足下述等式證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證:令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點(diǎn)使即

例5.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且分析:所給條件可寫為(03考研)試證必存在想到找一點(diǎn)c,使證:因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點(diǎn)由羅爾定理知,必存在例6.

設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明證:由泰勒公式得兩式相減得

二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點(diǎn),漸近線,曲率2.解決最值問題目標(biāo)函數(shù)的建立與簡化最值的判別問題3.其他應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)變化率;證明不等式;研究方程實(shí)根等.4.補(bǔ)充定理(見)

設(shè)函數(shù)在上具有n階導(dǎo)數(shù),且則當(dāng)時(shí)證:令則利用在處的n－1階泰勒公式得因此時(shí)定理.

的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例7.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,

單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為

.提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;

.在區(qū)間

上是凸弧;拐點(diǎn)為提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.形在區(qū)間

上是凹弧;則函數(shù)f(x)的圖(2)

設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示,

例8.

證明在上單調(diào)增加.證:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,

故當(dāng)x>0時(shí),從而在上單調(diào)增.得例9.

設(shè)在上可導(dǎo),且證明f(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn).

證:設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個(gè)零點(diǎn).又因因此也至多只有一個(gè)零點(diǎn).思考:若題中改為其它不變時(shí),如何設(shè)輔助函數(shù)?

例10.

求數(shù)列的最大項(xiàng).證:設(shè)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得令得因?yàn)樵谥挥形ㄒ坏臉O大點(diǎn)因此在處也取最大值.又因中的最大項(xiàng).極大值

列表判別:例11.證明證:設(shè),則故時(shí),單調(diào)增加,從而即思考:

證明時(shí),如何設(shè)輔助函數(shù)更好?

提示:例12.設(shè)且在上存在,且單調(diào)遞減,證明對(duì)一切有證:設(shè)則所以當(dāng)令得即所證不等式成立.

例13.

證:只要證

利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.例14.證明當(dāng)x>0時(shí),證:令則法1由在處的二階泰勒公式,得故所證不等式成立.與1之間)

法2列表判別:即

法3利用極值第二判別法.故也是最小值,因此當(dāng)時(shí)即

例