已知101g+16h=82,求gh最大值的方法主要內(nèi)容：本文詳細介紹通過代入法、三角換元法、判別式法、中值替換法、不等式法、幾何數(shù)形法、構造函數(shù)等方法計算gh在101g+16h=82條件下的最大值。主要公式：1.sin2a+cos2a=1；2.ab≤eq\f((a+b)2,2)；3.二次方程根的判定定理；4.一次函數(shù)的導數(shù)公式d（ax）=adx。思路一：直接代入法根據(jù)已知條件，替換h=eq\f(82-101g,16)，得到關于g的函數(shù)，再配方并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得gh的取值范圍。gh=geq\f(82-101g,16)=-eq\f(1,16)(101g2-82g)=-eq\f(101,16)(g2-eq\f(41,101)g)=-eq\f(101,16)(g-eq\f(41,101))2+eq\f(1681,1616),則當g=eq\f(41,101)時，gh有最大值為eq\f(1681,1616)。思路二：判別式法設gh=p，得到h=eq\f(p,g),代入已知條件關于g的函數(shù)，并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得gh的取值范圍。101g+16h=82,101g+16*eq\f(p,g)=82,101g2-82g+16p=0,對g的二次方程有：判別式△=822-4*101*16p≥0,即：p≤eq\f(822,4*101*16)=eq\f(1681,1616),此時gh=p的最大值=eq\f(1681,1616)。思路三：三角換元法將gh表示成三角函數(shù)，進而得gh的最大值,對于本題設:101g=82cos2t，16h=82sin2t，則：g=eq\f(82,101)cos2t,h=eq\f(101,16)sin2t,代入得：gh=eq\f(82,101)cos2t*eq\f(101,16)sin2t,=eq\f(1,4)*eq\f(82,101)*eq\f(101,16)*(4cos2t*sin2t),=eq\f(822,4*101*16)*sin22t,當sin2t=±1時，gh有最大值=eq\f(1681,1616)。思路四：中值代換法設101g=eq\f(82,2)+t?,16h=eq\f(82,2)-t?，則：g=eq\f(1,101)(eq\f(82,2)+t?),h=eq\f(1,16)(eq\f(82,2)-t?),此時：gh=eq\f(1,101)(eq\f(82,2)+t?)*eq\f(1,16)(eq\f(82,2)-t?)=eq\f(1,101*16)(eq\f(822,4)-t?2)。當t?=0時，即：gh≤eq\f(822,4*101*16)=eq\f(1681,1616),則:gh的最大值為eq\f(1681,1616)。思路五：不等式法當g，h均為正數(shù)時，則：∵101g+16h≥2eq\r(101*16*gh),∴(101g+16h)2≥4*101*16gh,822≥4*101*16gh,即：則gh的最大值為:eq\f(1681,1616)。思路六：數(shù)形幾何法如圖，設直線101g+16b=82上的任意一點P(g?,h?),op與x軸的夾角為θ，則： yp(g?,h?) o x101g?+16h?=82,h?=g?tanθ, 101g?+16g?tanθ=82，即：g?=eq\f(82,101+16tanθ), |g?*h?|=822*eq\f(|tanθ|,(101+16tanθ)2),=eq\f(822,\f(10201,|tanθ|)+2*101*16+256|tanθ|),≤eq\f(822,2*101*16+2*101*16)=eq\f(1681,1616)，則：gh的最大值=eq\f(1681,1616).思路七:構造函數(shù)法設函數(shù)：f(g,h)=gh-λ*(101g+16h-82),則偏導數(shù)：f'g=h-101λ,f'h=g-16λ,f'λ=101g+16h-82。令f'g=f'h=f'λ=0，則：h=101λ,g=16λ。進一步代入得：101λ+101λ=82,即λ=eq\f(4