中職數(shù)學(xué)角的概念推廣及其弧度制[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)一、角的概念的推廣1．“旋轉(zhuǎn)”形成角如圖，一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α.旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫作角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫作角α的終邊，射線的端點(diǎn)O叫作角α的頂點(diǎn)．2．正角、負(fù)角和零角(1)正角：一條射線繞著端點(diǎn)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角．(2)負(fù)角：一條射線繞著端點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角．(3)零角：一條射線繞著端點(diǎn)，沒有旋轉(zhuǎn)形成的角．二、終邊相同的角角的概念推廣以后，角可以經(jīng)過不同的方向旋轉(zhuǎn)得到，也可以旋轉(zhuǎn)不同的圈數(shù)而停止，因此角的始邊與終邊相同的情況下，可以表示很多不同的角，所有與角α終邊相同的角的集合為{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．三、象限角角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正方向重合，那么角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角．如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．第一象限角的集合：{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，或{α|2kπ<α<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}第二象限角的集合：{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，或{α|eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}第三象限角的集合：{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，或{α|π＋2kπ<α<eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}第四象限角的集合：{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}，或{α|eq\f(3π,2)＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z}．終邊落在x軸上的角的集合{α|α＝k·180°，k∈Z}或{α|α＝kπ，k∈Z}終邊落在y軸上的角的集合{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}或{α|α＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合{α|α＝k·90°，k∈Z}或{α|α＝eq\f(kπ,2)，k∈Z}說明：(1)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同．(2)銳角：0°<α<90°；小于90°的角：α<90°；鈍角：90°<α<180°.四、弧度制1．度1度的角：把圓周平均分成360等份，每份弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為1°.如：直角是90°，平角是180°，周角是360°，銳角范圍是(0°，90°)．2．弧度1弧度的角：把等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫1弧度的角．說明：(1)弧度可簡記為符號(hào)：rad；(2)弧度(rad)也可省略不寫，如α＝2，表示α＝2rad；(3)同一個(gè)表達(dá)式中，度與弧度一般不同時(shí)出現(xiàn)．3．弧度與角度的換算關(guān)系：πrad＝180°，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝(eq\f(180,π))°≈57.3°.4．特殊角的角度與弧度的互化對(duì)應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°210°240°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(7π,6)eq\f(4π,3)eq\f(3π,2)2π5.扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝eq\f(απR,180°)l＝α·R扇形的面積S＝eq\f(απR2,360°)S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R2基礎(chǔ)訓(xùn)練1．下列說法中，正確的是()A．第二象限角一定是鈍角B．鈍角一定是第二象限角C．第一象限角一定是正角D．第四象限角一定是負(fù)角2．在0°～360°范圍內(nèi)，與－420°終邊相同的角是()A．60°B．－60°C．240°D．300°3．把下列角度化為弧度．135°＝__________；－60°＝__________；330°＝__________；－120°＝__________；－360°＝__________．4．把下列弧度化為角度．eq\f(3π,4)＝__________；eq\f(5π,6)＝__________；－eq\f(4π,3)＝__________；eq\f(π,2)＝__________；eq\f(π,5)＝__________．5．在0°～360°范圍內(nèi)，與2625°角終邊相同的角為__________，是第__________象限角．[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1終邊相同的角例1與340°角終邊相同的角是()A．－160°B．－20°C．20°D．160°【解析】∵340°＝－20°＋360°，∴與340°角終邊相同的角是－20°.故選B.【變式訓(xùn)練】與－956°角終邊相同的最小正角是()A．34°B．56°C．124°D．214°考點(diǎn)2角度與弧度的互換例278°轉(zhuǎn)化為弧度為____________．【解析】由角度與弧度的換算關(guān)系可得78°＝eq\f(π,180)×78＝eq\f(13π,30).反思提煉：角度化為弧度，分母是180；弧度化為角度，分母為π.【變式訓(xùn)練】1.將240°化成弧度為____________，將－315°化成弧度為____________．2．將eq\f(5π,4)化為角度制為____________，將－eq\f(2π,3)化為角度制為____________．考點(diǎn)3象限角例3在0°～360°或0～2π范圍內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角，并判斷是第幾象限角：(1)－120°；(2)640°；(3)－950°12′；(4)eq\f(17π,3)；(5)eq\f(21π,4)；(6)－eq\f(31π,3).【解】(1)∵－120°＝－360°＋240°∴240°的角與－120°的角終邊相同，它是第三象限角．(2)∵640°＝360°＋280°∴280°的角與640°的角終邊相同，它是第四象限角．(3)－950°12′＝－3×360°＋129°48′∴129°48′的角與－950°12′的角終邊相同，它是第二象限角．(4)∵eq\f(17π,3)＝4π＋eq\f(5π,3)，又eq\f(3π,2)<eq\f(5π,3)<2π，∴eq\f(5π,3)是第四象限角，而eq\f(17π,3)與eq\f(5π,3)的終邊相同，所以它是第四象限角．(5)∵eq\f(21π,4)＝4π＋eq\f(5π,4)，又∵π<eq\f(5π,4)<eq\f(3π,2)，∴eq\f(5π,4)是第三象限角，而eq\f(21π,4)與eq\f(5π,4)的終邊相同，所以它是第三象限角．(6)∵－eq\f(31π,3)＝－12π＋eq\f(5π,3)，又∵eq\f(3π,2)<eq\f(5π,3)<2π，∴eq\f(5π,3)是第四象限角，而－eq\f(31π,3)與eq\f(5π,3)的終邊相同，所以它是第四象限角．反思提煉：利用終邊相同角的表示方法，然后通過k的取值找出0°～360°范圍內(nèi)的角，同時(shí)也可以判斷出角所在的象限．【變式訓(xùn)練】1.第四象限角的集合表示為()A．{α|270°<α<360°}B．{α|270°＋k·360°≤α≤360°＋k·360°，k∈Z}C．{α|270°≤α≤360°}D．{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}2．若角α是第三象限角，則2π－α是第________象限角．考點(diǎn)4扇形的弧長及面積公式例4設(shè)某機(jī)械采用齒輪傳動(dòng)，由主動(dòng)輪M帶著從動(dòng)輪N(如圖所示)，設(shè)主動(dòng)輪M的直徑為150mm，從動(dòng)輪N的直徑為300mm.若主動(dòng)輪M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)，則從動(dòng)輪N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)()A.eq\f(π,8)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2)D．π【解析】由題得eq\f(150,2)×eq\f(π,2)＝eq\f(300,2)α，解得α＝eq\f(π,4)，故選B.【變式訓(xùn)練】1.圓的半徑為1，該圓上長為eq\f(3,2)的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,2)2．已知圓的半徑為π，則60°圓心角所對(duì)的弧長為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π2,3)D.eq\f(2π2,3)例5如果一個(gè)扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”，則半徑為2的“等邊扇形”的面積為()A．πB．1C．2D.eq\f(2π,3)【解析】依題意得，弧長l＝r＝2，故扇形面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2×2＝2，故選C.【變式訓(xùn)練】一個(gè)扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數(shù)．[課堂訓(xùn)練]1．下列敘述中正確的是()A．1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角之和D．1弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小，它是角的一種度量單位2．下列命題中，正確的是()A．銳角都是第一象限的角B．小于直角的角都是銳角C．第一象限的角都是銳角D．終邊相同的角都相等3．與120°角終邊相同的角的集合是()A．{α|α＝－600°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}D．{α|α＝660°＋k·360°，k∈Z}4．若角α與β終邊相同，則一定有()A．α＋β＝180°B．α＋β＝0°C．α－β＝k·360°，k∈ZD．α＋β＝k·360°，k∈Z5．下面與eq\f(π,3)終邊相同的角是()A．－eq\f(π,3)B．－eq\f(π,6)C.eq\f(7π,3)D．－eq\f(7π,3)6．已知扇形的面積為2cm2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm7．經(jīng)過半小時(shí)，分針轉(zhuǎn)過了__________度，經(jīng)過三小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過了__________rad.8．把1785°寫成α＋k·360°(k∈Z，0°≤α＜360°)的形式為__________，角1785°是第__________象限角．9．用角度和弧度分別寫出滿足下列條件的角的集合：(1)第一象限角；(2)銳角；(3)小于90°的角；10．一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形，圓弧的半徑為2km，一列火車以30km/h的速度通過，求火車經(jīng)過10s后轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)．角的概念推廣及其弧度制答案知識(shí)整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．B【解析】選項(xiàng)A：480°角是第二象限的角，但不是鈍角，故A錯(cuò)；選項(xiàng)B：鈍角的范圍為(90°，180°)，所以鈍角一定是第二象限的角，故B正確；選項(xiàng)C：－300°是第一象限的角，但不是正角，故C錯(cuò)；選項(xiàng)D：300°是第四象限的角，但不是負(fù)角，故D錯(cuò)．故選B.2．D【解析】因?yàn)椋?20°＝－2×360°＋300°，所以－420°角的終邊與300°角的終邊相同，又因?yàn)?00°在0°～360°這個(gè)范圍，所以0°～360°范圍內(nèi)，與－420°終邊相同的角是300°，故選D.3.eq\f(3π,4)－eq\f(π,3)eq\f(11,6)π－eq\f(2π,3)－2π【解析】角度化為弧度，即乘以eq\f(π,180°).4．135°150°－240°90°36°【解析】弧度化為角度，即乘以eq\f(180°,π).5．105°二【解析】由2625°＝105°＋7×360°，得在0°～360°范圍內(nèi)，與2625°角終邊相同的角為105°，為第二象限的角．重難點(diǎn)突破【例1】【變式訓(xùn)練】C【例2】【變式訓(xùn)練】1.eq\f(4π,3)，－eq\f(7π,4)【解析】240°＝240×eq\f(π,180)＝eq\f(4π,3)；－315°＝－315×eq\f(π,180)＝－eq\f(7π,4).2．225°，－120°【解析】eq\f(5π,4)＝(eq\f(5,4)×180)°＝225°；－eq\f(2π,3)＝－(eq\f(2,3)×180)°＝－120°.【例3】【變式訓(xùn)練】1.D【解析】第四象限的角的終邊在x軸的正半軸與y軸的負(fù)半軸之間，而終邊在x軸正半軸上的角可以表示為360°＋k·360°(k∈Z)，終邊在y軸負(fù)半軸上的角可以表示為270°＋k·360°(k∈Z)，所以第四象限的角的取值范圍是270°＋k·360°<α<360°＋k·360°(k∈Z)．2．二【解析】因?yàn)榻铅潦堑谌笙藿?，所以－α是第二象限角，?π－α終邊與－α終邊相同，所以2π－α是第二象限角．【例4】【變式訓(xùn)練】1.B【解析】由公式l＝|α|·r?eq\f(3,2)＝α×1?α＝eq\f(3,2)，選B.2．C【解析】l＝|α|·r?l＝π×eq\f(π,3)?l＝eq\f(π2,3)，選C.【例5】【變式訓(xùn)練】【解】設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則2r＋l＝4，∴l(xiāng)＝4－2r，根據(jù)扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr，得1＝eq\f(1,2)(4－2r)·r，∴r＝1，∴l(xiāng)＝2，∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2，即扇形的圓心角為2rad.課堂訓(xùn)練1．D【解析】由弧度的定義，知D正確．2．A3．A【解析