第1頁（共1頁）2025年山東省濟南市萊蕪區(qū)中考數(shù)學一模試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，5有一項是符合題目要求的.）1．（4分）在2，﹣1，π，﹣四個數(shù)中（）A． B．2 C．π D．﹣12．（4分）篆刻是中華傳統(tǒng)藝術之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（）A． B． C． D．3．（4分）第三十三屆夏季奧運會中，來自全球206個國家和地區(qū)的代表團的10500位運動員齊聚巴黎，向全世界奉獻了一場精彩的體育盛宴．中國體育代表團在這次奧運會中獲得40枚金牌（）A．105×103 B．10.5×102 C．1.05×104 D．0.105×1064．（4分）如圖，已知直線m∥n，將含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°5．（4分）估計的值應在（）A．6和7之間 B．7和8之間 C．8和9之間 D．9和10之間6．（4分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)+2a＝3a2 B．a(chǎn)5÷a2＝a3 C．（﹣a）2?a3＝﹣a5 D．（2a3）2＝2a67．（4分）如圖，已知AB，BC，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝126°（）A．12 B．10 C．8 D．68．（4分）甲、乙兩人在2025年新上映的四部熱門電影《哪吒之魔童鬧海》《唐探1900》《熊出沒重啟未來》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》中各自隨機選擇了一部影片觀看（兩人選擇每部電影的機會均等），則兩人恰好選擇同一部影片進行觀看的概率是（）A． B． C． D．9．（4分）如圖所示為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升20℃，加熱到100℃，水溫開始下降，此時水溫y（℃）（min）成反比例關系．當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，水溫y與通電時間x之間的關系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）A．水溫從20℃加熱到100℃，需要4min B．水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是 C．上午10點接通電源，可以保證當天10：30水溫為40℃ D．在一個加熱周期內(nèi)水溫不低于40℃的時間為8min10．（4分）對于實數(shù)a，b，定義新運算a*b＝，若函數(shù)y＝x*（2x﹣1）（）①方程x*（2x﹣1）＝0的解為x＝0或x＝1；②關于x的方程x*（2x﹣1）＝m有三個解，則0≤m＜；③當x＜時，y隨x增大而增大；④當x＞時，函數(shù)y＝x*（2x﹣1）有最大值0．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：（本大題共5個小題，每小題4分，共20分.）11．（4分）分解因式：x2﹣5x＝．12．（4分）一只不透明的袋中裝有8個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機從袋中摸出一個球，摸到白球的頻率是0.4，則袋中約有紅球個．13．（4分）在一次函數(shù)y＝（k﹣5）x﹣3中，y隨x的增大而減小，則k的值可以是（任意寫出一個符合條件的數(shù)即可）．14．（4分）如圖，扇形紙扇完全打開后，扇形ABC的面積為1200πcm2，∠BAC＝120°，BD＝2AD，則BD的長度為．15．（4分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AP，將△ABP沿著AP折疊，連接DE，點F是DE的中點，則CF的最小值為．三、解答題：（本大題共10個小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明或演算步驟.）16．（7分）計算：．17．（7分）解不等式組，并寫出它的所有正整數(shù)解．18．（7分）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E和點F在邊BC上，求證：AF＝DE．19．（8分）【問題背景】某學習小組研究一種手提電腦支架設計的科學性，如圖①所示，它的側(cè)面可視作如圖②，AC為支撐桿，CD為電腦托板，C轉(zhuǎn)動，測得AC＝16cm【實驗研究】繞支點轉(zhuǎn)動，調(diào)節(jié)角度，測量數(shù)據(jù)任務1：若∠BAC＝30°，∠ACD＝75°，求此時電腦托板的最高點D離底板AB的距離（精確到0.1cm，≈1.41）．【應用研究】為了適應個性化需要，增強舒適度，進行應用研究．任務2：陳老師工作時習慣于把電腦打開成大于120°角（如圖③，∠CDE＞120°．現(xiàn)小甬同學為陳老師準備電腦，把電腦展開后發(fā)現(xiàn)電腦屏幕ED垂直于底板AB，點C到底板AB的距離CH是4cm，問這樣是否符合陳老師的工作習慣？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin14.48°≈0.25，cos75.52°≈0.25，tan14.04°≈0.25）20．（8分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以點O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點D（1）求證：∠ABC＝2∠ACD；（2）若⊙O的半徑為3，AC＝8，求BC的長．21．（9分）某學校開展了“校園科技節(jié)”活動，活動包含創(chuàng)意設計比賽、科技競賽兩個項目．為了解學生的創(chuàng)意設計水平，從全校學生的創(chuàng)意設計比賽成績中隨機抽取部分學生的創(chuàng)意設計比賽成績（成績?yōu)榘俜种疲脁表示），70≤x＜80，80≤x＜90下面給出了部分信息：70≤x＜80的成績?yōu)椋?1，71，72，73，73，74，74，76，76，77，78，78，79，79．根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）請補全頻數(shù)分布直方圖；（2）所抽取學生的創(chuàng)意設計比賽成績的中位數(shù)是分；（3）請估計全校1500名學生的創(chuàng)意設計比賽成績不低于80分的人數(shù)；（4）根據(jù)活動要求，學校將創(chuàng)意設計比賽成績、科技競賽成績按2：3的比例確定這次活動各人的綜合成績．某班甲、乙兩位學生的創(chuàng)意設計比賽成績與科技競賽成績（單位：分）如下：創(chuàng)意設計比賽科技競賽甲的成績9590乙的成績9295通過計算，甲、乙哪位學生的綜合成績更高？22．（10分）【問題背景】2025年4月23日是第30個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境，某學校決定擴大圖書館面積，現(xiàn)需購進20個書架用于擺放書籍，【素材呈現(xiàn)】素材一：有A，B兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高20%；素材二：用14400元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個；素材三：A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的；【問題解決】問題一：求出A，B兩種書架的單價；問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數(shù)關系式23．（10分）物理實驗證實：在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體質(zhì)量x（千克）（厘米）與所掛物體質(zhì)量x（千克）之間的關系，有一位同學發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)y有錯誤，重新測量后，并修改了表中這個數(shù)據(jù)．第1次第2次第3次第4次第5次第6次x01020304050y6912171821（1）你認為表中第次數(shù)據(jù)y是錯誤的？正確的值是y＝．（2）觀察表中數(shù)據(jù)，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上（3）當彈簧長度為30厘米時，求所掛物體的質(zhì)量．（4）若某同學在測量時第一次所掛物體的質(zhì)量為x1，記錄對應的彈簧長度為y1；第二次所掛物體的質(zhì)量為x2，記錄對應的彈簧長度為y2，當x2﹣x1＝14時，y2﹣y1的值為．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3（a、b為常數(shù)且a≠0）．（1）若拋物線經(jīng)過點（3，0）、（2，﹣3）兩點，求拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）在（1）的條件下，當直線l：y＝x+a與拋物線交于點A、B時（點A在點B的左側(cè)），使得△ABC的面積最大？若存在，請求出點C的坐標，請說明理由；（3）若拋物線的對稱軸為直線x＝1，當直線y＝x+a與拋物線y＝ax2+bx﹣3有兩個交點時，直接寫出a的取值范圍．25．（12分）在直角三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6【數(shù)學活動】將三角形紙片ABC進行以下操作：①折疊三角形紙片ABC，使點C與點A重合，得到折痕DE；②將△DEC繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DFG，點E，G，當直線GF與邊AC相交時交點為M，與邊AB相交時交點為N．【數(shù)學思考】如圖1：（1）折痕DE的長為；（2）試判斷MF與ME的數(shù)量關系，并證明你的結論；【數(shù)學探究】（3）如圖2，當直線GF經(jīng)過AB中點N時，求此時AM的長度；【問題延伸】（4）在△DEC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當DG⊥BC時，是否存在點M，請求AM的長度；若不存在

2025年山東省濟南市萊蕪區(qū)中考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案A．DC．ACBBCDB一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，5有一項是符合題目要求的.）1．（4分）在2，﹣1，π，﹣四個數(shù)中（）A． B．2 C．π D．﹣1【解答】解：∵＜﹣1＜3＜π，∴最小的數(shù)是：．故選：A．2．（4分）篆刻是中華傳統(tǒng)藝術之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（）A． B． C． D．【解答】解：俯視圖為是．故選：D．3．（4分）第三十三屆夏季奧運會中，來自全球206個國家和地區(qū)的代表團的10500位運動員齊聚巴黎，向全世界奉獻了一場精彩的體育盛宴．中國體育代表團在這次奧運會中獲得40枚金牌（）A．105×103 B．10.5×102 C．1.05×104 D．0.105×106【解答】解：10500＝1.05×104．故選：C．4．（4分）如圖，已知直線m∥n，將含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°【解答】解：∵直線m∥n，∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，故選：A．5．（4分）估計的值應在（）A．6和7之間 B．7和8之間 C．8和9之間 D．9和10之間【解答】解：＝＝＝，∵，∴，∴，∴，故選：C．6．（4分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)+2a＝3a2 B．a(chǎn)5÷a2＝a3 C．（﹣a）2?a3＝﹣a5 D．（2a3）2＝2a6【解答】解：a+2a＝3a，則A不符合題意；a6÷a2＝a3，則B符合題意；（﹣a）8?a3＝a5，則C不符合題意；（6a3）2＝8a6，則D不符合題意；故選：B．7．（4分）如圖，已知AB，BC，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝126°（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN，∴∠NBC＝90°，∴∠ABC＝360°﹣90°﹣126°＝144°，∴正n邊形的一個外角為180°﹣144°＝36°，∴n的值為，故選：B．8．（4分）甲、乙兩人在2025年新上映的四部熱門電影《哪吒之魔童鬧?！贰短铺?900》《熊出沒重啟未來》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》中各自隨機選擇了一部影片觀看（兩人選擇每部電影的機會均等），則兩人恰好選擇同一部影片進行觀看的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：把《哪吒之魔童鬧海》《唐探1900》《熊出沒重啟未來》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》四部影片分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知：共有16種等可能的結果，其中二人恰好選擇同一部影片觀看的結果有4種，∴兩人恰好選擇同一部影片進行觀看的概率是＝，故選：C．9．（4分）如圖所示為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升20℃，加熱到100℃，水溫開始下降，此時水溫y（℃）（min）成反比例關系．當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，水溫y與通電時間x之間的關系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）A．水溫從20℃加熱到100℃，需要4min B．水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是 C．上午10點接通電源，可以保證當天10：30水溫為40℃ D．在一個加熱周期內(nèi)水溫不低于40℃的時間為8min【解答】解：水溫從20℃加熱到100℃，需要的時間為（100﹣20）÷20＝4（min），∴A正確，不符合題意；設水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是y＝，將坐標（4，100）代入y＝，得100＝，解得k＝400，∴水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是y＝，∴B正確，不符合題意；當y＝20時，得20＝，解得y＝20，∴水溫從20℃加熱到100℃，再降到20℃所用時間為20min，∴水溫y與通電時間x之間的函數(shù)關系式為y＝，上午10點到10：30共30分鐘，則30﹣20＝10（分鐘），當x＝10時，得y＝，∴上午10點接通電源，可以保證當天10：30水溫為40℃，∴C正確，不符合題意；當0≤x≤4時，當y＝40時，解得x＝6，當4＜x≤20時，當y＝40時，得，解得x＝10，10﹣1＝2（min），∴在一個加熱周期內(nèi)水溫不低于40℃的時間為9min，∴D不正確，符合題意．故選：D．10．（4分）對于實數(shù)a，b，定義新運算a*b＝，若函數(shù)y＝x*（2x﹣1）（）①方程x*（2x﹣1）＝0的解為x＝0或x＝1；②關于x的方程x*（2x﹣1）＝m有三個解，則0≤m＜；③當x＜時，y隨x增大而增大；④當x＞時，函數(shù)y＝x*（2x﹣1）有最大值0．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①當x≥2x﹣1時，即x≤3，x*（2x﹣1）＝x3﹣x（2x﹣1）＝x3﹣2x2+x＝﹣x8+x，∴﹣x2+x＝0，∴x＝7或x＝1；當x＜2x﹣8時，即x＞1，x*（2x﹣5）＝（2x﹣1）8﹣x（2x﹣1）＝5x2﹣4x+5﹣2x2+x＝4x2﹣3x+2，∴2x2﹣6x+1＝0．∴x＝8（不符合題意）或x＝（不符合題意），綜上所述，方程x*（4x﹣1）＝0的解為x＝6或x＝1．②由①可得：當x≥2x﹣4時，即x≤12+x＝﹣（x﹣）2+，∴﹣x2+x的最大值為，當x＜2x﹣7時，即x＞12﹣6x+1＝2（x﹣）﹣，2x2﹣5x+1的最小值為﹣，綜上，于x的方程x*（2x﹣1）＝m有三個解．∴②的結論不正確；當x＜1時，y＝﹣x2+x，∵﹣4＜0，∴拋物線的開口方向向下，x＜，∴③的結論正確；當x＞1時，函數(shù)y＝2x6﹣3x+1＝5（x﹣）﹣，∵2＞6，∴拋物線的開口方向向上，x＞1，∴當x＞時，函數(shù)y＝x*（2x﹣1）沒有最大值．∴④的結論不正確．綜上，正確的結論有：①③．故選：B．二、填空題：（本大題共5個小題，每小題4分，共20分.）11．（4分）分解因式：x2﹣5x＝x（x﹣5）．【解答】解：x2﹣5x＝x（x﹣3）．故答案為：x（x﹣5）．12．（4分）一只不透明的袋中裝有8個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機從袋中摸出一個球，摸到白球的頻率是0.4，則袋中約有紅球12個．【解答】解：由題意可得，袋中約有紅球：8÷0.6﹣8＝20﹣8＝12（個），故答案為：12．13．（4分）在一次函數(shù)y＝（k﹣5）x﹣3中，y隨x的增大而減小，則k的值可以是1（答案不唯一）（任意寫出一個符合條件的數(shù)即可）．【解答】解：∵在一次函數(shù)y＝（k﹣5）x﹣3中，y隨x的增大而減小，∴k﹣7＜0，解得：k＜5，∵k為正整數(shù)，∴k值可以為3（答案不唯一）．故答案為：1（答案不唯一）．14．（4分）如圖，扇形紙扇完全打開后，扇形ABC的面積為1200πcm2，∠BAC＝120°，BD＝2AD，則BD的長度為40cm．【解答】解：設AD＝xcm，則BD＝2AD＝2xcm，由題意可得，＝1200π，解得x＝20（負值舍去），∴BD＝2x＝40（cm）．故答案為：40cm．15．（4分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AP，將△ABP沿著AP折疊，連接DE，點F是DE的中點，則CF的最小值為﹣1．【解答】解：延長DC至點Q，使得CD＝CQ，EQ，∵點F是DE的中點，∴CF是△DEQ的中位線，∴CF＝EQ，∴當EQ取最小值時，CF有最小值，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，BC∥AD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴CQ＝AC＝CD＝2，∠ADQ＝∠B＝60°，∴∠BCQ＝∠ADQ＝60°，∵BC⊥AQ，垂足為M，∴∠Q＝30°，AQ＝2QM，∴CM＝CQ＝1，∴QM＝＝，∴AQ＝3，由折疊可知AE＝BA＝2，又AE+EQ≥AQ，∴EQ≥AQ﹣AE，當點A，E，Q共線時﹣2，此時CF的最小值為﹣8，故答案為：﹣1．三、解答題：（本大題共10個小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明或演算步驟.）16．（7分）計算：．【解答】解：＝﹣4×＝﹣+3+3+2＝6．17．（7分）解不等式組，并寫出它的所有正整數(shù)解．【解答】解：，解不等式①得，x＞﹣2；解不等式②得，x≤3，所以不等式組的解集為：﹣2＜x≤3，則不等式組的正整數(shù)解為4，2，3．18．（7分）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E和點F在邊BC上，求證：AF＝DE．【解答】證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF．即：BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AF＝DE．19．（8分）【問題背景】某學習小組研究一種手提電腦支架設計的科學性，如圖①所示，它的側(cè)面可視作如圖②，AC為支撐桿，CD為電腦托板，C轉(zhuǎn)動，測得AC＝16cm【實驗研究】繞支點轉(zhuǎn)動，調(diào)節(jié)角度，測量數(shù)據(jù)任務1：若∠BAC＝30°，∠ACD＝75°，求此時電腦托板的最高點D離底板AB的距離（精確到0.1cm，≈1.41）．【應用研究】為了適應個性化需要，增強舒適度，進行應用研究．任務2：陳老師工作時習慣于把電腦打開成大于120°角（如圖③，∠CDE＞120°．現(xiàn)小甬同學為陳老師準備電腦，把電腦展開后發(fā)現(xiàn)電腦屏幕ED垂直于底板AB，點C到底板AB的距離CH是4cm，問這樣是否符合陳老師的工作習慣？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin14.48°≈0.25，cos75.52°≈0.25，tan14.04°≈0.25）【解答】解：任務1：在圖②中，過點D作DM⊥AB于點M，過點C作CR⊥AB于點R，在Rt△ACR中，sin∠BAC＝，∴MN＝CR＝AC?sin∠BAC＝16×＝8（cm），在Rt△DNC中，∠DCN＝∠ACD﹣∠ACN＝∠ACD﹣∠CAR＝75°﹣30°＝45°，∵sin∠DCN＝，∴DN＝CD?sin∠DCN＝20×≈14.1（cm），∴DM＝DN+MN＝14.1+2＝22.1（cm），即點D離底板AB的距離約為22.1cm；任務6：不符合陳老師的工作習慣，理由如下：在圖③中，延長ED交AB于點F，在Rt△ACH中，sin∠CAH＝＝，∴∠CAH＝14.48°，∵CK⊥DF，ED⊥AB，∴DF∥AB，∴∠ACK＝∠CAH＝14.48°，∴∠DCK＝∠ACD﹣∠ACK＝40°﹣14.48°＝25.52°，∴∠EDC＝∠CDK+∠DCK＝90°+25.52°＝115.52°＜120°，∴不符合陳老師的工作習慣．20．（8分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以點O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點D（1）求證：∠ABC＝2∠ACD；（2）若⊙O的半徑為3，AC＝8，求BC的長．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵AB為⊙O的切線，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝∠ODB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°，∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠ABC＝∠AOD，∵OC＝OD，∴∠ACD＝∠ODC，∴∠AOD＝∠ACD+∠ODC＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD；（2）解：∵⊙O的半徑為3，AC＝8，∴OD＝OC＝3，∴AO＝AC﹣OC＝3，在Rt△AOD中，∴AD＝＝8，∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB，∴△AOD∽△ABC，∴＝，即＝，解得BC＝6．21．（9分）某學校開展了“校園科技節(jié)”活動，活動包含創(chuàng)意設計比賽、科技競賽兩個項目．為了解學生的創(chuàng)意設計水平，從全校學生的創(chuàng)意設計比賽成績中隨機抽取部分學生的創(chuàng)意設計比賽成績（成績?yōu)榘俜种疲脁表示），70≤x＜80，80≤x＜90下面給出了部分信息：70≤x＜80的成績?yōu)椋?1，71，72，73，73，74，74，76，76，77，78，78，79，79．根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）請補全頻數(shù)分布直方圖；（2）所抽取學生的創(chuàng)意設計比賽成績的中位數(shù)是78分；（3）請估計全校1500名學生的創(chuàng)意設計比賽成績不低于80分的人數(shù)；（4）根據(jù)活動要求，學校將創(chuàng)意設計比賽成績、科技競賽成績按2：3的比例確定這次活動各人的綜合成績．某班甲、乙兩位學生的創(chuàng)意設計比賽成績與科技競賽成績（單位：分）如下：創(chuàng)意設計比賽科技競賽甲的成績9590乙的成績9295通過計算，甲、乙哪位學生的綜合成績更高？【解答】解：（1）∵10÷20%＝50，而70≤x＜80有20人，∴80≤x＜90有50﹣20﹣5﹣10＝15，補全圖形如下：（2）∵10+20＝30，而70≤x＜80的成績?yōu)椋?1，71，72，73，74，75，76，77，78，79，79．∴50個成績按照從小到大排列后，排在第25個，78；中位數(shù)為＝78（人），故答案為：78；（3）估計全校1500名學生的創(chuàng)意設計比賽成績不低于80分的人數(shù)為：1500×＝600（人），答：估計全校1500名學生的創(chuàng)意設計比賽成績不低于80分的人數(shù)為600人；（4）甲的成績?yōu)椋海?2（分）；乙的成績?yōu)椋海?3.6（分）∴乙的綜合成績更高．22．（10分）【問題背景】2025年4月23日是第30個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境，某學校決定擴大圖書館面積，現(xiàn)需購進20個書架用于擺放書籍，【素材呈現(xiàn)】素材一：有A，B兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高20%；素材二：用14400元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個；素材三：A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的；【問題解決】問題一：求出A，B兩種書架的單價；問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數(shù)關系式【解答】解：問題一：設B種書架的單價為x元，則A種書架的單價為x（1+20%）＝1.5x元，﹣＝5，解得x＝500，經(jīng)檢驗，x＝500是原分式方程的解，∴1.2x＝600，答：A種書架的單價為600元，B種書架的單價為500元；問題二：由題意可得，w＝600a+500（20﹣a）＝100a+10000，∵A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的，∴a≥（20﹣a），解得a≥5，∴當a＝5時，w取得最小值，20﹣a＝15，即w與a的函數(shù)關系式為w＝100a+10000，費用最少時的購買方案是購買A種書架6個．23．（10分）物理實驗證實：在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體質(zhì)量x（千克）（厘米）與所掛物體質(zhì)量x（千克）之間的關系，有一位同學發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)y有錯誤，重新測量后，并修改了表中這個數(shù)據(jù)．第1次第2次第3次第4次第5次第6次x01020304050y6912171821（1）你認為表中第4次數(shù)據(jù)y是錯誤的？正確的值是y＝15．（2）觀察表中數(shù)據(jù)，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上（3）當彈簧長度為30厘米時，求所掛物體的質(zhì)量．（4）若某同學在測量時第一次所掛物體的質(zhì)量為x1，記錄對應的彈簧長度為y1；第二次所掛物體的質(zhì)量為x2，記錄對應的彈簧長度為y2，當x2﹣x1＝14時，y2﹣y1的值為4.2．【解答】解：（1）由題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得發(fā)現(xiàn)，y增加3，∴當x＝30時，y＝6+5×3＝15，正確的值是y＝15．故答案為：4，15．（2）由各點的分布規(guī)律可知，它們在同一條直線上，∴y是x的一次函數(shù)．設這條直線所對應的函數(shù)表達式為y＝kx+b（k、b為常數(shù)．將坐標（3，6）和（10，∴．∴．∴這條直線所對應的函數(shù)表達式為y＝0.3x+4（0≤x≤50）．（3）當y＝30時，0.8x+6＝30，∴當彈簧長度為30厘米時，所掛物體的質(zhì)量為80千克．（4）根據(jù)題意，得y1＝3.3x1+6①，y2＝0.3x2+6②，②﹣①，得y7﹣y1＝0.2（x2﹣x1），∵x3﹣x1＝14，∴y2﹣y5＝0.3×14＝2.2．故答案為：4.4．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3（a、b為常數(shù)且a≠0）．（1）若拋物線經(jīng)過點（3，0）、（2，﹣3）兩點，求拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）在（1）的條件下，當直線l：y＝x+a與拋物線交于點A、B時（點A在點B的左側(cè)），使得△ABC的面積最大？若存在，請求出點C的坐標，請說明理由；（3）若拋物線的對稱軸為直線x＝1，當