2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期3月份高二數(shù)學(xué)試卷一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式判斷即可.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：D2.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.函數(shù)有極大值 B.函數(shù)有極大值C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)函數(shù)的圖像，即可判斷.【詳解】由圖像可知，時(shí)，，則單調(diào)遞增，故CD錯(cuò)誤；時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以時(shí)，有極大值，故B正確，A錯(cuò)誤；故選：B3.已知,則方程可表示焦點(diǎn)在軸上的不同橢圓的個(gè)數(shù)為（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義與性質(zhì)判定即可.【詳解】由題意可知，則有如下，，共7種情況.故選：C4.在等差數(shù)列中，，則的值是（）A.12 B.18 C.24 D.30【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：.故選:D5.已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，再由，不等式即，結(jié)合單調(diào)性解得即可.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，不等式，即，即，所以，即不等式的解集為.故選：B6.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到，從而得到，則是公比的等比數(shù)列，即可求出，從而得解.【詳解】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列滿足，所以，則，所以是公比的等比數(shù)列，又，所以，所以，則.故選：A7.如圖，已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，、為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.【詳解】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)，因?yàn)?，根?jù)對(duì)稱性可知，設(shè)，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：A.8.已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題設(shè)得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到在上恒成立，再利用幾何法或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值來(lái)處理，即可解決問(wèn)題.【詳解】因?yàn)?，不妨設(shè)，則有，即，令，由函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，則在上恒成立.法一：若，則，又過(guò)點(diǎn)且與相切的切線方程為，由函數(shù)圖象可知，只需即可.法二：若，則，令，，若，則，在上單調(diào)遞增，，符合題意，所以；若，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，綜上.法三：若，則，令，則，令，，所以在上單調(diào)遞增，，則，所以在上單調(diào)遞增，由洛必達(dá)法則知，所以.故選：二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則 B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式依次判定選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．故選：AC10.已知圓：，圓：，則（）A.兩個(gè)圓心所在直線的斜率為B.兩個(gè)圓公共弦所在直線的方程為C.過(guò)點(diǎn)作直線使圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則直線的方程為D.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，則直線的方程為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)圓的圓心距、半徑可以判斷這兩個(gè)圓的位置關(guān)系，然后利用四點(diǎn)共圓，推出直線的方程.【詳解】根據(jù)題意，圓：，其圓心為，半徑．圓：，即，其圓心為，半徑，則兩個(gè)圓心所在直線的斜率，故A正確；圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故B不正確；因?yàn)閳A上有且只有一個(gè)點(diǎn)到的距離為1，所以點(diǎn)到的距離為3，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，滿足題意，故C不正確；連接，，則，，，B四點(diǎn)共圓（四邊形對(duì)角互補(bǔ)則四點(diǎn)），則該圓的方程為，即圓的方程，而圓：，且為圓與圓的公共弦，兩式相減得直線的方程為，故D正確.故選：AD．11.如圖，該形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.（）C. D.數(shù)列的前100項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，求得，，，即可得解；對(duì)于B，由每層球數(shù)變化規(guī)律可知（）即可得解；對(duì)于C，根據(jù)B選項(xiàng)利用累加法可得（），由利用累積法即可得解；對(duì)于D，由，分組累加即可得解.詳解】對(duì)于A，，，，，A正確．對(duì)于B，由每層球數(shù)變化規(guī)律可知（），B錯(cuò)誤．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足，（）．，，C正確．對(duì)于D，，則其前100項(xiàng)和為，D正確．故選:ACD．12.如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，．下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則與的夾角為B.若，，則平面C.若，，則四面體的外接球的表面積為D.若，，則三棱錐的體積為【答案】BC【解析】【分析】由向量夾角的定義即可判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷B，求得四面體外接球的半徑，再結(jié)合球的表面積公式，即可判斷C，由等體積法即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則在線段（不含）上，與的夾角為，向量與的夾角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，則，，，則，，又，，所以，，則是平面的一個(gè)法向量，所以平面，故B正確；對(duì)于C，若，，則點(diǎn)即點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可知幾何體是側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，而底面是直角三角形，易得，所以外接圓的半徑，設(shè)其外接球的半徑為，則，所以四面體即三棱錐的外接球的表面積為，故C正確；對(duì)于D，若，，則為的中點(diǎn)，如圖2，取點(diǎn)，滿足，連接，易知，故，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先利用二項(xiàng)式定理求得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再分別求中常數(shù)項(xiàng)與含項(xiàng)的系數(shù)，從而得解.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)1乘以時(shí)，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)乘以時(shí)，令，解得，常數(shù)項(xiàng)；所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14.已知等差數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，代入條件式，可求得，再根據(jù)，可得解.【詳解】在等差數(shù)列中，，又，，解得，又，而，解得.故答案為：.15.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)召開(kāi)后，4位同學(xué)到三個(gè)體育場(chǎng)館做志愿者服務(wù)活動(dòng)，每個(gè)體育場(chǎng)館至少一人，每人只能去一個(gè)體育場(chǎng)館，則不同的分配方法總數(shù)是______．【答案】36【解析】【分析】先分組再排列計(jì)算即可.【詳解】由題意可知必有一個(gè)場(chǎng)館是兩名志愿者，先將四名同學(xué)分成三組，即每組各有人，再進(jìn)行排列，則有種方法.故答案為：16.已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)______．【答案】【解析】【分析】分類討論直線斜率存在與否，聯(lián)立直線與橢圓的方程，將以為直徑的圓的方程轉(zhuǎn)化為只含有參數(shù)的方程，從而求得該圓所過(guò)定點(diǎn)，從而得解.【詳解】設(shè)是以為直徑的圓上任意的一點(diǎn)，，則，，因?yàn)椋瑒t，即，所以圓的方程為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，聯(lián)立，消去，得，則，故，所以，，所以圓的方程可表示為，即，令，解得，此時(shí)該圓恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，則圓的方程為，此時(shí)該圓過(guò)定點(diǎn)；綜上，該圓過(guò)定點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.四?解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知為拋物線上的一點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之積等于2．（1）求的準(zhǔn)線方程；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）代入，求出，得到準(zhǔn)線方程；（2）聯(lián)立與拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，根據(jù)乘積為2得到方程，代入兩根之和，兩根之積，得到證明.【小問(wèn)1詳解】由題意可得點(diǎn)在上，所以，解得，所以的準(zhǔn)線方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，由（1）知的方程為，，同理可得，所以，即，聯(lián)立得所以，所以，解得.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）變形得到是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用裂項(xiàng)相消法求和，得到，并根據(jù)單調(diào)性得到.【小問(wèn)1詳解】由兩邊同時(shí)除以，可得，所以，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列，所以，即.【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，?19.對(duì)于數(shù)列，若滿足恒成立的最大正數(shù)為，則稱為“數(shù)列”．（1）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，且為“數(shù)列”，求；（2）已知等差數(shù)列與其前項(xiàng)和均為“數(shù)列”，且與的單調(diào)性一致，求的通項(xiàng)公式；（3）已知數(shù)列滿足，若且，證明：存在實(shí)數(shù)，使得是“數(shù)列”，并求的最小值．【答案】（1）或；（2）;（3）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義分類討論結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)與求和公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性分類討論計(jì)算即可；（3）由已知及累加法先得出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及換元法求得，再作差結(jié)合適當(dāng)放縮判定單調(diào)遞增，由新定義確定最小值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，①當(dāng)時(shí)，則，解得或；②當(dāng)時(shí)，則不可能為數(shù)列.綜上所述，或.【小問(wèn)2詳解】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則，，由題意可知：，，因?yàn)榕c的單調(diào)性一致，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，得，因此.【小問(wèn)3詳解】由得，累加得，則，其中，設(shè)，.故是遞增數(shù)列，，所以存在，使得是“數(shù)列”，當(dāng)時(shí)，取得最小值為.所以的最小值為.20.已知函數(shù)在處的切線平行于直線.（1）求的值；（2）求的極值.【答案】（1）1（2）極大值為，極小值為【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值即可.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，由直線的斜率為，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增