1基本不等式的變式與靈活應(yīng)用一、答題概要核心掌握四大變式鏈：平方均值≥算術(shù)均值≥幾何均值≥調(diào)和均值．解題需熟練配湊（拆項(xiàng)、系數(shù)平衡）、代數(shù)換元（簡(jiǎn)化復(fù)雜結(jié)構(gòu)）、常數(shù)代換（構(gòu)造定值條件）?等技巧，強(qiáng)化“字母正”“和（積）定”“注意等號(hào)成立的可能性”三要素驗(yàn)證．高考常融合函數(shù)最值（含參數(shù)范圍）?、恒成立問(wèn)題（含參不等式轉(zhuǎn)化）?等綜合題型，需結(jié)合分類討論與數(shù)形結(jié)合思想突破．不等式a2+b2≥2ab，a+b≥是重要的不等式之一，對(duì)于它及它各種變式的掌握與熟練運(yùn)用是求解很多與不等式有關(guān)問(wèn)題的重要方法，這里介紹它的幾種常見的變式及應(yīng)用．1．基本不等式≤（或a+b≥）成立的條件：字母正，和（積）定，注意等號(hào)可能性．2．基本不等式的變式（1）（2）（3）若b＞0，則（4）a，b∈R+，則（5）若a，b∈R+，（6）若ab≠0，則．上述不等式中等號(hào)成立的充要條件均為a=b．（7）若m，n∈R+，a，b∈R，則，（當(dāng)且僅當(dāng)an=bm時(shí)等號(hào)成立）．（8）（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）．二、典例解析例1設(shè)a＞b＞c＞0，則的最小值是（）A．2B．4C．D．5解：原式==≥2+2+0=4，當(dāng)且僅當(dāng)a2（a－b）2=1，a2b2=1且a=5c時(shí)，等號(hào)成立，解得，，，選B．說(shuō)明：利用湊配的方法來(lái)考查均值不等式，但要注意等號(hào)成立的條件．例2（2022新高考Ⅱ卷，多選題）對(duì)任意x，y，x2+y2－xy=1，則（）A．x+y≤1B．x+y≥－2C．x+y≤2D．x+y≥1解：注意到ab≤≤（a、b∈R）．由x2+y2－xy=1可變形為（x+y）2－1=3xy≤，解得－2≤x+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=－1時(shí)，x+y=－2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，x+y=2，所以A錯(cuò)誤，B正確．由x2+y2－xy=1可變形為（x2+y2）－1=xy≤，解得x2+y2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±1時(shí)取等號(hào)，所以C正確．因?yàn)閤2+y2－xy=1變形可得，設(shè)，，所以，，因此=∈[，2]，所以當(dāng)，時(shí)滿足等式，但是x+y≥1不成立，所以D錯(cuò)誤．選BC．例3（多選題）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則（）A．a(chǎn)2+b2≥B．2a－b＞ C．log2a+log2b≥－2D．≤分析：直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．解：因?yàn)閍+b=1，（a+b）2≤2a2+2b2，所以a2+b2≥，故A正確．或a2+b2=a2+（1－a）2=2a2－2a+1=≥，故A正確．用分析法：要證2a－b＞，只需證明a－b＞－1即可，即a＞b－1．由于a＞0，b＞0，且a+b=1，所以b－1=－a＜0，故B正確．log2a+log2b=log2ab≤，故C錯(cuò)誤．用分析法：要證≤成立，只需對(duì)關(guān)系式進(jìn)行平方，整理得a+b+≤2，即≤1，故≤，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故D正確．故選ABD．說(shuō)明：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力．例4若a，b，c∈R+，且a+b+c=2，求證：．證明：由變式①得，即．同理，，因此．由于三個(gè)不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立，故．說(shuō)明：本解法應(yīng)用觀察其左右兩端可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于某一字母左邊是一次式，而右邊是二次式，顯然，這個(gè)變式具有升冪與降冪功能，本解法應(yīng)用的是升冪功能．另法：由變式④得．同理：，，故結(jié)論成立．說(shuō)明：本解法應(yīng)用“”，這個(gè)變式的功能是將“根式合并”，將“離散型”根式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一根式，顯然，對(duì)問(wèn)題的求解起到了十分重要的作用．法三：由變式⑩得，故，即得結(jié)論．說(shuō)明：由基本不等式a2+b2≥2ab易產(chǎn)生2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，兩邊同時(shí)加上a2+b2+c2即得3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，本變式的功能可以將平方進(jìn)行“分拆”與“合并”．本解法是將平方進(jìn)行分拆，即由整體平方轉(zhuǎn)化為個(gè)整平方，從而有效的去掉了根號(hào)．例5設(shè)a，b，c∈R+，求證：．證明：由變式⑤得，，，三式相加即得：．說(shuō)明：本解法來(lái)至于“若，則”，這個(gè)變式將基本不等式轉(zhuǎn)化成更為靈活的形式，當(dāng)分式的分子與分母出現(xiàn)平方與一次的關(guān)系時(shí)，立即可以使用，方便快捷．例6實(shí)數(shù)a，b滿足，求a+b的最大值與最小值．解：結(jié)合變式⑨得2=，因此即當(dāng)且僅當(dāng)3（a－4）=4（b－3）、并結(jié)合條件得及時(shí)，分別獲得最小值與最大值．說(shuō)明：由a2m2+b2n2≥2mnabn（m+n）a2+m（m+n）b2≥mn（a+b）2再結(jié)合m，n∈R+即得，這可是一個(gè)很特別的公式，它溝通了兩分式和與由兩分式產(chǎn)生的一個(gè)特殊分式的關(guān)系，它的靈活應(yīng)用不僅可以為我們解決基本不等式的最值問(wèn)題，也為我們未來(lái)處理圓錐曲線問(wèn)題中的最值問(wèn)題開辟了新的途徑．例7已知x，y∈（－2，2），且xy=－1，求的最小值．解：由變式⑥，上述兩不等式當(dāng)且僅當(dāng)，再結(jié)合xy=－1得或時(shí)，取得最小值．說(shuō)明：由a2+b2≥2abb（a+b）+a（a+b）≥4ab結(jié)合a，b∈R+，兩邊同除以ab（a+b）即得，本題兩次使用基本不等式，第一次應(yīng)用變式，第二次應(yīng)用基本不等式．值得注意的是兩次等號(hào)成立的條件必須一致，否則，最值是取不到的．例8當(dāng)0＜x＜a時(shí)，不等式恒成立，求a的最大值．解：由變式⑧、⑦、②得，上述三個(gè)不等式中等號(hào)均在同一時(shí)刻x=a－x時(shí)成立．由，故a的最大值為2．說(shuō)明：由（a+b）2≥4ab再結(jié)合a，b∈R+即得變式；又由a2+b2≥2ab得2（a2+b2）≥（a+b）2（a2+b2）≥（a+b）2結(jié)合ab≠0，兩邊同除a2b2即得．本題的求解，雖然“廖廖幾步”，但來(lái)之實(shí)在不易．首先這兩個(gè)變式不一定大家都熟悉，其次，三次使用變式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，必須保證等號(hào)在同一時(shí)刻取得，可謂步履維艱．可以看出：不等式a2+b2≥2ab的各種變式及其靈活運(yùn)用給予我們帶來(lái)了不僅僅是一個(gè)又一個(gè)的難題被“攻克”了，而是一次又一次的體驗(yàn)數(shù)學(xué)的真諦，一次又一次地充分享受數(shù)學(xué)解題的樂(lè)趣．例9如圖，已知M是正方形ABCD的邊CD所在的直線上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．解：顯然，當(dāng)M是CD中點(diǎn)時(shí)，．MDABC當(dāng)M位于CD中點(diǎn)之左（包括CD延告線上）時(shí)，MA＜MB，∴MDABC當(dāng)M位于CD中點(diǎn)之右（包括DC延長(zhǎng)線上）時(shí)，設(shè)正方形的邊么為1，DM=x（x＞），則MC=︱x－1︱，∴MA2=1+x2，MB2=1+（x－1）2，因此（y－1）x2－2yx+2y－1=0，（y≠1）∴△x=（－2y）2－4（y－1）（2y－1）≥0y2－3y+1≤0得≤y≤，代入，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，∴≤，有最大值．例10已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc=8，求證：≥3．證明：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，所以≥．同理≥b，≥c．將上述三式相加，得≥a+b+c，即≥．又abc=8，所以≥，故≥3．三、自主演練1．（2024北京卷）記水的質(zhì)量為，并且d越大，水質(zhì)量越好．若S不變，且d1=2.1，d2=2.2，則n1與n2的關(guān)系為（）CA．n1＜n2B．n1＞n2C．若S＜1，則n1＜n2；若S＞1，則n1＞n2D．若S＜1，則n1＞n2；若S＞1，則n1＜n2解：由題意可得，所以，代值得．若S＞1，則lnn1－lnn1＞0，可得n1＞n2；若S=1，可得n1=n2=1；若S＜1，則lnn1－lnn1＜0，可得n1＜n2；故選C．2．（多選題）已知a＞0，b＞0，，則以下正確的是（

）BCA．若a＜b，則a＜2 B．若a＜1，則b＞C．a(chǎn)+b的最小值為9 D．a(chǎn)b的最大值為3．（2022上海卷）若實(shí)數(shù)a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．解：當(dāng)a＞b＞0，有，選A．4．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足5x2－4xy－y2=5，則2x2+y2的最小值為（）CA．0B．2C．D．解：設(shè)2x2+y2=m，則y2=m－2x2，∵5x2－4xy－y2=5，∴5x2－y2－5=4xy，∴16x2y2=（5x2－y2－5）2，即16x2（m－2x2）=（7x2－m－5）2，∴81x4－（30m+70）x2+（m+5）2=0．設(shè)x2=t，∴81t2－（30m+70）t+（m+5）2=0，∴△≥0，即576m2+960m－3200≥0，解得m≥或m≤（舍去）．∴2x2+y2的最小值為．5．下列不等式恒成立的是（）A．x2+≥x+B．∣x－y∣+≥2C．∣x－y∣－≥2D．∣x－y∣≥∣x－z∣+∣y－z∣解：A：作差（x2+）－（x+）=≥0，故A正確．B：當(dāng)x－y＞0時(shí)，∣x－y∣+≥2恒成立；當(dāng)x－y＜0時(shí)，∣x－y∣+≥2不一定成立．C：舉反例，當(dāng)x=2，y=1，故不一定成立．D：∣x－y∣=∣（x－z）－（y－z）∣≤∣x－z∣+∣y－z∣，故D不一定正確．6．已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），則x2+y2的最小值是．分析：消元，由已知求得x2，代入待求式子，整理后，運(yùn)用基本不等式可得所求最小值；或由已知得4=（5x2+y2）·4y2，運(yùn)用基本不等式，計(jì)算可得所求最小值．解：由5x2y2+y4=1，可得．由x2≥0，可得y2∈（0，1]，則x2+y2=≥，當(dāng)且僅當(dāng)，，可得x2+y2的最小值為．法二由已知可得4=（5x2+y2）·4y2≤，故x2+y2≥，當(dāng)且僅當(dāng)5x2+y2=4y2=2，即，時(shí)取得等號(hào)，可得x2+y2的最小值為．說(shuō)明：本題考查基本不等式的運(yùn)用，求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力．7．已知a＞0，b＞0，且ab=1，則的最小值為．解：a＞0，b＞0，且ab=1，則待求式=≥，當(dāng)且僅當(dāng)，即a+b=4且ab=1，解得a=，b=或a=，b=取等號(hào)，故答案為4．另解：由已知條件消元，轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)未知元的代數(shù)式子求最小值問(wèn)題，過(guò)程略．8．若a＞0，b＞0，則的最小值為．分析：題中條件少，求最值．考察均值不等式，基本均值不等式為兩項(xiàng)關(guān)系，和為定值求積的最小值或者積為定值求和的最小值．當(dāng)且僅當(dāng)和同時(shí)成立，即a=b=時(shí)成立．說(shuō)明：利用均值不等式求最值是高考的重要的考點(diǎn)之一，常見考法是如何靈活地創(chuàng)造基本不等式使用條件，如：湊系數(shù)、拆項(xiàng)、1的替換等，對(duì)于兩次使用基本不等式時(shí)要保證等式能同時(shí)成立．9．如圖，已知正方形OABC，其中OA=a（a＞1），函數(shù)y=3x2交BC于點(diǎn)P，函數(shù)交AB于點(diǎn)Q，當(dāng)︱AQ︱+︱CP︱最小時(shí)，則a的值為．解：由題意得P點(diǎn)坐標(biāo)為（，a），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），所以︱AQ︱+︱CP︱=≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí)，取最小值，故答案為．說(shuō)明：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是基本不等式，二次函數(shù)和冪函數(shù)．10．已知a＞0，b＞0，則的最大值是．變式：已知a＞0，b＞0，求證：≤．證明：設(shè)＞0，則所證不等式等價(jià)于≤≤x4－12x3+50x2－84x+49≥0（x2－6x+7）2≥0．由x2－6x+7=0，得，即時(shí)，所證不等式取等號(hào)．11．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，則的最大值為．解：因?yàn)椋▁2+y）－（x+y2）=（x2－y2）－（x－y）=（x－y）（x+y－1）=0，所以x2+y=x+y2，故=≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào)．12．已知a＞0，b＞0，a（1－a）+（a－b）2=a3+b3，則的最小值是．解：考慮已知條件a（1－a）+（a－b）2=a3+b3，有a（1－a）+a2－2ab+b2=（a+b）（a2－ab+b2），即a（1－a－b）+a2－ab+b2=（a+b）（a2－ab+b2）得（a+b－1）（a2－ab+b