（北師大版）七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章相交線與平行線》

專題巧解平行線中的拐點(diǎn)問題

B題型歸納

的拐點(diǎn)問題

題型三過拐點(diǎn)作平行線的證明題

題型四與拐點(diǎn)有關(guān)的綜合探究題

題型一過一個(gè)拐點(diǎn)作平行線求角度

1.（2024秋?渝北區(qū)期末）如圖，已知AB〃C￡）,ZBAP=33°,ZDCP=21°,則/尸的度數(shù)為（）

B.53C.54°D.55

【分析】過點(diǎn)尸作則再由AB〃CQ可知尸E〃C。，故/DCP=/EPC,據(jù)此可

得出結(jié)論.

【解答】解：過點(diǎn)尸作尸￡〃A2,

VZBAP=33°,ZDCP=21°,

ZBAP=ZAPE=3r,

,JAB//CD,

：.PE//CD,

：.ZDCP=ZEPC=21a,

ZP=ZAPE+ZEPC=3?>O+21°=54°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵.

2.（2024春?新昌縣期末）李四在學(xué)習(xí)“平行線”的知識(shí)后，將手中的等腰直角三角形擺放在直尺上，如圖

所示，則/I與N2的數(shù)量關(guān)系是（

B.Zl+Z2=180°

C.Zl+Z2=90°D.2N1+N2=18O°

【分析】過點(diǎn)E作E尸〃48,先根據(jù)豬腳模型可得/GEH=/3+/4=90°,然后利用對(duì)頂角相等可得/

3=/1,Z4=Z2,從而利用等量代換可得Nl+/2=90°,即可解答.

【解答】解：如圖：過點(diǎn)E作E/〃

H

Z5=Z3,

'：AB//CD,

：.ZEF//CD,

.*.Z6=Z4,

VZG￡//=Z5+Z6=90°,

?,.Z3+Z4=90°,

VZ3=Z1,Z4=Z2,

/.Zl+Z2=90°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2024春?道縣期末）某小區(qū)車庫(kù)門口的“曲臂直桿道閘”（如圖）可抽象為如圖所示模型.已知AB垂

直于水平地面AE.當(dāng)車牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的8C段將繞點(diǎn)8緩慢向上抬高，CD段則一直

保持水平狀態(tài)上升（即。與AE始終平行），在該運(yùn)動(dòng)過程中NABC+NBC。的度數(shù)始終等于（）

【分析】過點(diǎn)2作BGZME,利用平行線的性質(zhì)可得NBAE+NABG=180°,ZC+ZCBG=180°,從而

可得/朋￡+/&2。+/2。=360°,然后根據(jù)垂直定義可得N2AE=90°,最后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：過點(diǎn)8作2G〃AE,

CD

處GF

AE

：.ZBAE+ZABG=ISO°,

\'AE//CDf

J.BG//CD,

AZC+ZCBG=180°,

AZBAE+ZABG+ZCBG+ZC=360°,

AZBAE+ZABC+ZBCD=360°,

VBA±AE,

：.ZBAE=90°,

AZABC+ZBCD=360°-ZBAE=270°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握鉛筆模型是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?平輿縣一模）如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中AB//DE,測(cè)得N5=130°,ZZ）=120°,

則NC的度數(shù)為（）

/B

A.120°B.110°C.140°D.90°

【分析】過點(diǎn)C作C/〃A5,由平行線性質(zhì)可得ND,NBCF,NOC/的關(guān)系，進(jìn)而求得NC.

【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)。作CT〃AB.

工B

U：AB//DE,

：.DE//CF；

：.ZBCF=180°-ZB=50°,ZZ）CF=180°-Z￡）=60°；

AZC=ZBCF+ZDCF=110°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，解題時(shí)需要作輔助線求解.

5.（2024春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，AB//CD,Zl=45°,Z2=30°,則N3的度數(shù)為（）

A.55°B.75°C.80°D.105°

【分析】過點(diǎn)E作利用平行線的性質(zhì)得出N3=N1+N2=75。.

【解答】解：過點(diǎn)E作如圖所示，

9：AB//EM.

：?/HEM=4=45。.

'：AB//CD.

J.EM//CD.

：.ZGEM=Z2=30°.

：./3=/HEM+/GEM=75。.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB//CD,ZG=90°，NBEG=x,則N。尸G可以表示為（）

C.90°-xD.180°-lx

【分析】過點(diǎn)G作G"〃A3,先證A8〃G//〃CO,進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得NEGH=N5EG,ZFGH-

/DFG,進(jìn)而得NEGF=NEGH+NFGH=NBEG+NDFG,然后根據(jù)NEG尸=90°,NBEG=x,得90°

=x+NDFG,由此可得NObG的度數(shù).

【解答】解：過點(diǎn)G作GH〃AB,如圖所示：

CFD

'：AB//CD,

.,.AB//GH//CD,

：.NEGH=ZBEG,ZFGH=ZDFG,

：.ZEGF=ZEGH+ZFGH=ZBEG+ZDFG,

?：ZEGF=90°,ZBEG=x,

V90°=x+/DFG,

：.ZDFG=90°-x.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解問題的關(guān)鍵，正確地作出輔助線是解

決問題的難點(diǎn).

7.如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸.如圖

2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB||CD,CG||EF,ABAG=150°,zDEF=130°,

則乙4GC的度數(shù)是.

圖1圖2

【分析】過點(diǎn)e作FMICD,因?yàn)锳BIICD,所以4B||CD||FM,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出NMF4,乙EFM,

進(jìn)而可求出^EFA,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得N4GC.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)尸作FMIICD,

\'AB\\CD,

：.AB\\CD\\FM,

：.Z.DEF+AEFM=180°,/-MFA+^LBAG=180°,

'：/.BAG=150°,Z.DEF=130°,

：.^LMFA=30°,ZEFM=50°,

：.Z.EFA=Z.EFM+AAFM=80°,

VCG||EF,

：.^AGC=Z-EFA=80°.

故答案為80。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算.

8.(2024秋?海安市期末)如圖，AE//BD,ZA=ZBDCfNAEC的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

(1)求證：AB//CD；

(2)探究NA,ZAEC,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出NA+NA8D=180°,結(jié)合已知NA=N3DC,得至!JN5OC+

ZABZ)=180°,于是問題得證；

(2)過點(diǎn)石作硒〃A3,于是有即〃8,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出NA+NA即=180°,Z

C+ZCEH=180°,從而得出NA+NAEC+NC=360°；

(3)在ACEF中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出三NAEC+4C=160°,結(jié)合(2)中的結(jié)論得出NAEC+NC

2

=220°,從而求出NC的度數(shù).

【解答】(1)證明：TAE〃瓦)，

AZA+ZABZ)=180°,

ZA=ZBDC,

：.ZBDC+ZABD=1SO°,

：.AB//CD；

(2)解：ZA+ZAEC+ZC=360°,理由:

由(1)知A3〃CD,

:?EH〃CD,

???NA+NAEH=180°,ZC+ZCE//=180°,

AZA+ZAEH+ZC+ZCEH=360°,

BPZA+ZAEC+ZC=360°；

(3)解：I,NAEC的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

1

:?乙CEF=^AECf

在ACE/中，ZF+ZCEF+ZC=180°,

VZF=20°,

1

???-4AEC+4c=160。①，

2

VZA=ZBDC9ZBDC=UO°,

AZA=140°,

VZA+ZAEC+ZC=360°,

AZAEC+ZC=220°②，

②-①得，ZAEC=120°,

AZC=100°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)

鍵.

9.（2024秋?南召縣期末）課堂上老師呈現(xiàn)一個(gè)問題:

已知：如圖，AB/CD,EF_LAB

與點(diǎn)O,FG交CD于點(diǎn)P,當(dāng)/1=3AB

0°時(shí)，求/EFG的度數(shù).D

下面提供三種思路:

思路一：過點(diǎn)F作MN〃CD（如圖（1））；

思路二：過點(diǎn)、P作PN〃EP,交AB于點(diǎn)N；

思路二：過點(diǎn)。作ON〃EG,交CD于點(diǎn)N.

GGG

（1）（2）（3）

解答下列問題：

（1）根據(jù)思路一（圖（1））,可求得NEBG的度數(shù)為；

（2）根據(jù)思路二、思路三分別在圖（2）和圖（3）中作出符合要求的輔助線；

（3）請(qǐng)你從思路二、思路三中任選其中一種，試寫出求/EFG的度數(shù)的解答過程.

【分析】（1）過尸作MN〃CZ）,根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到NEFG的度數(shù)；

（2）由圖可得，思路二輔助線的做法為過P作PN〃EF；思路三輔助線的做法為過。作ON〃/G；

（3）若選擇思路二，過P作PN〃EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得/NPO的度數(shù)，再根據(jù)/I的度數(shù)以及平

行線的性質(zhì)，即可得到NEFG的度數(shù)；若選擇思路三，過。作ON〃尸G,先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到/BON

的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到/跖G的度數(shù).

【解答】解：（1）如圖（1）,過歹作MN〃C。，

AZ2=Z1=3O°,

9：AB//CD,

：.AB//MN,

VABXEF,

???N3=N4=90。，

???ZEFG=N3+N2=90°+30°=120°.

故答案為：120。；

(2)由圖可得，思路二輔助線的做法為過尸作思路三輔助線的做法為過。作ON〃尸G；

(3)若選擇思路二，理由如下:

如圖(2),過P作PN〃EF,

■:PN〃EF,EFLAB,

：.ZONP=ZEOB=90°,

9：AB//CD,

：.NNPD=NONP=9U。,

又?.?Nl=30。，

/種6=90。+30。=120。，

,:PN〃EF,

：.ZEFG=ZNPG=120°；

若選擇思路三，理由如下：

如圖(3),過。作ON〃尸G,

?：ON〃FG,Zl=30°,

???NPNO=N1=30。，

\9AB//CD,

：.ZBON=ZPNO=30°,

EFLAB,

：.ZEON=ZEOB+ZBON=90°+30°=120°,

9：ON//FG,

：.ZEFG=ZEON=120°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

題型二過多個(gè)拐點(diǎn)作平行線求角度

1.(2024秋?建平縣期末)如圖，直線尸，ZCAB=135°，ZABD=S5°，則Nl+N2=()

A.30°B.35°C.36°D.40°

【分析】過點(diǎn)A作/i的平行線，過點(diǎn)3作/2的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得N3=N1,Z4

=N2,再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出,然后計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作/1的平行線AM,過點(diǎn)3作/2的平行線

則N3=N1,Z4=Z2,

：.AM//BN,

：.ZMAB+ZABN=180°,

VZCAB=135°,ZABD=85°

???N3+N4=135°+85°-180°=40°,

.?.Zl+Z2=40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行,

內(nèi)錯(cuò)角相等.熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2024春?福田區(qū)期中）中華武術(shù)，博大精深.小明把如圖1所示的武術(shù)動(dòng)作抽象成數(shù)學(xué)問題.如圖2,

己知NC=90°,/B=78°,NK=98°,則N尸的度數(shù)是（）

圖I

A.106°D.120°

【分析】過點(diǎn)E作EG〃AB,過點(diǎn)/作從而可得AB〃尸H〃EG〃C。，然后利用平行線的性質(zhì)

可得/2+/印中=180°，/EFH=GEF,NC+/CEG=180°，從而可得/班'2=102°，/CEG=90°,

進(jìn)而可得NEFH=NGE尸=8°,最后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：過點(diǎn)E作EG〃AB,過點(diǎn)尸作出〃AB,

'：AB//CD,

：.AB//FH//EG//CD,

：.ZB+ZHFB=1SO°,ZEFH=GEF,ZC+ZCEG=180°,

.,.ZHFB=180°-ZB=102°,NCEG=180°-NC=90°,

：.ZGEF=ZCEF-ZCEG=98°-90°=8°,

:./EFH=/GEF=8°,

：.ZEFB=ZEFH+ZHFB=102°+8°=110°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2024春?新洲區(qū)期末）如圖，AB//EF,則/A,ZC,ZD,/E滿足的數(shù)量關(guān)系是（）

A./A+/C+/Z)+/E=360。B.ZA+ZD=ZC+ZE

C.ZA-ZC+ZD+ZE=180°D.Z￡-ZC+ZD-ZA=90°

【分析】過點(diǎn)C作CG〃A8,過點(diǎn)。作OH〃ER根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/A=/ACG,ZCDH

=ZDCG,兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得/即8=180。-NE,然后表示出NC整理即可得解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CG〃A2,過點(diǎn)。作Z）8〃ER

則NA=/ACG,NEDH=180。-ZE,

,JAB//EF,

：.CG//DH,

：.ZCDH=ZDCG,

：.ZC=ZACG+ZCDH=ZA+ZD-(180°-ZE),

/.ZA-ZC+ZD+Z￡=180°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，此類題目難點(diǎn)在于過拐點(diǎn)作平行線.

4.如圖所示，若AB〃C。，則/1+/2+/3+N4+/5+/6的度數(shù)是

AB

【分析】過E作EQ//CD,過/作FW//CD,過G作GR//CD,過H作HY//CO,根據(jù)平行線的判定得

出EQ//FW//GR//HY//AB//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可.

【解答】解：如圖1,

圖I

過E作EQ〃CQ,過/作FW〃CD,過G作GR〃CD,過"作“丫〃8,

VCD//AB,

：.EQ//FW//GR//HY//AB//CD,

Nl+NAffiQ=180°,Ze￡F+Z￡FIV=180°,ZWFG+ZFGR^180°,ZRGH+ZGHY^1SO°,ZYHN+

Z6=180°,

：.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=5X180°=900°.

故答案為：900°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

5.（2024春?慈溪市期中）如圖，已知點(diǎn).E,尸分別在AB,CD上，點(diǎn)G,H在兩條平行線A8,

C。之間，/AEG與/FHG的平分線交于點(diǎn)若NEGH=84°,ZHFD=20°,則

CFD

【分析】過點(diǎn)G,M,H悴GN〃AB，MP//AB,KH//AB,根據(jù)已知易得：AB//GN//MP//KH//CD,

1

再利用鋸齒模型可得/466+/6"/=/￡6"+/”/。=104°,然后利用角平分線的定義可得

/AEG,/MHF=3/GHF,從而可得NAEM+NM”尸=52°,進(jìn)而可得NA￡M+NA/HK=32°,最后利

用豬腳模型可得/口/”=/4￡坂+/〃”長(zhǎng)=32°,即可解答.

【解答】解：過點(diǎn)G,M,H忤GN//AB,MP//AB,KH//AB,

：.AB//GN//MP//KH//CD,

*：GN//AB,

：.ZAEG=ZEGN,

?:GN〃KH,

:?/GHK=/NGH,

,:KH〃CD,

：.ZKHF=ZHFD=20°,

???/AEG+/GHK+NKHF=ZEGN+ZNGH+ZHFD.

：.ZAEG+ZGHF=ZEGH+ZHFD,

???/EGH=84°,ZHFD=20°,

AZAEG+ZGHF=104°,

TEM平分NAEG,MH平分/GHF,

11

/.ZAEM=^ZAEG,NMHF="GHF,

1

/.ZAEM+ZMHF=(/AEG+/GHF)=52°,

?；/KHF=20°,

???NAEM+NMHK=32°,

9

：MP//AB//KHf

：.ZEMP=ZAEMfNPMH=/MHK,

，NAEM+NMHK=ZEMP+ZPMH=32°,

即/EMH=32°,

故答案為：32°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助

線是解題的關(guān)鍵.

6.（2024春?金湖縣期末）如圖，AB//CD,E、尸分別是A8、CD上的點(diǎn)，EH、尸H分別是/AEG和NCFG

的角平分線.若NG=110。，則/?=°.

【分析】過點(diǎn)G作GA/〃根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/AEG+/EGM=180。，再結(jié)合已知可得CD//GM,

然后利用平行線的性質(zhì)可得NCFG+/MG尸=180。，從而可得/4EG+NCFG=250。，再利用角平分線的定

義可得NHEG+/GFH=125。,最后利用四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：過點(diǎn)G作GM//AB,

：.ZAEG+ZEGM=180°,

'：AB//CD,

：.CD//GM,

：.ZCFG+NMGF=180°,

/.ZAEG+ZEGM+ZCFG+ZMGF^360°,

NEGF=ZEGM+ZMGF^110°,

ZAEG+ZCFG=360°-ZEGF=250°,

,:EH、fT/分別是/AEG和NCPG的角平分線，

11

：?/HEG=RAEG,/GFH=RCFG,

11

???NHEG+NGFH=/AEG+*NC/G=125。，

JZH=3600-ZHEG-/HFG-ZEGF=125°,

故答案為：125.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

7.(2024秋?寶豐縣期末)己知直線MN、尸0,點(diǎn)A、8為分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)C為平面內(nèi)一點(diǎn)，

連接AC、BC,且

(1)求證：MN//PQ-,

(2)如圖2,射線AE、8。分別平分4c和/CB。，AE交直線PQ于點(diǎn)E,2。與NN4c內(nèi)部的一條

射線AQ交于點(diǎn)若/C=2/。，求的度數(shù).

【分析】(1)過C作CS〃MN,由已知可以得到尸?！–S,從而得到MN〃尸Q；

1

(2)連接DC并延長(zhǎng)交AK于點(diǎn)R由已知可以得到NZMC=力/MlC,再由NEAD=NEAC+/CAr＞及

平角的意義可以得到解答.

【解答】(1)證明：過C作CS〃跖V,如圖，

NNAC=ZACS,

'：ZACB=ZACS+ZBCS=ZNAC+ZCBQ,

:?/BCS=/CBQ,

：.PQ//CS,

：.MN//PQ；

(2)解：如圖，連接。。并延長(zhǎng)交于點(diǎn)尸，貝!J：

ZACF=ZDAC-^-ZADC,/BCF=/DBC+/BDC,

：./ACB=NDAC+NDBC+/ADB=2/ADB,

：.ZADB=ZDAC+ZDBC,

：.2ZADB=2ZDAC+2ZDBC=2ZDAC+ZQBC,

又NACB=NNAC+NCBQ=2NADB.

：.ZNAC+ZCBQ=2ZDAC+ZQBC,即/NAC=2NDAC,

1

???ZDAC=專/NAC,

：.ZEAD=ZEAC+ZCAD

11

=^ZMAC+^ZNAC

=考(NMAC+NM1C)

=90°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的應(yīng)用，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)及利用輔助線解題的方法是解題關(guān)鍵.

8.(2024春?潛山市月考)如圖，AB//CD,點(diǎn)E,廠分別是A5,CZ)上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于A5與CD之間且

在跖的右側(cè).

(1)若NM=90。，則NAEM+NCTM=；

(2)若NM=〃。，N3EM與N。尸M的角平分線交于點(diǎn)N,則NN的度數(shù)為.(用含〃的式子表示)

AEB

------------------------D

【分析】（1）過點(diǎn)M作M尸〃AB,則A3〃CO〃MP根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案;

（2）過點(diǎn)N作NQ〃A3,則A3〃CD〃NQ,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和角平分線的定義可得答案.

【解答】解：（1）過點(diǎn)"作M尸〃A8,

*：AB//CD,

J.AB//CD//MP,

；?/l=NMEB,Z2=ZMFD,

NM=N1+N2=9O°,

NMEB+/MFD=90。,

,/ZAEM+/MEB+ZCFM+ZMFD=180°+180°=360°,

???ZAEM+ZCFM=360°-90。=270。.

故答案為：270°；

(2)過點(diǎn)N作NQ〃A3,

9：AB//CD,

：.AB//CD//NQ,

：.Z3=ZNEB,N4=NN皿

J/NEB+/NFD=N3+N4=/ENF,

NBEM與/DFM的角平分找交于點(diǎn)N,

11

NNEB=考/MEB,ZDFN=宏乙MFD,

i

/.Z3+Z4=ZBEN+ZDFN=*（ZMEB+ZMFD）,

由（1）得，NMEB+/MFD=NEMF,

1i

ZENF=^ZEMF=加。.

1

故答案為：-n°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和角平分線的定義是解題關(guān)鍵.

9.（2024春?全椒縣期末）如圖1,AB//CD,過點(diǎn)尸作［7〃CZ）,可得"〃A3.利用平行線的性質(zhì)，可

得：NEFG與/BEF,NDGE之間的數(shù)量關(guān)系是,ZEFG+ZAEF+ZCGF=°.

利用上面的發(fā)現(xiàn)，解決下列問題：

（1）如圖2,AB//CD,點(diǎn)M是NA跖和NPGC平分線的交點(diǎn)，/EFG=126°,求NEMG的度數(shù)；

（2）如圖3,AB//CD,GM平分/CGREMLGM,EF平分/BEM,若NEFG比/CGP大8°,則/

CGF的度數(shù)是.

【分析】（1）由已知得A2〃尸尸〃C。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得N￡FP=N2￡F,/PFG=NDGF,據(jù)此可得

出/EFG與NBEF,/J9G尸之間的數(shù)量關(guān)系；先由AB〃F尸〃CZ）得/EPP+NAEF=180°,ZPFG+ZCGF

=180°,據(jù)此可得出NE/G+NAE尸+NCGP的度數(shù)；

（2）設(shè)NAEM=NMEF=a,ZCGM=ZMGF=p,則NAEF=2a,NCGF=20,由（1）的結(jié)論得NEMG

=ZAEM+ZCGM=a+p,ZEFG+ZAEF+ZCGF=3600,進(jìn)而得126°+2a+20=36O°,據(jù)此可得/EMG

的度數(shù)；

（3）設(shè)/CGM=。，則NMGF=NCGM=。，ZCGF=2Q,ZDCF=1SO°-20,由（1）的結(jié)論及EM_L

1Q

GM得/AEM=90°-0,進(jìn)而得NBEF=/（90。+。），再由⑴的結(jié)論得NEFG=225。一方仇然后根據(jù)

/EPG比/CGF大8°得225?！?26+8。，據(jù)此可求出/CG尸的度數(shù).

【解答】解：/EFG與NBEF,NDGF之間的數(shù)量關(guān)系是：ZEFG=ZBEF+ZDGF.

理由如下:

\9AB//CD,FP//CD,

J.AB//FP//CD,

:?/EFP=/BEF,/PFG=/DGF,

：./EFP+/PFG=NBEF+/DGF,

即：/EFG=/BEF+/DGF；

AEFG+ZAEF+ZCGF=360°.理由如下：

9

：AB//FP//CDf

：.ZEFP+ZAEF=1SO°,ZPFG+ZCGF=180°,

：?/EFP+/PFG+NAEF+NCGF=360°,

BP：ZEFG+ZAEF+ZCGF=360°.

故答案為：ZEFG=ZBEF+ZDGF,360°；

(2)平分NAEF,GM平分NFGC,

，設(shè)/AEM=NMEF=a,ZCGM=ZMGF=^.

：.ZAEF=2a,NCG尸=20,

由(1)的結(jié)論得：ZEMG=ZAEM+ZCGM=a+p,ZEFG+ZAEF+ZCGF=360°,

又???NEFG=126°,

.*.126°+2a+20=36O°,

/.a+p=117°,

AZEMG=a+^=m°；

(3)設(shè)NCGM=。，

「GM平分NCGF,

:?/MGF=/CGM=0,

???NCG/=29,

：.ZDCF=180°-ZCGF=180°-20,

由(1)的結(jié)論得：/EMG=/CGM+/AEM,/EFG=/BEF+/DGF,

'CEMLGM,

：.ZEMG=90°,

ZAEM=90°-6,

：.ZBEM=180°-ZAEM=180°-(90°-0)=900+9,

:EF平分NBEM,

11

乙BEF=/4BEM=(90°+0),

13

乙EFG=乙BEF+乙DGF=1(90°+。)+180。-20=225。一觸，

比/CGF大8°,

；.NEFG=NCGF+8°,

即：225。一觸=28+8。，

解得：0=62°,

.*.ZCGF=20=124°.

故答案為：124。.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線

的性質(zhì)，難點(diǎn)是類比思想、方程思想在解題中的應(yīng)用.

題型三過拐點(diǎn)作平行線的證明題

1.如圖，已知/1=70。，N2=3(F,EF平分NBEC,NBEF=50。，求證：AB/7CD.

【分析】先過點(diǎn)E在/BEC的內(nèi)部作EM//AB,求出/BME的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出NBEC的度數(shù),

從而求出/CEM的度數(shù)，然后根據(jù)NCEM=N2,利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出EM〃AB.

【解答】證明：如圖，過點(diǎn)E在/BEC的內(nèi)部作EM〃AB,

AB

VEF平分/BEC,NBEF=50。，

ZBEC=2ZBEF=2X50°=100°,

VEM//AB,

/.ZBEM=Z1=7O°,

：.ZCEM=ZBEC-ZBEM=100°-70°=30°,

：N2=30。，AZCEM=Z2,.

，EM〃CDX；EM〃AB

；.AB〃CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是過點(diǎn)E在/BEC的內(nèi)部作EM//AB.

2.如圖，點(diǎn)E在線段AC上，AB〃CD,Z1=ZB,Z2=ZD.求證：BEXDE.

【分析】過點(diǎn)E在/BED的內(nèi)部作EM〃AB,先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N1=NBEM,NDEM=N2然后根

據(jù)/AEC=180°得出Nl+/BEM+NDEM+/2=180。，從而得到/BEM+/DEM=90。卸可證明BE±DE.

【解答】證明：過點(diǎn)E在NBED的內(nèi)部作EM〃AB,則NB=NBEM,

VZ1=ZB,???N1=NBEM,

又,「AB〃CD,EM/7CD,

AZD=ZDEM,

VZ2=ZD,NDEM=N2,

AZl+ZBEM+ZDEM+Z2=180°,

???ZBEM+ZDEM=90°,

即/BED=90,

ABE±DE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

3.（2024秋?原陽縣校級(jí)期末）如圖，已知N5=25°,ZBCD=45°,ZCDE=30°,

NE=10°,求證：AB//EF.

【分析】解本例的困難在于圖形中沒有“三線八角”，考慮創(chuàng)造條件，在圖中添置“三線八角”或作出與

A3或。0平行的直線，利用平行線的性質(zhì)和判定求證.

【解答】解：過C點(diǎn)作CG〃A5,過點(diǎn)。作。H〃A3,則CG〃。凡

VZB=25°,

:?/BCG=25°,

'：ZBCD=45°,

：.ZGCD=20°,

■:CG//HD,

：.ZCDH=20°,

VZCDE=30°,

：.ZHDE=10°

：.ZHDE=ZE=10°,

：.DH//EF,

J.DH//AB,

：.AB//EF.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，輔助線是常見的作法，證明過程注意選用有用的條件作為證明的

依據(jù).

4.(2024春?陽江期末)如圖1,AB//CD,EOF是直線43、間的一條折線.

(1)試證明：ZO=ZBEO+ZDFO.

(2)如果將折一次改為折二次，如圖2,則/BE。、N。、/P、NPEC之間會(huì)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，證

明你的結(jié)論.

(分析］(1)作OM"AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得/1=ZBEO,由于AB//CD,根據(jù)平行線的傳遞性得OMHCD,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得N2=/OFO,所以Nl+NZn/BEO+NOFO；

(2)作。PN//CD,由得到0M〃尸N〃AB〃CZ),根據(jù)平行線的性質(zhì)得N1=NBEO,

Z2=Z3,N4=NPFC,所以/1+N2+N尸尸C=NBEO+/3+N4,即/O+NPBC=NBEO+NP.

【解答】(1)證明：作。m〃A8,如圖1,

；.N1=NBEO,

'：AB//CD,

J.OM//CD,

：.Z2=ZDFO,

：.Zl+Z2=ZBEO+ZDFO,

即：ZO=ZBEO+ZDFO.

(2)解：ZO+ZPFC=ZBEO+ZP.理由如下:

OM//AB,PN//CD,如圖2,

'JAB//CD,

J.OM//PN//AB//CD,

：.Z1=ZBEO,Z2=Z3,Z4=ZPFC,

：.Z1+Z2+ZPFC=ZBEO+Z3+Z4,

：.ZO+ZPFC=ZBEO+ZP.

圖1圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行,

內(nèi)錯(cuò)角相等.

5.（2024春?蒙陰縣期末）如圖，已知直線人〃/2,點(diǎn)A、B分別在人與/2上.直線/3和直線/1、/2交于點(diǎn)C

和。，在直線CD上有一點(diǎn)P.

（1）如果2點(diǎn)在C、。之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問/B4C,NAPB,/PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

（2）若點(diǎn)尸在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、。不重合），試探索NE4C,ZAPB,/P8D之間

的關(guān)系又是如何？

【分析】（1）過點(diǎn)P作PE〃/1,求出PE〃/2〃/1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/R1C=N1,ZPBD=Z2,

即可得出答案；

（2）分為兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)尸在/2下方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)尸在人上方時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可.

【解答】解：（1）如圖，當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有理由如下:

b

過點(diǎn)尸作PE〃/1,

：.PE//h//l\,

：.APAC=A\,ZPBD=Z2,

：.ZAPB=N1+N2=ZPAC+ZPBD；

(2)若點(diǎn)尸在C、。兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(尸點(diǎn)與點(diǎn)C、。不重合),

當(dāng)點(diǎn)尸在/2下方時(shí)，有結(jié)論：ZAPB=ZFAC-ZPBD.

理由是：過點(diǎn)尸作尸石〃/1,則NAPE=NB4C,

又???/1〃/2,

J.PE//12,

：,/BPE=/PBD,

NAPE=ZAPB+ZBPE,

：.APAC=/APB+/PBD,

：.ZAPB=APAC-ZPBD；

②如圖,

當(dāng)點(diǎn)P在/1上方時(shí)，有結(jié)論：ZAPB=ZPBD-ZPAC.

理由是：過點(diǎn)尸作PE〃/2,則

又

J.PE//11,

：.ZAPE=ZPAC,

ZBPE^ZAPE+ZAPB,

：.ZPBD=APAC+AAPB,

：.ZAPB=ZPBD-APAC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，證明過程類似.

6.(2024秋?長(zhǎng)安區(qū)期末)如圖1,AB//CD,在A2、CD內(nèi)有一條折線EPF.

(1)求證：ZAEP+ZCFP=ZEPF；

(2)在圖2中，畫NBEP的平分線與/。尸尸的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)。，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，試探索

/EPf與NEQF之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)在(2)的條件下，已知和/。正尸均為鈍角，點(diǎn)G在直線AB、CD之間，且滿足/

BEP,ZDFG^-ZDFP,(其中“為常數(shù)且">1),直接寫出/EG尸與NEPF的數(shù)量關(guān)系.

n

【分析】（1）首先過點(diǎn)P作PG〃AB,然后根據(jù)AB〃CO,PG//CD,可得/AEP=/1,NCFP=/2,據(jù)

此;判斷出/AEP+NCFP=N￡P(guān)尸即可；

（2）首先由（1）可得/EPF=/AEP+CFP,ZEQF=ZBEQ+ZDFQ；然后根據(jù)N8E尸的平分線與/Z）FP

1

的平分線相交于點(diǎn)。，推得（360-NEPF）,即可判斷出/￡7平+2/EQP=360°.

1

（3）首先由（1）可得NEGF=NAEG+NCFG,NEPF=/BEP+/DFP；然后根據(jù)/BEP=土/BEG,Z

n

DFP=-ZDFG,推得NEP尸=tx（360°-ZEGF）,即可判斷出NEGF+"NEP尸=360°.

nn

【解答】證明：（1）如圖1,過點(diǎn)尸作尸G〃AB,

'：AB//CD,

J.PG//CD,

：.ZA￡P(guān)=Z1,/CFP=/2,

又?；/l+N2=NEPR

二ZAEP+ZCFP=NEPF；

由(1)可得：NEPF=NAEP+CFP,ZEQF^ZBEQ+ZDFQ,

VZBEP的平分線與NDFP的平分線相交于點(diǎn)Q,

111

ZEQF=ZBEQ+ZDFQ=J(NBEP+/DFP)=J[360°-(/AEP+NCFP)]=*(360-ZEPF)f

ZEPF+2ZEQF=360°；

(3)由(1)可得：NEGF=/AEG+/CFG,NEPF=/BEP+/DFP,

EB

圖3

1i

ZBEG=上/BEP,ZDFG=-ZDFP,

nn

Z.ZEGF=ZBEG+ZDFG=-(ZBEP+ZDFP)-[3600-(ZAEP+ZCFP)]=-x(360°-ZEPF),

：.nZEGF+ZEPF^360°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

7.小華在學(xué)習(xí)“平行線的性質(zhì)，后，對(duì)圖中和的關(guān)系進(jìn)行了探究：

(1)如圖1,AB〃C。，點(diǎn)。在4B,C。之間，試探究/B,ND和之間有什么關(guān)系？并說明理由;

小華添加了過點(diǎn)0的輔助線。加，并且OA/〃C￡＞請(qǐng)幫助他寫出解答過程；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在C￡＞的上側(cè)，試探究NB,N。和/B。。之間有什么關(guān)系？并說明理由；

(3)如圖3,若點(diǎn)。在A8的下側(cè)，試探究NB,和/80D之間有什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出它們的關(guān)系式.

O

【分析】(1)求出AB〃CO〃OM,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZB=ZBOM,再得出答案即可;

(2)求出A2〃Cr)〃0M,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NZ)=N￡)OM,ZB=ZBOM,再得出答案即可；

(3)求出AB〃CD〃OM,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NB=NBOM,再得出答案即可.

【解答】解：(1)ZBOD=ZD+ZB,

理由是："JAB//CD,OM//CD,

J.AB//CD//OM,

：.ZD=ZDOM,ZB=ZBOM,

：.NDOB=NDOM+/BOM=ZB+ZD；

(2)ZB=ZBOD+ZD,

理由是：如圖：過。作。河〃CD,

圖23

'：AB//CD,OM//CD,

J.AB//CD//OM,

:./D=NDOM,/B=NBOM,

：.ZB=ZBOM=ZDOM+ZDOB=ZD+ZDOB；

(3)ZD=ZDOB+ZB,

理由是：如圖：過。作OM〃C￡>,

'：AB//CD,OM//CD,

J.AB//CD//OM,

：.ZD=ZDOM,ZB=ZBOM,

：.ZD=ZDOM=ZBOM+ZDOB=ZB+ZDOB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，證明過程類似.

題型四與拐點(diǎn)有關(guān)的綜合探究題

1.(2024春?望奎縣期末)課題學(xué)習(xí)：平行線問題中的轉(zhuǎn)化思想.

【閱讀理解】“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個(gè)重要的“基本圖形”.與平行線有關(guān)的

角都存在著這個(gè)“基本圖形”中，且都分布在“第三條直線”的兩旁.當(dāng)發(fā)現(xiàn)題目的圖形“不完整”時(shí)

要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將其補(bǔ)充完整.將“非基本圖形”轉(zhuǎn)化為“基本圖形”這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.有這樣

一道典型問題：

例題：如圖(1),己知點(diǎn)E在直線AB、C￡＞之間，探究NBED與/B、之間的關(guān)系.

解：過點(diǎn)E作〃&艮

'：EF//AB,AB//CD,

J.AB//CD//EF,

：.ZB=ZBEF,ZD=ZDEF,

'：NBED=ZBEF+ZDEF,

:./BED=NB+ND.

【學(xué)以致用】

U）當(dāng)NB=30°,ND=35°時(shí)，NBED=°.

（2）①如圖（2）,已知AB〃CD,若NA=135°,ZC=130°,求出NAEC的度數(shù).

②如圖（3）,在①的條件下，若AE、CF分別平分NBAE和/OCE,求/APC的度數(shù).

【分析】（1）因?yàn)?3瓦＞=/2+/。，所以當(dāng)當(dāng)N2=30°,ND=35°時(shí)，NBED=65°；

（2）①如圖所示過點(diǎn)E作E/7/AB,利用平行線的定理和推論可知/AEC=NAEF+/CER最后計(jì)算出

ZAEC的度數(shù)；

②已知ARCB分別平分NA4E和/DCE,所以可以推導(dǎo)出NA4F和NDC/的度數(shù)，利用（1）的結(jié)論

可知/AFC的度數(shù).

【解答】解：（1）'：ZBED=ZB+ZD,

又：/8=30°,/。=35°,

；./BED=65°,

故答案為：65°；

（2）①過點(diǎn)E作EF//AB,如圖：

CD

'：EF//AB,AB//CD,

：.EF//AB//CD,

：.ZA+ZAEF=180°,ZC+ZC￡F=180°,

又：/A=135°,ZC=130°,

/.ZAEF=180°-135°=45°,ZCEF=180°-130°=50°,

AZAEC=ZAEF+ZCEF^45°+50°=95°,

答：/AEC的度為95°；

②?.,/BAE=135°,A/平分NBAE,

11

J.^BAF=^