黑龍江省哈爾濱市第七十三中學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則=（

）A．1 B．2 C．4 D．83．5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的3個(gè)名師講座，每個(gè)同學(xué)可自由選擇，且必須選擇一個(gè)講座，則不同的選擇種數(shù)是（

）A．53 B．35 C．5×4×3 D．5×44．已知0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字，從中取三個(gè)不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)字放在個(gè)位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有（

）A．20個(gè) B．30個(gè) C．40個(gè) D．55個(gè)5．已知，則（

）A． B． C． D．6．若二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為，則該展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，若，則的值可以是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20258．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分?duì)應(yīng)值如下表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能為（

）個(gè)．x-10451221A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題（本大題共3小題）9．（多選題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（

）A．若，則的通項(xiàng)公式B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，，則10．為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某學(xué)校計(jì)劃在校本課程中開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門課程，每天開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)6天，則（

）A．課程“禮”不排在第一天和最后一天的不同排法共有480種B．課程“射”必須排在課程“數(shù)”前面的不同排法共有360種C．課程“樂”、“射”相鄰的不同排法共有120種D．課程“御”、“書”、“數(shù)”互不相鄰的不同排法共有144種11．已知函數(shù)，則（

）．A．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是 B．函數(shù)的遞減區(qū)間為C．函數(shù)存在最大值和最小值 D．函數(shù)有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.若，則.14．設(shè)，，…，，是1，2，…，的一個(gè)全排列，把排在左邊且小于的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為的順序數(shù)（，2，…，）.例如在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數(shù)是1，而3的順序數(shù)是0.則在由1，2，…，8這八個(gè)數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時(shí)滿足8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值．17．已知數(shù)列滿足，且點(diǎn)在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列前項(xiàng)和為，求能使對(duì)恒成立的（）的最小值.18．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的極大值不小于，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列，是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由?（2）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對(duì)于任意的，都存在，使得，求a的值．

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，，設(shè)線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，即.所以曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為.故選B.2．【答案】B【詳解】先將已知式轉(zhuǎn)化成關(guān)于基本量的方程，解方程得到，再寫出通項(xiàng)公式并計(jì)算即可.【詳解】等差數(shù)列的公差是d，則，，即，聯(lián)立，解得，則.故選B.3．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，即每位同學(xué)均有3種講座可選擇，則5位同學(xué)共有種不同的選法.故選B.4．【答案】B【詳解】若這三個(gè)數(shù)字里沒有，則共有個(gè)，若這三個(gè)數(shù)字里有，則共有個(gè)，則共有個(gè).故選B.5．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所?所以.故選C6．【答案】B【詳解】由題設(shè)及二項(xiàng)式定理可得，則，由題意，即，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．故選B．7．【答案】C【詳解】由已知可得：，故數(shù)列的周期為3，因?yàn)?，所以可以?024．故選C8．【答案】D【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象知，函數(shù)在，上都單調(diào)遞增，在，上都單調(diào)遞減，，函數(shù)有最大值，函數(shù)在處取得極小值，顯然，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即是直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，C可能；當(dāng)時(shí)，若，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，A可能；若，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，B可能；若，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，C可能，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能為5個(gè)，即D不可能.故選D9．【答案】BC【詳解】A．當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；B．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合的情況，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故正確；C．因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故正確；D．當(dāng)時(shí)，，所以顯然不成立，故錯(cuò)誤；故選BC.10．【答案】ABD【詳解】A.“禮”不排在第一天和最后一天，則排在中間4天中的1天，所以不同排法有，故A正確；B.順序一定問題，不同的排法種數(shù)為，故B正確；C.相鄰問題，采用捆綁法，不同的排法種數(shù)為，故C錯(cuò)誤；D.不相鄰問題，采用插空法，不同的排法種數(shù)為，故D正確.故選ABD11．【答案】ABD【詳解】由，得,所以，又，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是，即，故A正確；令，可得，解得；令，解得或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，,作出函數(shù)的圖形，如圖所示，可得A、B正確；所以，無最大值，故C錯(cuò)誤；若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，故D正確..故選ABD.12．【答案】【詳解】由函數(shù)可得，，∴，即切線的斜率，∴切線方程為，即.13．【答案】【詳解】根據(jù)題意可知是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列；所以可得，即，因此.14．【答案】144【詳解】依題意，在8的左邊有2個(gè)比8小的數(shù)，在7的左邊有3個(gè)比7小的數(shù)，在5的左邊有3個(gè)比5小的數(shù)，由于8是最大的數(shù)，則8必排在左起的第3位，而7必須排在左起的第5位，5只能在7的右邊，若6在5的右邊，則5與7必相鄰，共有種排法，若6在5的左邊，則5必在左起的倒數(shù)第二位，共有種排法，所以總共有種排法.15．【答案】（1）（2）且【詳解】（1）若等差數(shù)列公差為，則，即，由，則，所以的通項(xiàng)公式.（2）由題設(shè)，當(dāng)為偶數(shù)，則；當(dāng)為奇數(shù)，則；所以且.16．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）最小值為，最大值為1【詳解】（1）．當(dāng)或時(shí)，．，的變化情況如表-1+0-0+的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．為極小值點(diǎn)．，，所以的最小值為，最大值為117．【答案】(1)(2)5【詳解】（1）點(diǎn)在直線上，得，

所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列．

故，即．（2），

所以即，因，故，故要使對(duì)恒成立，需使，即，

又，所以的最小值為5.【方法總結(jié)】裂項(xiàng)相消法把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，可以消去一部分，從而計(jì)算和的方法，適用于通項(xiàng)為1an·an+1的前n項(xiàng)和，其中{an}常見的拆項(xiàng)方法：①12n-12n+1＝②1nn+1n+2＝12[1③1nn+k＝④kanan-1an+1-1＝ka-1(118．【答案】（1）（2）【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，在直線方程中，令，可得，由題意可得，解得.（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，整理可得，令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．【答案】（1）不是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；理由見解析（2）【詳解】（1）不是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；理由如