微專題39實際應(yīng)用題

類型一方程（組）與不等式的實際應(yīng)用（6年5考）

1,《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書大約在一千五百年前.書中

記載了這樣一個問題：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，

不足一尺，問木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺,

將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？請解答上述問題.

2.（2024佛山模擬）某學(xué)校組織學(xué)生社團活動，打算恰好用1100元經(jīng)費購買

圍棋和象棋，其中圍棋每套40元，象棋每套30元.所購買圍棋的套數(shù)能否是所

購買象棋套數(shù)的2倍？若能，請求出所購買的圍棋和象棋的套數(shù)；若不能，請說

明理由.

3.為了提高道路的通行效率，廣東某市對一擁堵路段實行了燈控路口智能化改

進，優(yōu)化了交通信號燈配時，駕駛員只需要控制好車速，便可達到“一路綠燈”

的效果.據(jù)了解該路段總長約6公里，改進后通過該路段的車輛的行駛速度平均

提高了50%,行駛時間平均減少3分鐘，求該路段改進前，通過該路段的車輛平

均每小時行駛的路程.

4.（2024順德區(qū)二模）某單位為響應(yīng)綠色環(huán)保倡議，提出要節(jié)約用紙，逐步走

向“無紙化”辦公.據(jù)統(tǒng)計，該單位2月份A4紙的用紙量為1000張，到了4月

份A4紙的用紙量降到了640張.

（1）求該單位A4紙的用紙量月平均降低率；

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(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，估算5月份該單位A4紙的用紙量.

5.(2024貴州)為增強學(xué)生的勞動意識，養(yǎng)成勞動的習(xí)慣和品質(zhì)，某校組織學(xué)

生參加勞動實踐.經(jīng)學(xué)校與勞動基地聯(lián)系，計劃組織學(xué)生種植甲、乙兩種作物.如

果種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學(xué)生，種植2畝甲作物和2畝乙作物

需要22名學(xué)生.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學(xué)生？

(2)種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學(xué)生人數(shù)不超過55人，至少種植甲作

物多少畝？

6.(2024梅州一模)周末，小明和他的爸爸來到如圖所示的環(huán)形運動場進行跑

步鍛煉，繞環(huán)形運動場一圈的路程為400米.

(1)若兩人同時同起點相向而跑，則經(jīng)過36秒后首次相遇；若兩人同時同起點

同向而跑，則經(jīng)過180秒后，爸爸首次從后面追上小明，問小明和他的爸爸的速

度各為多少？

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（2）假設(shè)爸爸的速度是6米利，小明的速度是5米鄰.兩人進行400米賽跑，

同時同起點同向出發(fā)，等爸爸跑到半圈時，故意降速為4米/#.按此繼續(xù)比賽，

小明能否在400米終點前追上爸爸，如果能，求追上時距離終點還有多少米；如

果不能，請說明理由.

起點

f\

第6題圖

類型二函數(shù)的實際應(yīng)用（6年4考）

1.（2024東莞模擬）如圖，根據(jù)小孔成像的科學(xué)原理，當像距（小孔到像的距

離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔

到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當x=6時，y=2.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

（2）若火焰的像高為3cm,求小孔到蠟燭的距離.

第1題圖

2.比葉面積是指葉片的單葉面積與單葉干重之比，可作為葉片遮蔭度的指數(shù)使

用.通過對某種溫帶森林植物的研究，發(fā)現(xiàn)某種植物的比葉面積y（m2/kg）與年

均降水量x（mm）之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：

年均降水量%（mm）???400430500570600???

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比葉面積y(m2/kg)???22.6223.8226.6229.4230.62???

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)求出歹與X之間的函數(shù)表達式；

(2)當年均降水量為530mm時，這種植物的比葉面積是多少？

3.(2024中山模擬)隨著電動車技術(shù)的日益發(fā)展和環(huán)保節(jié)能的優(yōu)勢，越來越多

的購車者選擇了新能源汽車，影響新能源汽車發(fā)展的重要瓶頸就是續(xù)航里程及充

電時間(如圖①).某公司用兩種充電樁對目前電量為20%的新能源汽車充電.

經(jīng)測試，在用快速充電樁和普通充電樁對汽車充電時，其電量y與充電時間x(單

位：小時)的函數(shù)圖象分別為圖②中的線段45,4c根據(jù)以上信息，回答下列問

題：

(1)求線段43和線段4。所代表的函數(shù)表達式(寫出取值范圍)；

(2)在某次出行之前，李梅要對余電10%的電車充電，先用快速充電樁充電，

再用普通充電樁充電，要求用2.5小時完成充電，請你設(shè)計一個合理的充電方案.

圖①圖漢

第3題圖

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4.(2024珠海模擬)在“鄉(xiāng)村振興”行動中，某村辦企業(yè)以4,5兩種農(nóng)作物

為原料開發(fā)了一種有機產(chǎn)品.4原料的單價是3原料單價的1.5倍，若用900元

收購A原料會比用900元收購B原料少100kg.生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料2kg

和3原料4kg,每盒還需其他成本9元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價是60

元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒.

(1)求每盒產(chǎn)品的成本(成本=原料費+其他成本)；

(2)當每盒產(chǎn)品的售價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？

5.璀球俗稱“毯子”，也稱為“燕子”，并有詩句“踢碎香風拋玉燕”的描述,

是一項傳統(tǒng)的民間體育活動.某校為進一步推進傳統(tǒng)體育項目進校園，計劃組織

健球比賽，并購買一批建球作為獎品，現(xiàn)有甲、乙兩種品牌的建球可供選擇.已

知乙品牌建球單價比甲品牌貴1元，且用130元購買甲品牌建球個數(shù)是用70元

購買乙品牌鍵球個數(shù)的兩倍.

(1)這兩種品牌鍵球的單價各是多少？

(2)若購買兩種品牌的建球共150個，且購買甲品牌建球的個數(shù)不能超過乙品

牌的一半，求購買的最低費用.

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6.（2024東莞模擬）綜合與實踐:

【問題情景】某生物小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度

白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克值毫升）與時間x（時）的關(guān)系可近

似的用如圖所示的圖象表示.國家規(guī)定,人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫

克本毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路.

【實踐探究】（1）求部分雙曲線的函數(shù)表達式；

【問題解決】（2）參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某人晚上20：00喝完100毫升低度

白酒，則此人第二天早上9：00能否駕車出行？請說明理由.

y（亳克/石老升》

第6題圖

類型三解直角三角形的實際應(yīng)用（6年2考：2024,2023.18）

1.（2024佛山一模）“醒獅”是嶺南文化名城佛山一塊閃亮的招牌，是國家非

物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，舞獅者用獅嘴將懸于高處、寓意著吉祥的“生菜”采摘下來

的過程稱為“采青”.舞獅者腳站立的位置與獅嘴可觸摸到“生菜”的位置之間

的距離稱為“采摘距離”.如圖，舞獅者站在梅花樁43上，43與“生菜”放置

點Q的水平距離為1.1米，NQ=53°.已知該舞獅者采摘距離為1.43米，

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請利用所學(xué)知識判斷該舞獅者能否“采青”成功，并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin

53°七0.8,cos53°^0.6,tan53°七1.3)

第1題圖

2.（2024甘肅省卷）甘肅省風能資源豐富，風力發(fā)電發(fā)展迅速.某學(xué)習(xí)小組成員

查閱資料得知，在風力發(fā)電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重

要的設(shè)計參數(shù).于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖，已

知一風電塔筒4〃垂直于地面，測角儀CQ,EF在4〃兩側(cè)，CQ=EF=1.6m,

點。與點E相距182m（點C,H,E在同一條直線上），在。處測得筒尖頂點

力的仰角為45°,在少處測得筒尖頂點力的仰角為53°.求風電塔筒4〃的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin53°七3，cos53°2|,tan53°）

第2題圖

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3.如圖①，明代科學(xué)家徐光啟所著的《農(nóng)政全書》中記載了中國古代的一種采

桑工具——桑梯，其簡單示意圖如圖②，已知48=4C=1.8m,40=1.6m,AC

與48的夾角NA4C為a.為保證安全，農(nóng)夫?qū)⑸Ｌ莘胖迷谒降孛嫔?，將夾角a

調(diào)整為42°,并用鐵鏈鎖定3,。兩點，此時農(nóng)夫站在離頂端。處0.6m的E

處時可以高效且安全地采桑.求此時農(nóng)夫所在的百處到地面的高度.（結(jié)果精確到

0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin21°^0.36,cos21°^0.93,tan21°七0.38）

第3題圖

4.定滑輪的工作原理是改變力的方向，使得施力方向轉(zhuǎn)變?yōu)槿菀壮隽Φ姆较?

某班“綜合與實踐”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)校園內(nèi)，工人師傅利用定滑輪運輸物體，于

是把“測量定滑輪距地面的高度”作為一項課題，利用課余時間完成了實踐報

告，并完成了如下活動報告.

課題測量定滑輪距地面的高度

測量工具測角儀、皮尺等

說明：小組成員站在4處，拉動繩子，使得

測量示意

物體移動，且點aB,B',C,C',。均在同

本二—________JL.

圖CC,

一豎直平面內(nèi).

第4題圖

繩子與水平面的夾角

測量數(shù)據(jù)

物體移動前物體移動后物體的高度物體移動后繩

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子收回的長度

37°53°0.5m4.5m

???

請根據(jù)活動報告，求定滑輪。距地面的高度.（結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù)：sin

37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75,sin53°^0.80,cos53°^0.60,

tan53°七1.33)

5.為了提升居民的居住環(huán)境和品質(zhì)，許多小區(qū)采用高層、小高層結(jié)合的模式建

造.如圖，某小區(qū)有前后兩棟樓分別是高層力3和小高層CD,兩棟樓的樓間距

為40米，當小明站在高層樓頂點4處時,測得對面小高層樓頂。點的俯角為45°,

測得對面小高層樓底。點的俯角為58°,已知小高層8每層高為3米.（參考

數(shù)據(jù)：sin58°七0.85,cos58°^0.53,tan58°七1.60,結(jié)果精確到1米）

\\c

ir------

第5題圖

（1）求該小區(qū)高層43的高度；

（2）求該小區(qū)小高層有多少層？

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6.(2024江西)圖①是世界第一“大碗”一一景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體

建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”.如圖②，

“大碗”的主視圖由“大碗”主體48CQ和矩形碗底AEFC組成，已知

AM,是太陽光線，AMLMN,DN1MN,HM,E,F,N在同一條直線上.

經(jīng)測量〃E=7W=20.0m,EF=4Q.0m,BE=2.4m,ZABE=152°.(結(jié)果精

確到0.1m)

(1)求“大碗”的口徑40的長；

(2)求“大碗”的高度AM的長.

(參考數(shù)據(jù)：sin62°"0.88,cos62°^0.47,tan62°"1.88)

大用光線

圖①圖2

第6題圖

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類型一方程（組）與不等式（組）的實際應(yīng)用

1.解：設(shè)木條長X尺，繩子長y尺，

x+4.5=y

根據(jù)題意可得方程組1八；，

%—1=0.5y

解得仁柒

答：木條長6.5尺.

2.解：能.

設(shè)購買象棋％套，則購買圍棋2%套，

根據(jù)題意，得40X2x+30x=l100,

解得％=10,

.?.2%=20（套），

答：能恰好用1100元經(jīng)費購買圍棋和象棋，使所購買圍棋的套數(shù)是所購買象棋

套數(shù)的2倍，則購買了象棋10套，圍棋20套.

3.解:設(shè)改進前車輛平均每小時行駛％公里，則改進后平均每小時行駛（1+50%）%

公里，

根據(jù)題意，得2—

x（1+50%）%60

解得％=40,

經(jīng)檢驗，x=40是原分式方程的根，且符合題意.

答：該路段改進前，通過該路段的車輛平均每小時行駛的路程為40公里.

4.解：（1）設(shè)該單位A4紙的用紙量月平均降低率為x,

根據(jù)題意，得1000（1—X）2=640,

解得％I=0.2=20%,%2=1.8（不符合題意，舍去）.

答：該單位A4紙的用紙量月平均降低率為20%；

（2）根據(jù)題意，得640X（1—20%）=512（張）.

答：估算5月份該單位A4紙的用紙量為512張.

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5.解：（1）設(shè)種植1畝甲作物需要％名學(xué)生，種植1畝乙作物需要y名學(xué)生,

彳曰13%+2y=27

根據(jù)題意,付（2%+2y=22'

答：種植1畝甲作物需要5名學(xué)生，種植1畝乙作物需要6名學(xué)生;

（2）設(shè)種植甲作物加畝，則種植乙作物（10—加）畝,

根據(jù)題意，得5相+6（10—⑼W55,

解得加25.

答：至少種植甲作物5畝.

6.解：（1）設(shè)小明的速度為％米鄰，他的爸爸的速度為y米鄰,

（36%+36y=400

由題意，得皿八/ci

[180y—180%=400

"竺

解得《為，

答：小明的速度為藍米/#，他的爸爸的速度為整米制；

（2）能.

?.?小明到400米終點需要的時間為400+5=80（秒），他的爸爸到400米終點需要

的時間為毀+竽=替（秒）,

□4D

..240.250

-8on0=—<—,

33

???小明能在400米終點前追上爸爸,

設(shè)小明追上爸爸需要的時間為m秒，則追上時距離終點還有（400—5冽）米,

由題意，得5加=200+4（加一叫，

6

解得加=200

3

A400-5m=400-5X罟=學(xué)米）,

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答：小明能在400米終點前追上爸爸，追上時距離終點還有等米.

類型二函數(shù)的實際應(yīng)用

1.解：。，由題意設(shè)^二［左工3。)，

把x=6,y=2代入，得左=6X2=12,

?'.y關(guān)于x的函數(shù)表達式為》=?；

(2)把y=3代入y=工中，得％=4,

小孔到蠟燭的距離為4cm.

2.解：(1)設(shè)y與％之間的函數(shù)表達式(左W0),

將(400,22.62),(500,26.62)分別代入,

400/c+b=22.62

得

500/c+b=26.62

解得｛k=0.04

b=6.62J

'?y與x之間的函數(shù)表達式為y=0.04x+6.62；

(2)將x=530代入y=0.04x+6.62中，

得y=0.04X530+6.62=27.82,

當年均降水量為530mm時，這種植物的比葉面積是27.82m2/kg.

3.解：⑴設(shè)線段力與所代表的表達式為歹=丘+20%/力0),把(1,100%)代入得,

100%=左+20%,

解得上=80%,

線段48所代表的函數(shù)表達式為y=80%x+20%(04Wl)；

設(shè)線段4。所代表的表達式為＞=心+20%(人力0),把(6,100%)代入

得，100%=6左'+20%,

解得〃二合，

線段4。所代表的表達式為y=|x+20%(0W%W6)；

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(2)設(shè)快速充電m小時，則普通充電(2.5一相)小時,

根據(jù)題意得，80%冽+意2.5—冽)=100%—10%,

解得m=0.85,

：.2.5—加=2.5-0.85=1.65,

答:快速充電0.85小時，普通充電1.65小時可完成充電.

4.解：(1)設(shè)B原料單價為加元，則4原料單價為1.5加元,

得900900

根據(jù)題意,100,

m1.5m

解得m=3,

經(jīng)檢驗加=3是方程的解，且符合題意,

??1.5///5,

每盒產(chǎn)品的成本是45X2+3X4+9=30(元),

答：每盒產(chǎn)品的成本為30兀；

(2)設(shè)每盒產(chǎn)品的售價是％元(x是整數(shù))，每天的利潤是w元，

根據(jù)題意，得w=(x-30)[500-10(x—60)]=-10x2+l400x—33000=-10(x-

70)2+16000,

V-10<0,

.??當％=70時,每天的利潤最大，最大利潤為16000元，

答：當每盒產(chǎn)品的售價定為70元時，每天的利潤最大，最大利潤是16000元.

5.解：(1)設(shè)甲品牌建球的單價是x元，則乙品牌建球的單價是(x+1)元，

由題意，得空=?X2,解得X=13,

經(jīng)檢驗，x=13是原分式方程的解，且符合實際，

1=14(元).

答：甲品牌建球的單價是13元，乙品牌鍵球的單價是14元；

(2)設(shè)購買費用為w元，購買甲品牌璀球。個，則購買乙品牌健球(150—0個，

由題意，得w=13a+14(150—0=13。+2100-14a=-?+2100,

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???購買甲品牌建球的個數(shù)不能超過乙品牌的一半，

.,.qW竺F，解得aW50.

V-KO,

隨。的增大而減小，

...當a=50時，w有最小值，最小值為一50+2100=2050（元）.

答：購買的最低費用為2050元.

6.解：（1）設(shè)。4的函數(shù)表達式為》=丘（左W0）,根據(jù)題圖得

1

1=20,

：.k=60,

：.OA的函數(shù)表達式為y=60x（0WxW|）,

.,.當％=|時，尸90,

設(shè)部分雙曲線BC的函數(shù)表達式為尸式冽力0）,

由圖象可知，當％=3時，y=90,

."=270,

部分雙曲線BC的函數(shù)表達式為》=彳％23）；

⑵不能駕車出行，理由如下：

在中，令》＜20,

可得也＜20,

X

解得力＞13.5,

?.?晚上20：00到第二天早上9：00的時間間隔為9+4=13時，13時＜13.5時,

...某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上9：00時體內(nèi)的

酒精含量仍高于20（毫克值毫升），不能駕車出行.

類型三解直角三角形的實際應(yīng)用

1.解：該舞獅者能“采青”成功，

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理由：如解圖，過點4作4EJ_CZ),垂足為點

由題意,得4E=3C=1.1(米)，

在中，ZD=53°,

375(米)，

?:1.375米<1.43米，

???該舞獅者能“采青”成功.

<…+

J------L

第1題解圖

2.解：如解圖，連接QE交4〃于點G.

由題意可得，DF//CE,AHLCE,：.AH±DF,GH=DC=FE=1.6m,

：.ZAGD=ZAGF=90°.

在Rt△力GD中，?/ZADG=45°,

：.DG=AG.

在中，VZAFG=53°,

Z.GF=4G=N^空TG.

tan乙4FGtan530-4

3

■:DG+GF=DF=CE=\82,

a

：

.AG+-4AG=182.

：.AG=104.：.AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m),

???風電塔筒4〃的高度約為105.6(m).

1

%:組:一GkJJl'Af

c〃r

第2題解圖

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3.解：如解圖，過點4作4FU5C于點R過點E作于點G,

由題意可知力DE=1.6-0.6=1m,AB=AC=1.8(m),

：.CE^AE+AC=\+\.8=2.8(m),

"：AB=AC,AFLBC,

1

Z.ZBAF=ZCAF^-ZBAC=21°,

2

'：AF±BC,EGLBC,

：.AF//EG,

：.ZCEG=ZCAF=21°,

在Rt^EGC中，EG=CEcos21°=2.8X0.93=2.6(m),

答：此時農(nóng)夫所在的百處到地面的高度約為2.6m.

nfTFC

第3題解圖

4.解：如解圖，過點。作OQJ_C。交CC的延長線于點Q