熱點(diǎn)6-1空間幾何體的交線與截面問題

命題趨勢(shì)

空間幾何體的交線與截面問題既是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，往往在高考的選填壓軸題中出現(xiàn)，難度較

大。此類題目綜合考察考生的空間想象能力和邏輯推理能力，處理這類問題的基本思路是借助空間點(diǎn)線面

的位置關(guān)系和相應(yīng)的定理，將空間問題平面化。

熱考題型解讀

題型1作出空間幾何體的截面題型5截面分幾何體的體積問題

題型2判斷截面多邊形的形狀題型6截面最值的相關(guān)問題

題型3求解截面多邊形的周長題型7球的截面問題

題型4求解截面多邊形的面積題型8圓錐的截面問題

【題型1作出空間幾何體的截面】

滿分技巧

1、作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：（1）在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；（2）凡是相交的直線都要畫出它們的

交點(diǎn)；（3）凡是相交的平面都要畫出它們的交線；

2、作交線的方法有如下兩種：（1）利用基本事實(shí)3作直線；（2）利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去

尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。

【例1】（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，正方體qGA的棱長為8,M,N，尸分別是4月，AD,

明的中點(diǎn).

（1）畫出過點(diǎn)M,N,P的平面與平面ABCD的交線；

(2)設(shè)平面PMNIAB=Q,求PQ的長.

【變式1-U（2024?甘肅?高三武威第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正方體A3CD-A8GR的棱長為2,E,尸

分別為棱AB,CG的中點(diǎn).

（1）請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過點(diǎn)及足〃的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）

（2）求點(diǎn)發(fā)到平面￡五口的距離.

【變式1-2］（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，直四棱柱A3CD-A4G。的底面為正方形，M=2A8=2,M

為AA的中點(diǎn).

（1）請(qǐng)?jiān)谥彼睦庵鵄3。-A4CQ中，畫出經(jīng)過心三點(diǎn)的截面。并寫出作法（無需證明）.

（2）求截面a的面積.

【變式1-3】（2023?貴州銅仁?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在正三棱柱ABC-中，44,=48,三棱柱

外接球半徑為:，且點(diǎn)E,尸分別為棱8月，AG的中點(diǎn).

（1）過點(diǎn)A,2尸作三棱柱截面，求截面圖形的周長；

（2）求平面的'與平面BCG瓦的所成角的余弦值.

【題型2判斷截面多邊形的形狀】

滿分技巧

判斷截面多邊形形狀時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：

1、截面與幾何體表面相交，交線不會(huì)超過幾何體表面?zhèn)€數(shù)。

2、不會(huì)與同一個(gè)表面有兩條交線。

3、與一對(duì)平行表面相交，交線平行（不一定等長）

4、截面截內(nèi)切球或者外接球時(shí)，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系

【例2】（2024?廣東深圳?高三統(tǒng)考期末）（多選）在正方體A3。-A4GA中，用垂直于AQ的平面截此正

方體，則所得截面可能是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式2-1】（2023?江西宜春.高三宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在長方體ABC。-A3c。中，4?=4、BC=3,

M、N分別為棱A3、B片的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在對(duì)角線4G上，且A2=3,過點(diǎn)V、N、尸作一個(gè)截面，該截

面的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式2-2】（2024.陜西安康?安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體ABC。-A8GA中，瓦尸分別為

棱AB,AD的中點(diǎn)，過瓦￡G三點(diǎn)作該正方體的截面，則（）

A.該截面是四邊形

B.AC，平面GE尸

C.平面叫2//平面6所

D.該截面與棱8月的交點(diǎn)是棱8月的一個(gè)三等分點(diǎn)

【變式2-3］（2024.浙江寧波.高三統(tǒng)考期末）（多選）已知直三棱柱ABC-A4G,ZBAC=90°,

AB=AC==1（AE=mAB（m>0）,AF=nAC（n>0）,AG=tAA^（t>0），平面EPG與直三棱木主

ABC-42G相交形成的截面為O,則（）

A.存在正實(shí)數(shù)"，，”，r,使得截面。為等邊三角形

B.存在正實(shí)數(shù)機(jī)，"，f,使得截面O為平行四邊形

C.當(dāng),+1=1,〃e（0,l）時(shí)，截面。為五邊形

mt

D.當(dāng)力>1,Q<n<l,0v，vl時(shí)，截面Q為梯形

【題型3求解截面多邊形的周長】

滿分技巧

求解截面多邊形的周長有兩個(gè)思路：（1）利用多面體展開圖進(jìn)行求解；（2）在各個(gè)表面確定交線，分別利

用解三角形進(jìn)行求解。

［例3］（2024四川成都.高三樹德中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體A3CD-A4GA的棱長為2,P為8C的

中點(diǎn)，過點(diǎn)C作與直線2尸垂直的平面a，則平面a截正方體ABC。-的截面的周長為（）

A.372B.6及c.2V2+V5D.V2+2A/5

【變式3-1】（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A4G。中，E為棱BC的中點(diǎn)，用

過點(diǎn)A,E,G的平面截正方體，則截面周長為（）

C.2A/2+2A/5D.3立+2百

【變式3-2]（2023.全國?高三對(duì)口高考）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=l,8c=2,AC=45,

M=3,V為線段附上的一動(dòng)點(diǎn)，則過AMG三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為.

【變式3-3】（2023.河南校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱A3CD-ABG。中，招=248=4,點(diǎn)瓦尸,G分別

是的，4月，8c的中點(diǎn)，則過點(diǎn)￡尸,G的平面截正四棱柱ABC。-所得截面多邊形的周長為（）

【變式3-4]（2024?河北廊坊?高三文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-4旦G。中，

上底面邊長為3,下底面邊長為6,體積為竽，點(diǎn)E在池上且滿足小=2隹,過點(diǎn)E的平面,與平面

2AC平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（）

C.36+4夜D.4g+4夜

【題型4求解截面多邊形的面積】

滿分技巧

求解截面多邊形的面積問題的步驟：（1）通過解三角形求得截面多邊形各邊的長度；（2）判斷多邊形的形

狀是否規(guī)則，若為規(guī)則圖形可直接使用面積公式求解；否則可通過切割法將多邊形分為多個(gè)三角形求解。

【例4】（2023?四川南充.統(tǒng)考一模）如圖，正方體A8CD-4月￡。的棱長為2,E,尸分別為BC,CG的中

點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為（）

39

A.-B.-C.9D.18

22

【變式4-1]（2023四11成都高三石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D,在三棱柱ABC-ABCi中,四邊形AAJBJB是矩

形，。是棱的中點(diǎn)，CG=AC=4,B.DLCD,AB=3,ZBAC=90°,過點(diǎn)。作平面a//平面世。，

則平面0截三棱柱A3C-4SG所得截面面積為（）

人?理C.9D.2a

【變式4-2]（2023.安徽.高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱錐ABC底面邊長為1,側(cè)棱長為2,

過棱&4的中點(diǎn)。作與該棱垂直的截面分別交S3,SC于點(diǎn)E,尸，則截面。砂的面積為（）

A如R2A/TT「3A/1T口如

A.---D.-------C.----------D.---

4949497

【變式4-3】（2023?山西大同高三大同一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體A3。-的棱長為3,點(diǎn)及尸

D.ED.F1八

分別在棱2A，2G上，且滿足萬，=不匕=于°為底面A3CD的中心，過民尸。作截面，則所得截面的面

積為

【變式4-4】（2023.江西.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知棱長為4的正四面體A-BCD,用所有與點(diǎn)A,B,C,

D距離均相等的平面截該四面體，則所有截面的面積和為（）

A.12+4>/3B.16+4A/3C.8#>D.4君

【題型5截面分割幾何體的體積問題】

滿分技巧—————————

截面分割后的幾何體易出現(xiàn)不規(guī)則的幾何體，對(duì)此往往采用"切割法"或"補(bǔ)形法”進(jìn)行體積的求解。

[例5]（2023?河北衡水喉亍水中學(xué)?？家荒＃┮阎庵鵄BC-A旦G,過底邊8C的平面與上底面交于

線段跖V,若截面BCMN將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則方k=（）

nC

A.B.1一走C.D.3--

2222

【變式5-1】（2024.重慶.高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCD-^QD,,棱8C,CG的中

點(diǎn)分別為瓦尸,平面AEF截正方體得兩個(gè)幾何體，體積分別記為九匕（乂<匕），則5=（）

V2

【變式5-2】（2024.浙江湖州.高三統(tǒng)考期末）在正四棱推P-ABCD中，底面A3CD的邊長為2"AC為正三

角形，點(diǎn)M，N分別在PB,PO上，且PM=2MB,PN=2ND,若過點(diǎn)AM,N的截面交PC于點(diǎn)。,則四棱

錐尸-AMQN的體積是（）

A2B,還C2屈D4巫

3399

【變式5-3】（2023?江蘇揚(yáng)州?高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱ABC-4用G中，AB=2,E是棱

A3上一點(diǎn)，若平面4GE把三棱柱ABC-A耳G分成體積比為3:1的兩部分，則BE=（）

A.1B.J7-1C.V5-1D.76-1

【變式5-4】（2023.全國?高三專題練習(xí)）在如圖所示的幾何體中，DE//AC,ACL平面BCD,AC=2DE=4,

BC=2,DC=1,ZBCD=60°.

（1）證明：平面ACDE;

（2）過點(diǎn)。作一平行于平面做的截面，畫出該截面（不用說明理由）,并求夾在該截面與平面梃之間

的幾何體的體積.

【題型6截面最值的相關(guān)問題】

滿分技巧

截面最值問題的計(jì)算，主要由以下三種方法：

I、極限法：通過假設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至兩端，計(jì)算最值（需注意判斷是否單調(diào)）；

2、坐標(biāo)法：通過建系設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行求解；

3、化歸法：通過圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中的最值計(jì)算。

[例6]（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體ABCQ-4耳￡。的棱長為1,與直線4。垂直的平面。截該

正方體所得的截面多邊形為〃，則知的面積的最大值為（）

A..|V3B."C.BD.6

842

【變式6-1】(2024?江西贛州?南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知直三棱柱ABC-A4G中，441=4,AB，AC,

過點(diǎn)A的平面a分別交棱AB,AC于點(diǎn)。，E,若直線AA】與平面a所成角為60°,則截面三角形4必面積

的最小值為.

【變式6-2】(2024?山東煙臺(tái).高三統(tǒng)考期末)如圖，在直三棱柱ABC-A耳G中，AB±BC,AB=BC^5,

M=2,則該三棱柱外接球的表面積為；若點(diǎn)尸為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。為線段AG上一動(dòng)點(diǎn),

則平面BPQ截三棱柱ABC-A4G所得截面面積的最大值為.

7T

【變式6-3X2024.廣西.模擬預(yù)測(cè)在三棱錐中平面E4C,01=1,A3=AC=^,^C=-,

點(diǎn)b為棱AV上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作三棱錐V-ABC的截面，使截面平行于直線和AC,當(dāng)該截面面積取得最

大值時(shí)，叱=()

AMB后c-D岳

3423

【變式6-4](2023廣西?高三統(tǒng)考階段練習(xí))在棱長為2的正方體ABC。-AACQ內(nèi)，放入一個(gè)以為鈾

線的圓柱，且圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為三角形，則該圓柱體積的最大值為.

【題型7球的截面問題】

滿分技巧

求解球的截面問題的要點(diǎn)：(1)確定球心與半徑；(2)尋找作出并計(jì)算截面與球心的距離；(3)充分利用

"球心做弦的垂線，垂足是弦中點(diǎn)"這個(gè)性質(zhì)；(4)強(qiáng)調(diào)弦的中點(diǎn)，不一定是幾何體線段的中點(diǎn)。

【例7】（2024.江西贛州.南康中學(xué)校聯(lián)考一模）球的兩個(gè)平行截面面積分別為5兀和8兀,球心到這兩個(gè)截面

的距離之差等于1,則球的直徑為（）

A.3B.4C.5D,6

【變式7-1]（2024.陜西榆林.統(tǒng)考一模）已知H是球。的直徑AB上一點(diǎn)=人平面”,H

為垂足，。截球。所得截面的面積為兀,"為'上的一點(diǎn)‘且M八手’過點(diǎn)〃作球。的截面’則所得

的截面面積最小的圓的半徑為（）

Vi4R而「拒VTT

AA.--------D.-------C.----nD.-------

2442

【變式7-2】（2024?河北邢臺(tái)?高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉月需.如

圖，在鱉月需尸-ABC中，以，平面ABC,ABJ.BC,PA=AB=2BC=2,以C為球心，6為半徑的球面

與側(cè)面的交線長為（）

P

AA/3TTBs/^2,7tCD

'~T~'~1~'F'

【變式7-3】（2023?湖北荊州?高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為20兀的

球。上，點(diǎn)A在平面BCD的射影是線段BC的中點(diǎn),AB=BC=2』，則平面BCD被球。截得的截面面積

為（）

A.2&B.3兀C.4兀D,3#）兀

【變式7-4]（2024.山東濱州高三統(tǒng)考期末）已知直四棱柱-AAGR的所有棱長均為4,ZABC=60°,

以AA為球心，2百為半徑的球面與側(cè)面CDRG的交線長為.

【題型8圓錐的截面問題】

［例8］（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）某圓錐的母線長為4,軸截面是頂角為120。的等腰三角形，過該圓錐的兩條

母線作圓錐的截面，當(dāng)截面面積最大時(shí)，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）

A.4B,2C.6D.72

【變式8-1］（2024.浙江寧波.高三統(tǒng)考期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球。，球。的體積為36兀,設(shè)圓錐頂

TT

點(diǎn)為P,平面a為經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為》,設(shè)平面。截球O和圓錐所得的截面面積

O

S,

分別為跖，邑，則甘=.

9

【變式8-2］（2024?廣東中山中山紀(jì)念中學(xué)?？级＃┮阎?。的體積為萬兀，高為1的圓錐內(nèi)接于球0,

77

經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面a截球。和圓錐所得的截面面積分別為H，$2,若耳=%兀,貝!］邑=

【變式8-3］（2023?全國?高三專題練習(xí)）（多選）圖，在圓錐尸。中，已知高PO=2.底面圓的半徑為2,M為

母線網(wǎng)的中點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列三個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線，則下面四

個(gè)命題中正確的有（）

A.圓錐的體積為4缶

C.橢圓的長軸長為MD.雙曲線兩漸近線的夾角|

【變式8-4】（2023?河北?河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，用一垂直于某條母線的平面截一頂角正弦值為

4

二的圓錐，截口曲線是橢圓，頂點(diǎn)A到平面的距離為3.

A

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知P在橢圓上運(yùn)動(dòng)且不與長軸兩端點(diǎn)重合，橢圓的兩焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,證明：二面角片-AP-尼的

大小小于60。.

限時(shí)檢測(cè)

（建議用時(shí)：60分鐘）

1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知OA為球O的半徑，過的中點(diǎn)M且垂直O(jiān)A的平面截球得到圓M,

若圓M的面積為9TI,則球O的表面積為（）

A.16兀B.2471C.48兀D.52兀

2.（2024?全國模擬預(yù)測(cè)）在正方體ABCO-AAGR中，E,尸分別為棱4月，的中點(diǎn)，過直線EF的

平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s,最大值為S，則*=（）

A.逅B,-C.叵D.-

2255

3.（2023?四川宜賓高二四川省興文第二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱柱ABC-44G中，過A耳的

截面與AC交于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)E（D,E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為2:1的兩

理。.亨

A1B-IC.

,3

4.（2024.四川.校聯(lián)考一模）設(shè)正方體ABC。-A4GA的棱長為1,與直線4。垂直的平面a截該正方體所

得的截面多邊形為M.則下列結(jié)論正確的是（）.

A.M必為三角形B.M可以是四邊形

C.M的周長沒有最大值D.M的面積存在最大值

5.（2023河南信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在三棱錐A-BCD中，AB,兩兩垂直，且

AB=AC=AD=3,以A為球心,戈為半徑作球，則球面與底面5CD的交線長度的和為（）

C百兀D.兀

,F.4

6（2023?河北滄州?高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體A8CQ-A4GA的棱長為1,E為G2

的中點(diǎn)，尸為棱CG上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面3跖截該正方體所得的截面為五邊形，則線段CP的取值范

圍是（）

j_2D?K

A.B.1C.

9i253

7.（2024.河南南陽.高三統(tǒng)考期末）（多選）用一個(gè)平面去截正方體，關(guān)于截面的說法，正確的有（）

A.截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形

B