北京市順義區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷及答案一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，則$f(x)$的極值點(diǎn)為（）A.$x=1$，極大值點(diǎn)B.$x=1$，極小值點(diǎn)C.$x=2$，極大值點(diǎn)D.$x=2$，極小值點(diǎn)2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_5=35$，$S_8=80$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為（）A.2B.3C.4D.53.已知復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復(fù)數(shù)$z$的取值范圍是（）A.$x\geq0$B.$x\leq0$C.$y\geq0$D.$y\leq0$4.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，則$\sinC$的值為（）A.$\frac{7}{25}$B.$\frac{24}{25}$C.$\frac{27}{25}$D.$\frac{32}{25}$5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則$f'(x)$的值為（）A.$-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$B.$\frac{2x}{(x^2+1)^2}$C.$-\frac{2}{x(x^2+1)^2}$D.$\frac{2}{x(x^2+1)^2}$6.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2^n-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為（）A.$2^n-1$B.$2^n+1$C.$2^n-2$D.$2^n+2$7.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f'(x)$的值為（）A.$\frac{1}{x}$B.$-\frac{1}{x}$C.$\frac{1}{x^2}$D.$-\frac{1}{x^2}$8.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_5=15$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為（）A.3B.4C.5D.69.已知復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復(fù)數(shù)$z$的取值范圍是（）A.$x\geq0$B.$x\leq0$C.$y\geq0$D.$y\leq0$10.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，則$\sinC$的值為（）A.$\frac{7}{25}$B.$\frac{24}{25}$C.$\frac{27}{25}$D.$\frac{32}{25}$二、填空題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。把答案填在題中的橫線上。11.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則$a+b+c=$12.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_5=35$，$S_8=80$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為13.復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$的取值范圍是14.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，則$\sinC$的值為15.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則$f'(x)$的值為16.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2^n-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為17.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f'(x)$的值為18.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_5=15$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為19.復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$的取值范圍是20.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，則$\sinC$的值為四、解答題要求：本大題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。21.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和極值。22.設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_4=32$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。23.在三角形ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\sinC$的值。24.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間[1,3]上的定積分$\int_1^3f(x)\,dx$。五、證明題要求：本大題共2小題，共20分。25.證明：對于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$x^2+y^2\geq2xy$成立。26.證明：若數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1+a_5=10$，$a_2+a_4=12$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為2。六、應(yīng)用題要求：本大題共2小題，共20分。27.一塊長方形土地的長為x米，寬為y米，圍成這個(gè)長方形土地的柵欄長為L米。若要使柵欄的長度最短，請給出長方形土地的長和寬的比例關(guān)系。28.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，若每天生產(chǎn)a個(gè)，則每天的總成本為$1000+2a$元；若每天生產(chǎn)b個(gè)，則每天的總成本為$1200+4b$元。若要使總成本最低，請給出每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量a和b的關(guān)系。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。將$x=1$和$x=\frac{2}{3}$分別代入$f''(x)$得$f''(1)=-4<0$，$f''(\frac{2}{3})=\frac{4}{3}>0$，所以$x=1$是極大值點(diǎn)，$x=\frac{2}{3}$是極小值點(diǎn)。2.C解析：等差數(shù)列前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_5=35$和$S_8=80$解得$a_1=1$，$d=4$。3.B解析：復(fù)數(shù)$z=a+bi$，由$|z-1|=|z+1|$得$(a-1)^2+b^2=(a+1)^2+b^2$，解得$a=-1$，即$z$在實(shí)軸左側(cè)。4.C解析：由$\sinA=\frac{3}{5}$得$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{4}{5}$，由$\cosB=\frac{4}{5}$得$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{3}{5}$，由$\sinA\cosB+\cosA\sinB=\sin(A+B)$得$\sinC=\sin(180^\circ-(A+B))=\sin(A+B)=\frac{24}{25}$。5.A解析：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$。6.A解析：數(shù)列前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{a_1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。7.A解析：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}$。8.C解析：等差數(shù)列前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$a_1=3$和$a_5=15$解得$d=5$。9.B解析：同題3。10.B解析：同題4。二、填空題11.0解析：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，所以$f'(1)=0$，即$2a+b+c=0$。12.4解析：同題2。13.$x\leq0$解析：同題3。14.$\frac{27}{25}$解析：同題4。15.$-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$解析：同題5。16.$2^n-1$解析：同題6。17.$\frac{1}{x}$解析：同題7。18.5解析：同題8。19.$x\leq0$解析：同題3。20.$\frac{27}{25}$解析：同題4。四、解答題21.解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。將$x=1$和$x=\frac{2}{3}$分別代入$f''(x)$得$f''(1)=-4<0$，$f''(\frac{2}{3})=\frac{4}{3}>0$，所以$x=1$是極大值點(diǎn)，$x=\frac{2}{3}$是極小值點(diǎn)。22.解析：等比數(shù)列前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，代入$a_1=2$和$a_4=32$解得$r=2$，所以通項(xiàng)公式為$a_n=2^n$。23.解析：由$\sinA=\frac{3}{5}$得$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{4}{5}$，由$\cosB=\frac{4}{5}$得$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{3}{5}$，由$\sinA\cosB+\cosA\sinB=\sin(A+B)$得$\sinC=\sin(180^\circ-(A+B))=\sin(A+B)=\frac{24}{25}$。24.解析：根據(jù)定積分定義和積分基本公式$\int\lnx\,dx=x\lnx-x+C$，得$\int_1^3\lnx\,dx=3\ln3-3$。五、證明題25.解析：$x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\geq0$，所以$x^2+y^2\geq2xy$。26.解析：由$a_1+a_5=10$和$a_2+a_4=12$得$2a