等承間第釐

一、排列問題

在實際生活中常常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計算有多少種排法，

就是排列問題.在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后依次有關(guān).

一般地，從〃個不同的元素中取出小(/〃4〃)個元素，依據(jù)肯定的依次排成一列，叫做從〃個不同元

素中取出帆個元素的一個排列.

依據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列依次也相同.假

如兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；假如兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排

列依次不同，它們也是不同的排列.

排列的基本問題是計算排列的總個數(shù).

從〃個不同的元素中取出加(〃底加個元素的全部排列的個數(shù)，叫做從〃個不同的元素的排列中取出

加個元素的排列數(shù)，我們把它記做K—

依據(jù)排列的定義，做一個，〃元素的排列由機個步驟完成：

步驟1：從〃個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有〃種方法；

步驟2：從剩下的(〃-1)個元素中任取一個元素排在其次位，有(〃-1)種方法；

步驟，〃：從剩下的［〃-(“L1)］個元素中任取一個元素排在第m個位置，有〃-(〃?-D=〃-機+1(種)

方法；

由乘法原理,從〃個不同元素中取出7個元素的排列數(shù)是〃?元-的(〃-2)?-(/7-/7Z+1)?即

耳'=〃(〃-1)(〃-2).(〃-加+1),這里，m<n,且等號右邊從〃起先，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,

共有m個因數(shù)相乘.

二、排列數(shù)

一般地，對于〃?=〃的狀況，排列數(shù)公式變?yōu)槎?3-2.1.

表示從〃個不同元素中取〃個元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù).這種〃個排列全部取出的排列，叫

做〃個不同元素的全排列.式子右邊是從〃起先，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,始終乘到1的乘積，

記為〃！,讀做〃的階乘,則己：杯可以寫為：《"=〃!’其中川=小（〃-1）?（〃-2）---3-2-1.

在排列問題中，有時候會要求某些物體或元素必需相鄰；求某些物體必需相鄰的方法數(shù)量，可以將

這些物體當作一個整體捆綁在一起進行計算.

三、組合問題

口常生活中有許多“分組”問題.如在體育競賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學(xué)中選出幾人參

與某項活動等等.這種“分組”問題，就是我們將要探討的組合問題，這里，我們將著重探討有多少種分

組方法的問題.

一般地，從〃個不同元素中取出用個（加工〃）元素組成一組不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從〃個不

同元素中取出小個元素的一個組合.

從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的依次有關(guān)，而組合與依次無關(guān).假如兩個組合中的元素

完全相同，那么不管元素的依次如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不

同的組合.

從〃個不同元素中取出〃?個元素（，〃<〃）的全部組合的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出〃，個不同元

素的組合數(shù).記作C：.

一般地，求從〃個不同元素中取出的〃?個元素的排列數(shù)以可分成以下兩步：

第一步：從〃個不同元素中取出，〃個元素組成一組，共有種方法；

其次步：將每一個組合中的機個元素進行全排列，共有成種排法.

依據(jù)乘法原理,得到琛=C；；x琮.

因此，組合數(shù)二冬=小.

P：：：”（機—-3x2x1

這個公式就是組合數(shù)公式.

四、組合數(shù)的重要性質(zhì)

一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：禺'=。廠"（〃底〃）

這個公式的直觀意義是：表示從〃個元素中取出6個元素組成一組的全部分組方法.C；「“表示從

〃個元素中取出（〃-/〃）個元素組成一組的全部分組方法.明顯，從〃個元素中選出/〃個元素的分組方法

恰是從〃個元素中選m個元素剩下的（〃-〃?）個元素的分組方法.

例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即C；=心.

規(guī)定C；：=l,cH=i.

五、插板法一般用來解決求分解肯定數(shù)量的無差別物體的方法的總數(shù)，運用插板法一般有三個要求:

①所要分解的物體一般是相同的：②所要分解的物體必需全部分完：③參與分物體的組至少都分到1

個物體，不能有沒分到物體的組出現(xiàn).

在有些題目中，已知條件與上面的三個要求并不肯定完全相符，對此應(yīng)當對已知條件進行適當?shù)淖?/p>

形，使得它與一般的要求相符，再適用插板法.

六、運用插板法一般有如下三種類型：

⑴機個人分〃個東西，要求每個人至少有一個.這個時候我們只須要把全部的東西排成一排，在其中的

（〃-1）個空隙中放上（〃L1）個插板，所以分法的數(shù)目為

⑵〃，個人分〃個東西，要求每個人至少有。個.這個時候，我們先發(fā)給每個人（CL1）個，還剩下

[〃-〃2（a-1）]個東西，這個時候，我們把剩下的東西依據(jù)類型⑴來處理就可以了.所以分法的數(shù)目為

（。-1）-1?

⑶，〃個人分〃個東西，允許有人沒有分到.這個時候，我們不妨先借來〃，個東西，每個人多發(fā)1個，這

樣就和類型⑴一樣了，不過這時候物品總數(shù)變成了（〃+〃?）個，因此分法的數(shù)目為CM3.

一.可重復(fù)的排列求系法：重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)

的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順當解題，在這類問題運用住店處理的

策略中，關(guān)鍵是在正確推斷哪個底數(shù)，哪個是指數(shù)

【例1】（1）有4名學(xué)生報名參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？

（2）有4名學(xué)生參與爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？

（3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？

433

【解析】：（1）3（2）4（3）4

【例2]把6名實習(xí)生安排到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？

【解析】：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生安排到車間有7種不同方案，

其次步：將其次名實習(xí)生安排到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有種不同方案.

【例3】8名同學(xué)爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有（）A、8*B、38jA.D、C

【解析】：冠軍不能重復(fù)，但同一個學(xué)生可獲得多項冠軍，把8名學(xué)生看作8家“店”，3項冠

軍看作3個“客”，他們都可能住進隨意一家“店”，每個“客”有8種可能，因此共有8'種

不同的結(jié)果。所以選A

二.相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與徘列.

【例1】五人并排站成一.排，假如AB必需相鄰且3在4的右邊，那么不同的排法種數(shù)有

【解析】：把視為一人，且8固定在A的右邊，則本題相當于4人的全排列，父=24種

【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生中不站兩端，3

位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）

A.360B.188C.216D.96

【解析】：間接法6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有，C；A；A：A；=432種

2222

其中男生中站兩端的有A'ZCSAQAJAZ=1I叫44，符合條件的排法故共有288

三.相離問題插空法：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的

相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.

【例1】七人并排站成一行，恨如甲乙兩個必需不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是

【解析】：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為反種，再用甲乙去插6個空位有耳種，不同的排法種數(shù)是

父&=3600艮出

4%種

【例2】書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的依次，有種不同的插法（詳

細數(shù)字作答）

［解析】：A；A；A；=504

【例3】高三（-）班學(xué)要支配畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的

演出依次，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是

【解析】：不同排法的種數(shù)為其人=3600

【例4】某工程隊有6項工程須要單獨完成，其中工程乙必需在工程甲完成后才能進行，工

程丙必需在工程乙完成后才能進行，有工程丁必需在工程丙完成后馬上進行。那么支配這6

項工程的不同排法種數(shù)是

【解析】：依題意，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中，可得有&=20

種不同排法。

【例5】某市春節(jié)晚會原定10個節(jié)目，導(dǎo)演最終確定添加3個與“抗冰救災(zāi)”有關(guān)的節(jié)目，

但是賑災(zāi)節(jié)目不排在第一個也不排在最終一個，并且已經(jīng)排好的10個節(jié)目的相對依次不變，

則該晚會的節(jié)目單的編排總數(shù)為種.

［解析】：A〔A；OA；］=990

【例6】.公路上有編號為1,2,3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的

二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？

【解析】：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈,；種方

法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.

說明：一些不易理解的排列組合題，假如能轉(zhuǎn)化為熟識的模型如填空模型，排隊模型，裝盒

模型可使問題簡單解決.

【例7】3個人坐在一排8個椅子上，若每個人左右兩邊都有空位，則坐法的種數(shù)有多少種？

【解析】：解法1、先將3個人（各帶一把椅子）進行全排列有AL0*0*。*。，在四個空

中分別放一把椅子，還剩一把椅子再去插空有A；種，所以每個人左右兩邊都空位的排法有

A1A3

A4A3=24種.

解法2：先拿出5個椅子排成一排，在5個椅子中間出現(xiàn)4個空，*0*0*0*。*再讓3個人每人帶一把椅

子去插空，于是有A4=24種.

【例8］停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車須要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方

法有多少種？

【解析】：先排好8輛車有A'種方法，要求空車位置連在一起，則在每2輛之間及其兩端的9

118

個空檔中任選一個，將空車位置插入有C9種方法，所以共有C9A8種方法.

注：題中*表示元素，。表示空.

四.元素分析法（位置分析法）：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元

素；再排其它的元素。

【例1】2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四

人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，

其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）高☆考方資早源《網(wǎng)☆

A.36種B.12種C.18種D.48種

【解析】；方法一；從后兩項工作動身，實行位置分析法。A；A；=36

方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法GCA：=24；若小張、小趙都入選，則有

選法A；A：=12,共有選法36種，選A.

【例2】1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？

【解析】：老師在中間三個位置上選一個有4種，4名同學(xué)在其余4個位置上有大種方法；所以共有

?。?72種。

【例3】有1名學(xué)生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？

【解析】法一：A；4=3600法二：48=3600法三：A；--=3600

五.多排問/單排法：把元素排成幾足的問題可歸結(jié)為一排考總再分段處理。高☆考古資?源€網(wǎng)☆

【例1】（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（）

A、36種B、120種C、720種D、1440種

（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數(shù)為

（A）小娟（B）（c）醺（D）人工維父+用

（3）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，

有多少種不同排法？

【解析】：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共4'=72°

種，選C.☆

（2）答案：C

（3）看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有6利某1個元素排在后半段的四個位置

中選一個有"種，其余5個元素任排5個位置上有父種，故共有?。?=5760種排法

五.定序問題縮倍法（等幾率法）：在排列問題中限制某幾個元素必需保持肯定的依次，可用縮小倍數(shù)的

方法.

【例1】.AB,C,O,E五人并排站成一排，假如3必需站在A的右邊（48可以不相鄰〕那么不同的排

法種數(shù)是（）☆

【解析】：8在A的右邊與8在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一

-A^=60

半，即2'種

【例2】書架.卜.某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的依次，有多少種不同的插法

6

【解析】：法一：禺法二：44

【例3】將A、B、C、D、E、F這6個字母排成一排，若A、B.C必需按A在前，B居中，C在后的原則（A、

B、C允許不相鄰），有多少種不同的排法？【解析】：法一：6法一：N

六.標號排位問題（不配對問題）把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排

入，其次步再排另一個元素，如此接著下去，依次即可完成.

【例1】將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個

方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（）

A、6種B、9種C、11種D、23種☆

【解析】：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，其次步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填

入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3X3X1=9

種填法，選3.

【例2】編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中

有且只有兩個的編號與座位號一樣的坐法是（）

A10種B20種C30種D60種

答案：B

【例3】：同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，

則4張賀年卡不同的安排方式共有（）

（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種

【解析】：設(shè)四個人分別為甲、乙、丙、丁，各自寫的賀年卡分別為a、b、c、do

第一步，甲取其中一張，有3種等同的方式：

其次步，假設(shè)甲取b,則乙的取法可分兩類：

（1）乙取a,則接下來丙、丁取法都是唯一的，

（2）乙取c或d（2種方式），不管哪一種狀況，接下來丙、丁的取法也都是唯一的。

依據(jù)加法原理和乘法原理，一共有3*（1+2）=9種安排方式。故選（B）

【例4】：五個人排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上，那么不同的站隊方式共有（）

（A）60種（B）44種（C）36種（D）24種

答案：B

六.不同元素的安排問題（先分堆再安排）：留意平均分堆的算法

【例1】有6本不同的書按下列安排方式安排，問共有多少種不同的安排方式？高☆考自資?源￡網(wǎng)☆

分成1本、2本、3本三組；

分給甲、乙、丙三人，其中一?個人1本，一個人2本，一個人3本;

分成每組都是2本的三個組；

分給甲、乙、內(nèi)三人，每個人2本；

分給5人每人至少1本。

02「2「2

4yL2JN

【解析】：⑴（2）煤⑶A；（4）C；C：C；⑸A：

【例2】將4名高校生安排到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的安排方案有種

（用數(shù)字作答）.

C；-

【解析】：第一步將4名高校生按，2,1,1分成三組，其分法有得;

其次步將分好的三組安排到3個純其分法有名所以滿足條件得安排的方案有互詈""36

說明：安排的元素多于對象且每一對象都有元素安排時常用先分組再安排.

【例3】5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有

（A）150種（B）180種（C）200種（D）280種

【解析】：人數(shù)安排上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2,則有,=60種,

若是1,1,3,

GC4c2XA；

則有a=90種，所以共有150種，選A

【例4】將9個（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為（）

A.70B.140C.280D.840

答案：（A）

【例5】將5名實習(xí)老師安排到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的安排方案有

（）

（A）30種（B）90種（C）180種（D）270種

【解析】：將5名實習(xí)老師安排到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5

=15

名老師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有&種方法，再將3組分到3個班,

共有15,A；=90種不同的安排方案，選民

[例6]某外商支配在四個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超

過2個,則該外商不同的投資方案有（）種☆

A.16種B.36科1C.42種D.60種

【解析】:按條件項目可安排為21，°，°與1//，°的結(jié)構(gòu)，.??*A；+C：A：=36+24=60故選口：

【例7】（1）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）

A、480種B、240種C、120種D、96種

答案：B.

（2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的安排方案有多少種？

?,^4

CI2C8C4

答案：人；

【例8】有甲乙丙三項任務(wù).甲需2人擔當，乙丙各需一人擔當，從10人中選出4人擔當

這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）

A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種

【解析】；先從10人中選山2人擔當甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人擔當乙項任務(wù)，第

三步從另外的7人中選1人擔當丙項任務(wù)，不同的選法共有C；）C；C=2520種，選0.

【例9】.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參與中國西部經(jīng)濟開發(fā)

建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？

【解析因為甲乙有限制條件，所以依據(jù)是否含有甲乙來分類，有以下四種狀況：

①若甲乙都不參與，則有派遣方案4種；

②若甲參與而乙不參與，先支配甲有3種方法，然后支配其余學(xué)生有8方法，所以共有3履；

③若乙參與而甲不參與同理也有種；④若甲乙都參與，則先支配甲乙，有7種方法，然后再支配其余

8人到另

兩個城市有6種，共有76方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為＜+3大+3A1+74=4088種

【例10】四個不同球放入編號為1,2,3,4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？

【解析】：先取四個球中二個為i組，另二組各一個球的方法有0：種，再排：在四個盒中每次排3個有

種，故共有C：A”144種.

七.相同元素的安排問題隔板法：

【例1】：把20個相同的球全放入編號分別為1,2,3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不少于其編

號數(shù)，則有多少種不同的放法？

【解析】：向1,2,3號三個盒子中分別放入0,1,2個球后還余下17個球，然后再把這17

個球分成3份，每份至少一球，運用隔板法，共有=120種。

【例2】10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同安排方案？

【解析】：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆

至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種安排方案，

故共有不同的安排方案為《種

變式1：7個相同的小球，隨意放入四個不同的盒子，問每個盒子都不空的放法有

種

變式2：公路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其

中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件

的關(guān)燈方法有種

【例3】：將4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球放入4各不同的盒子中的3個

中，使得有一個空盒且其他盒子中球的顏色齊全的不同放法有多少種？

【解析】：1、先從4個盒子中選三個放置小球有戲種方法。

2、留意到小球都是相同的，我們可以采納隔板法。為了保證三個盒子中球的顏色齊全，匕以在4個相同

的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球所產(chǎn)生的3個、4個5個空擋中分別插入兩個板,各有C：、C；、

G種方法。

3、由分步計數(shù)原理可得,，C；CG=720種

八.多面手問題（分類法一選定標準）

【例1】：有11名外語翻譯人員，其中5名是英語譯員，4名是日語譯員，另外兩名是英、

日語均精通，從中找出8人，使他們可以組成翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯三

語，這兩個小組能同時工作，問這樣的8人名單可以開出幾張？

c；c：++c；c：+c；c：+

變式：.有11名外語翻譯人員,其中有5名會英語,4名會日語，另外兩名英，日語都精通，從中選出8人，組成

兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，問共有多少不同的選派方式？

答案：

九.走樓梯問題（分類法與插空法相結(jié)合）

【例1】小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺

階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

【解析】：插空法解題：考慮走3級臺階的次數(shù)：

1）有0次走3級臺階（即全走2級），那么有1種走法；

2）有1次走三級臺階。（不行能完成任務(wù)）；

3）有兩次走3級臺階，則有5次走2級臺階：

（a）兩次三級臺階挨著時：相當于把這兩個挨著的三級臺階放到5個兩級臺階形成的空中，有屐=6種

（b）兩次三級不挨著時：相當于把這兩個不挨著的三級臺階放到5個兩級臺階形成的空中，有9=15種

走法。

4）有3次（不行能）

5）有4次走3級臺階，則有2次走兩級臺階，互換角色，想成把兩個2級臺階放到3級臺階形成得空中,

同（3）考慮挨著和不挨著兩種狀況有種C+C；=15走法；

6）有5次（不行能）

故總共有：1+6+15+15=37種，

變式：欲登上第10級樓梯，假如規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有（）

（A）34種（B）55種（C）89種（D）144種答案：（C）

十.排數(shù)問題（留意數(shù)字“0”）

【例1】（1）由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）

A、210種B、300種C、464種D、600種

【解析】：按題意，個位數(shù)字只可能是0,1，2,3,4共5種狀況，分別有反個，

個，合并總計300個，選B.

<2）從1,2,3,…，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計依次）有多少種？

【解析】：將，={1'2,3,，100}分成叫個小相交的子集，能被4整除的數(shù)集人={4&12,…100}；能被

4除余1的數(shù)集8={1，5,9，9},能被&除余2的數(shù)集。={2,6,,，98},能被《除余3的數(shù)集

°={3,711,,99},易見這四個集合中每一個有25個元素；從A中任取兩個數(shù)符合要；從&O中各取

一個數(shù)也符合要求；從o中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共

有+以4+種

十一.染色問題：涂色問題的常用方法有：（1）可依據(jù)共用了多少種顏色分類探討；

（2）依據(jù)相對區(qū)域是否同色分類探討；

（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題。

［例I］將一個四棱錐S-ABCQ的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，假如只有5

種顏色可供運用，那么不同的染色方法的總數(shù)是.

【解析一】滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。

⑴若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S,再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D

四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有C&=6。種方法。

⑵若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S,再從余下的四種顏色中任選兩種染

A與B,由于A、B顏色可以交換，故有人；種染法；再從余二的兩種顏色中任選一種染D或C,而D與C,

而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有=240種方法。

⑶若恰用五種顏色染色，有&=12°種染色法

綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種?！敬鸢浮?20.

【解析二】設(shè)想染色按S-A-B-C-D的依次進行，對S、A、B染色，有5x4x3=60種奧色方法。

由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類探討：

C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應(yīng)與A（C）、S不同色，有3種選擇；

C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有Ix3+2x2=7種

染色方法。

由乘法原理，總的染色方法是

【解析三】可把這個問題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，

對?這五個區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？

總體實施分步完成，可分為四大步：

①給S涂色有5種方法；

②給A涂色有4種方法（與S不同色）；

③給B涂色有3種方法（與A,S不同色）；

④給C,D涂色.當C與A異色時,C,D都有2種涂色方法；當C與A同色時工有一種涂色方法I：與A同色）,D有

3種涂色方法.給C,D涂色共有2X2+3=7種方法.

由分步計數(shù)原理共有5X4X3X7=420種方法

［規(guī)律小結(jié)］涂色問題的常用方法有：（1）可依據(jù)共用了多少種顏色分類探討；（2）依據(jù)相對區(qū)域是否同色

分類探討；（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題。

十二.“至多”“至少”問題用間接法或分類：

十三.幾何中的排列組合問題：

【例1】已知直線。5〃是非零常數(shù)）與圓V+9=100有公共點，且公共點的橫坐標和縱

坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有條

【解析】：圓上的整點有：（±6,±8）,（±8,±6）,（±10,0）,（0±10）J?個

C：2=66其中關(guān)于原點對稱的有4條不滿則條件切線有C1=12,

其中平行于坐標軸的有14條不滿則條件66-4+12-14=60

答案：60

【鞏固】4男2女6個人站成一排合影留念，要求2個女的緊挨著有多少種不同的排法？

【例1】將A、8、C、。、E、F、G七位同學(xué)在操場排成一列，其中學(xué)生B與C必需相鄰.請問共有多

少種不同的排列方法？

【鞏固】6名小摯友A、B、C、。、E、尸站成一排，若A,B兩人必需相鄰，一共有多少種不同的站法？

若A、8兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？

［例2］書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，假如

同類型的書不要分開，一共有多少種排法？假處只要求童.話書和漫畫書不要分開有多少種排

法？

【鞏固】四年級三班實行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動.整個活動由2個舞蹈、2個演唱和3個小品組成.請問:

假如要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場依次？

［例3］8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必需相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法？

【鞏固】a,b,c,d,e五個人排成一排，。與〃不相鄰，共有多少種不同的排法？

［例4］一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目.求：

⑴當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的支配節(jié)目的依次？

(2)當要求每2