吉林省長春市2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測（四）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．3．已知向量和滿足與的夾角為，則（

）A． B．2 C． D．4．若，且，則（

）A． B． C． D．5．圓與的公共弦長為（

）A． B． C． D．46．在正四面體ABCD中，M，N分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，則直線AN與CM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)，若同時經(jīng)過原點(diǎn)和線段AB中點(diǎn)的直線斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．結(jié)合以下材料：“在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，過點(diǎn)且一個法向量為的平面的方程為.”解決問題：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，若直線l是兩平面與的交線，則直線l的方向向量可以是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．是的一條對稱軸B．與函數(shù)相等C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在區(qū)間上的取值范圍是10．已知函數(shù)，若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，則的取值可能是（

）A． B．1 C．2 D．311．?dāng)?shù)學(xué)里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法.比如形狀酷似“星星”的曲線（如圖所示），則下列關(guān)于曲線的說法正確的有（

）A．周長大于25B．共有4條對稱軸C．圍成的封閉圖形面積小于14D．圍成的封閉圖形內(nèi)能放入圓的最大半徑為1三、填空題12．已知，則.13．已知是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，且，，成等比數(shù)列，則.14．已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則.四、解答題15．為了研究某市高三年級學(xué)生的性別和身高的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)抽取了200名高三年級學(xué)生，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表，并畫出身高的頻率分布直方圖：性別身高合計低于不低于女20男50合計200（1）根據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中的，的值；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為“高三年級學(xué)生的性別”與“身高是否低于”有關(guān)聯(lián)？（3）將樣本頻率視為概率，在全市不低于的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，其中不低于的人數(shù)記為，求的期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍.

17．已知數(shù)列中，.(1)若依次成等差數(shù)列，求；(2)若，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項和.18．如圖，兩個底面相同的正四棱錐，頂點(diǎn)M，N位于底面兩側(cè)，底面ABCD是邊長為6的正方形.

（1）證明：平面平面BMDN；（2）若且，點(diǎn)P滿足，求直線AM與平面BPN所成角的正弦值.19．已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與曲線相切，且與直線分別交于點(diǎn).（i）證明：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；（ii）求的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【詳解】復(fù)數(shù).故選A2．【答案】D【詳解】由題意得故選D.3．【答案】D【詳解】由題意，.故選D.4．【答案】B【詳解】由，則，則，又，所以，所以，.故選B5．【答案】A【詳解】圓：

①，所以，.圓：

②，所以，.因為，所以圓與圓相交.因此公共弦所在直線的方程為①②：，圓的圓心到公共弦的距離為，即公共弦長為.故選A6．【答案】C【詳解】將正四面體ABCD中置于正方體中，如圖，易得，，所以四邊形為平行四邊形，則，則異面直線AN與CM所成角即為直線AN與NE所成角，即為直線AN與CM所成角（或補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長為2，則，，在中，由余弦定理可得，，因此直線AN與CM所成角的余弦值為.故選C.7．【答案】D【詳解】設(shè)，，則，①，②因為：同時經(jīng)過原點(diǎn)和線段AB中點(diǎn)的直線斜率為，由得：中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，且.①②可得，則，故選D8．【答案】A【詳解】由閱讀材料可知：平面的法向量可取，平面的法向量可取，設(shè)直線的方向向量，則，令，則，故選A.9．【答案】AD【詳解】，令，，，當(dāng)時，為的一條對稱軸，A正確；，B錯誤；令，當(dāng)時，，顯然在上不單調(diào)，C錯誤；當(dāng)時，，所以，∴，D正確.故選AD10．【答案】BCD【詳解】，圖象如圖則在上共有3個零點(diǎn)，即在上有3個根，，，.又因為函數(shù)在上存在兩個零點(diǎn)，故.故選BCD.11．【答案】ABC【詳解】對A：由題意，在第一象限曲線的方程為，即，當(dāng)時，曲線在圓的下方，理由如下：因為，可設(shè)，，則而（只有當(dāng)或時取“”）.所以（只有和時取“”）.故時，曲線在圓的下方.即第一象限曲線的長度大于圓周長的，即曲線的周長大于圓的周長，而，則A選項正確；對B：由曲線的方程為可知，因為，，，代入方程，方程都不變，所以曲線關(guān)于軸，軸，直線和對稱，共有4條對稱軸，則選項B正確；對C：由A選項的推證可知：曲線圍成的封閉圖形的面積，則選項C正確；對D：第一象限曲線的方程為，所以，，（都是當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.所以曲線上距離原點(diǎn)的最短距離為，因此圍成的封閉圖形內(nèi)最大能放入半徑為的圓，則選項D錯誤.故選ABC12．【答案】【詳解】因為，所以，解得，所以.13．【答案】4【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，則，即，可得，.14．【答案】1【詳解】，所以為奇函數(shù)，且在上的最大值比最小值大，所以在上的最大值比最小值大.由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增.則，解得.當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，因為，所以，所以，解得（舍去）或9（舍去）.綜上.15．【答案】（1），（2）有，過程見解析（3）【詳解】（1）由圖，低于的學(xué)生有人，則不低于170cm的學(xué)生有人.從而，；（2）零假設(shè)為：性別與身高沒有關(guān)聯(lián)，計算可得根據(jù)的獨(dú)立性檢驗，推斷不成立，因此該市高三年級學(xué)生的性別與身高是否低于170cm有關(guān)聯(lián)；（3）樣本中抽中不低于175cm的頻數(shù)為人樣本中抽中不低于175cm的頻率為將樣本頻率視為概率，在全市不低于170cm的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，其中不低于175cm的人數(shù)記為，則.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）當(dāng)時，，又因為，所以，切線方程為，即.（2）當(dāng)時，，①當(dāng)時，因為恒成立，所以；②當(dāng)時，由恒成立，得令，.再令，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.即的取值范圍為：17．【答案】(1)；(2)證明見解析，.【詳解】（1），又依次成等差數(shù)列，所以，即，解得.（2）證明：因為，且，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，可得，則，.18．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）由題意，連接AC，BD，MN交于點(diǎn)O，則MN⊥平面ABCD，∵平面ABCD，∴，∵ABCD為正方形，∴，∵平面BMDN，平面BMDN，，∴平面BMDN，∵平面AMCN，∴平面平面BMDN.（2）由且，在△AMN中，易得.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，所以，，，求出平面BPN的一個法向量.設(shè)直線AM與面BPN所成角為，則，所以直線AM與平面BPN所成角的正弦值為.19．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）.【詳解】（1）為的垂直平分線上一點(diǎn)，則..點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且故點(diǎn)的軌跡方程為.（2）（i）設(shè)，雙曲線的