2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一章§1.4基本不等式§1.4基本不等式課標(biāo)要求1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.1.基本不等式：ab≤a(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立.(3)其中a＋b2叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab叫做正數(shù)a2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值14S2注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)y＝x＋1x的最小值是2.(×(2)y＝x(2－x)的最大值是1.(√)(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.(√)(4)函數(shù)y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值為4.2.若函數(shù)f(x)＝x＋1x-2(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于A.1＋2 B.1＋3C.3 D.4答案C解析當(dāng)x>2時(shí)，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋1x-2＋2≥2(x-2)·1x-2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝1x-2(x>2)，即x＝33.(多選)下列命題正確的是()A.若x<0，則x＋1x≤B.若x>0，則x－1x≤C.若x∈R且x≠0，則x＋1D.x2＋1x2答案ACD解析當(dāng)x<0時(shí)有－x>0，則x＋1x＝－-x＋1-當(dāng)且僅當(dāng)－x＝1-x，即x＝－1時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)x>0時(shí)，y＝x－1x單調(diào)遞增，其值域?yàn)镽，B若x∈R且x≠0，則x＋1x＝|x|＋1x≥當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝1x，即x＝－1或x＝1時(shí)等號(hào)成立，Cx2＋1x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1當(dāng)且僅當(dāng)x2＋1＝1x2＋1，即x＝0時(shí)等號(hào)成立，4.已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，則1x＋1y答案5＋26解析1x＋1y＝1x＋1y(2x＋3y)＝5＋3yx＋2x1.靈活應(yīng)用兩個(gè)基本不等式的變形公式(1)ab＋ba≥2(a，b同號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a22.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意等號(hào)成立的條件，尤其是題目中多次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件必須相同，否則會(huì)造成錯(cuò)誤.(2)盡量對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形，再利用一次基本不等式求最值.題型一基本不等式的理解及常見變形例1(1)(多選)下列說法不正確的是()A.x＋4xB.不等式ab≤a＋b22與C.x2D.存在a，使得a＋1a答案ABC解析對(duì)于A，當(dāng)x>0時(shí)，x＋4x≥2x·4x＝4(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)x<0時(shí)，x＋4x＝－(-x)＋4-x≤－2(-x對(duì)于B，ab≤a＋b22恒成立，而ab≤a＋b2成立的條件為a對(duì)于C，y＝x2＋2＋1x2＋2≥2，等號(hào)成立的條件是x對(duì)于D，存在a＝－1，使得a＋1a<2成立，故D正確(2)若0<a<b，則下列不等式一定成立的是()A.b>a＋b2>a>ab B.b>ab>C.b>a＋b2>ab>a D.b>a>答案C解析∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>a＋b2∵b>a>0，∴ab>a2，∴ab>a.故b>a＋b2>ab思維升華基本不等式的常見變形(1)ab≤a＋b2(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a跟蹤訓(xùn)練1(1)已知p：a>b>0，q：a2＋b22>aA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析∵a>b>0，則a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，∴a2＋b22>a＋b當(dāng)a<0，b<0時(shí)，q也成立，如a＝－1，b＝－3時(shí)，a2＋b2∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要條件.(2)(多選)已知a，b∈R，則下列不等式成立的是()A.4ab≤(a＋b)2 B.a＋bC.2aba＋b≤a＋答案ABD解析A選項(xiàng)，4ab－(a＋b)2＝－(a－b)2≤0，即4ab≤(a＋b)2，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，當(dāng)a＋b>0時(shí)，a＋b2>0，則a＋b22－a2＋b222C選項(xiàng)，當(dāng)a＋b>0時(shí)，2ab－(a＋b)22＝-(a-b)22≤0，即2ab≤(a＋b)22，2aba＋b≤aD選項(xiàng)，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤a2＋b2題型二基本不等式的性質(zhì)命題點(diǎn)1直接法例2(1)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為()A.1 B.2 C.2 D.22答案D解析方法一由xy＝1得x2＋2y2≥2x2·2當(dāng)且僅當(dāng)x2＝2y2，即x2＝2，y2＝22時(shí)，等號(hào)成立，x2＋2y2的最小值為22方法二x2＋2y2＝x2＋2y2xy＝xy＋2yx≥22，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝2y2，即x2＝2，y2(2)當(dāng)0<x<1時(shí)，3x(3－3x)的最大值為.

答案9解析由題意及基本不等式可知3x(3－3x)≤3x當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝12時(shí)取等號(hào)命題點(diǎn)2配湊法例3(1)函數(shù)f(x)＝4x＋9x＋1，x∈(－1，＋A.6 B.8 C.10 D.12答案B解析因?yàn)閤∈(－1，＋∞)，則x＋1>0，則f(x)＝4x＋9x＋1＝4(x＋1)＋9x＋1－4≥當(dāng)且僅當(dāng)4(x＋1)＝9x＋1故函數(shù)f(x)＝4x＋9x＋1，x∈(－1，＋∞(2)(2025·咸陽模擬)已知a>0，b>0，且1a＋1＋2b＋1＝1，則a答案22＋1解析由a>0，b>0，1a＋1得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2＝1a＋1＋2b＋1[(a＋1)＝b＋1a＋1＋2(＝22＋1，當(dāng)且僅當(dāng)b＋1a＋1＝2(a＋1)b＋1，即a＝2，b＝2與基本不等式模型結(jié)構(gòu)相似的對(duì)勾函數(shù)模型如圖，對(duì)于函數(shù)f(x)＝x＋kx，k>0，x∈[a，b]，[a，b]?(0，＋∞)(1)當(dāng)k∈[a，b]時(shí)，f(x)＝x＋kx≥2k，f(x)min＝f(k)＝k＋k(2)當(dāng)k<a時(shí)，f(x)＝x＋kx在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(a)＝a＋k(3)當(dāng)k>b時(shí)，f(x)＝x＋kx在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(b)＝b＋k因此，只有當(dāng)k∈[a，b]時(shí)，才能使用基本不等式求最值，而當(dāng)k?[a，b]時(shí)只能利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值.典例函數(shù)f(x)＝x2＋3x2＋2的最小值是答案3解析由f(x)＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋令x2＋2＝t(t≥2)，則有f(t)＝t＋3t－2由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，f(t)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝2時(shí)，f(t)min＝32即當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)min＝32命題點(diǎn)3常數(shù)代換法例4(多選)已知a，b為正實(shí)數(shù)，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，則下列結(jié)論正確的是()A.1aB.ab的最大值為4C.2a＋b的最小值為3＋22D.1a答案ACD解析因?yàn)閍>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0.對(duì)于A，因?yàn)?a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得1a＋1b對(duì)于B，由ab＝a＋b，得ab＝a＋b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào))，所以ab≥2，ab≥4，所以ab的最小值為4，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，2a＋b＝(2a＋b)1a＋1b＝3＋2ab對(duì)于D，因?yàn)?a－1)(b－1)＝1，所以1a-1＋1b-1≥21(a-1)(b命題點(diǎn)4消元法例5已知實(shí)數(shù)x，y滿足3xy＋y2＝1，y>0，則2x＋y的最小值是()A.23 B.223 C.22答案B解析因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足3xy＋y2＝1，y>0，所以x＝1-y則2x＋y＝2-2y23y＋y＝2當(dāng)且僅當(dāng)23y＝y(tǒng)3所以2x＋y的最小值是22命題點(diǎn)5構(gòu)造不等式法例6(多選)(2024·鄭州模擬)已知正數(shù)a，b滿足a2＋b2＝1＋ab，則下列結(jié)論正確的是()A.a2＋b2的最小值為2B.a＋b的最大值為2C.1aD.lga＋lgb<0答案BC解析對(duì)于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋a2＋b22，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，則a2＋b2對(duì)于B，由ab≤a＋b22≤a2＋b22≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，得a＋b對(duì)于C，由1a2＋1b2＝a2＋當(dāng)1ab＝1時(shí)，1a2＋1對(duì)于D，因?yàn)?<ab≤1，所以lga＋lgb＝lg(ab)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立，故D不正確.思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有五種方法：一是直接法；二是配湊法；三是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；四是消元法；五是構(gòu)造不等式法.跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)(2024·威海模擬)已知a>0，b>0，a＋b＝1，則下列結(jié)論正確的是()A.ab的最大值為1B.1aC.a2＋b2的最小值為1D.1ab答案BCD解析對(duì)于A，1＝a＋b≥2ab?ab≤14，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝12時(shí)取等號(hào)，故對(duì)于B，1a＋4b＝1a＋4b(a當(dāng)且僅當(dāng)ba＝4ab,a＋b＝1,即對(duì)于C，a2＋b2≥(a當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝12時(shí)取等號(hào)，故C對(duì)于D，1ab＋3ba＝(a＋b)2ab＋3ba＝2＋ab(2)(多選)(2025·青島模擬)若實(shí)數(shù)a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，則下列結(jié)論正確的是()A.a＋b≤8 B.ab≥16C.a＋3b≥4＋63 D.1a-1答案BCD解析對(duì)于選項(xiàng)A，由a＋b＋8＝ab≤a＋b22，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，不妨設(shè)a＋則t2－4t－32≥0，解得t≥8或t≤－4，因?yàn)閍>0，b>0，則a＋b≥8，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由ab－8＝a＋b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，不妨設(shè)ab＝s，則s2－2s－8≥0，解得s≥4或s≤－2，因?yàn)閟>0，則s≥4，即ab≥16，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，則b－1>0，且a＝b＋8則a＋3b＝b＋8b-1＋3b＝1＋9b-1＋3b＝4＋9b-1＋3(b－1當(dāng)且僅當(dāng)9b-1＝3(b－1)，即b＝3＋1，a＝33＋1時(shí)取等號(hào)，a＋3b有最小值4＋63，故對(duì)于選項(xiàng)D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，則1a-1＋4b-1由1a-1即當(dāng)且僅當(dāng)a＝52，b＝7時(shí)，1a-1＋4b課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.已知m>0，n>0，mn＝81，則m＋n的最小值是()A.9 B.18 C.93 D.27答案B解析因?yàn)閙>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2mn得，m＋n≥18，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝9時(shí)，等號(hào)成立，所以m＋n的最小值是18.2.若x>0，則函數(shù)y＝x2A.6 B.7 C.10 D.11答案D解析∵x>0，∴y＝x2＋x＋25x＝x＋25x當(dāng)且僅當(dāng)x＝25x，即x＝5∴函數(shù)y＝x2＋3.(2024·亳州模擬)已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，則2x＋y的最小值為()A.8 B.4 C.82 D.42答案A解析方法一由x>0，y>0，2x＋y＝xy，可得y＝2xx-1>0，則則2x＋y＝2x＋2＝2(＝2(x－1)＋2x≥22(x-1)當(dāng)且僅當(dāng)2(x－1)＝2x-1，即x所以2x＋y的最小值為8.方法二由x>0，y>0，2x＋y＝xy，得2y＋所以2x＋y＝(2x＋y)2y＋1x＝4當(dāng)且僅當(dāng)4xy＝y(tǒng)x，2x即x＝2，y＝4時(shí)，等號(hào)成立，所以2x＋y的最小值為8.4.(2025·連云港模擬)設(shè)a>0，b>－1，且a＋b＝1，則1aA.1 B.2 C.4 D.8答案B解析因?yàn)閍>0，b>－1，則b＋1>0，因?yàn)閍＋b＝1，則a＋(b＋1)＝2，所以1a＋1b＋1＝12＝122＋ab當(dāng)且僅當(dāng)b＋1a＝因此1a＋5.(2024·漯河模擬)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－xy＋y2－z＝0，則xyzA.4 B.2 C.3 D.1答案D解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y，z滿足x2－xy＋y2－z＝0，則z＝x2＋y2－xy，所以xyz＝xyx當(dāng)且僅當(dāng)xy＝y(tǒng)x(x>0，y>0)，即x＝y(tǒng)6.已知x>2，且x－y－2＝0，則x2A.2 B.3 C.4 D.9答案D解析由題意得x＝y(tǒng)＋2>2，所以y>0，所以x2＋2y＝y(tǒng)＋22＋所以x2＋又因?yàn)閤2所以x24二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.若m>0，n>0，且m＋2n＝1，則下列結(jié)論正確的是()A.mn≤18 B.m＋C.1m＋2n≥9 D.m2＋4答案AC解析對(duì)于A，若m>0，n>0，且m＋2n＝1，則有mn＝12·m·2n≤1當(dāng)且僅當(dāng)m＝12，n＝14時(shí)等號(hào)成立，故對(duì)于B，(m＋2由A可得mn≤18，故1＋22mn≤所以m＋2n≤2對(duì)于C，1m＋2n＝1m＋2n(m當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝13時(shí)等號(hào)成立，故C對(duì)于D，m2＋(2n)22≥m＋2n22＝14，即m2＋4n2≥8.下列說法正確的是()A.函數(shù)y＝2x＋2x(xB.函數(shù)y＝x2C.函數(shù)y＝x＋16x＋2(D.若x＋y＝4，則x2＋y2的最小值是8答案ACD解析A選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)y＝2x＋2x(x<02x＋2x＝－(-2x)＋2-當(dāng)且僅當(dāng)－2x＝2-x，即x＝－1時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)，y＝x2＋10x2＋9當(dāng)x2＋9＝C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)y＝x＋16x＋2(x>－2)，xx＋16x＋2＝x＋2＋16x＋2－2≥當(dāng)且僅當(dāng)x＋2＝16x＋2，即x＝2時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)，由基本不等式得x2＋y所以x2＋y2≥2·x＋y22＝2×當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2025·南京模擬)已知x>12，則x＋12x-1答案2解析由于x>12，所以2x－1>0所以x＋12x-1＝當(dāng)且僅當(dāng)2x-12＝12x-1，即x＝10.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是.

答案4解析方法一∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝1-y∴x2＋y2＝1-y45y2＋y2＝當(dāng)且僅當(dāng)15y2＝4y25，即x2∴x2＋y2的最小值為45方法二由5x2y2＋y4＝1，可得y2(5x2＋y2)＝1，即4y2(5x2＋y2)＝4，又4＝4y2(5x2＋y2)≤4y2＋(5x2＋y2)22∴(x2＋y2)2≥1625，即當(dāng)且僅當(dāng)5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝310，y2＝12時(shí)取等號(hào)，∴x2＋y2的最小值是四、解答題(共28分)11.(13分)已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；(6分)(2)2x＋y的最小值.(7分)解(1)因?yàn)閤>0，y>0，根據(jù)基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥22xy＋xy(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝6令xy＝t(t>0)，則t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值為18.(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝30-x2＋x>0，0<x<30，2x＋y＝2x＋30-x2＋x＝2(x＋2)＋32當(dāng)且僅當(dāng)2(x＋2)＝322＋x，即x所以2x＋y的最小值為11.12.(15分)已知下列求最小值的方法：求x3－3x，x∈[0，＋∞)的最小值.解：利用平均值不等式，對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c，有a＋b＋c≥33abc(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)，得到x3＋1＋1≥3x，于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，x3－3x(1)請(qǐng)模仿上述例題，求x4－4x，x∈[0，＋∞)的最小值；(提示：對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c，d，有a＋b＋c＋d≥44abcd，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝(2)求13x3－x，x∈[0，＋∞(3)求出當(dāng)a>0時(shí)，x3－ax，x∈[0，＋∞)的最小值.(6分)解(1)因?yàn)閤∈[0，＋∞)，利用a＋b＋c＋d≥44ab當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d時(shí)等號(hào)成立，得到x4＋1＋1＋1≥4x，所以x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4x－4x－3＝－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，即x4－4x的最小值為－3.(2)因?yàn)閤∈[0，＋∞)，利用a＋b＋c≥33abc當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立，得到13x3＋13＋所以13x3－x＝13x3＋13＋13－23－x當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，即13x3－x的最小值為－2(3)因?yàn)閤∈[0，＋∞)，且a>0，利用a＋b＋c≥33abc當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立，得到x3＋aa33所以x3－ax＝x3＋aa33＋aa33－2a當(dāng)且僅當(dāng)x＝a3即x3－ax的最小值為－2a每小題5分，共10分13.正數(shù)a，b滿足a>b，ab＝4，則a3A.2 B.3 C.4 D.6答案C解析由題意得a>0，b>0，a－b>0，則a3＋b3a2-b2＝a當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝2且ab＝4，即a＝5＋1，b＝5－1時(shí)，等號(hào)成立.14.若x1，x2，…，x2026均為正實(shí)數(shù)，則x1＋x2x1＋x3x1答案4解析原式＝4x1x2…x2026≥24x1x2…x2026＝4x1x2…x2025≥24x1x2…x2025＝4x1x2…x2024＋…＋x4x1x2x當(dāng)且僅當(dāng)4xi＝xi(i＝1，2，3，…，2026，xi即x1＝x2＝…＝x2026＝2時(shí)，等號(hào)成立，故x1＋x2x1＋x3x課標(biāo)要求1.會(huì)求與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題.2.理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用.3.掌握基本不等式在其他知識(shí)中的應(yīng)用.題型一與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題例1(1)若不等式1a＋2b≥A.2 B.3 C.4 D.9答案D解析由題意a＋2ba＋2a＋4bb又5＋2ba＋2ab≥5＋22b故實(shí)數(shù)m的最大值為9.(2)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4<m2A.{m|－1<m<4}B.{m|m<－4或m>1}C.{m|－4<m<1}D.{m|m<－1或m>4}答案D解析∵不等式x＋y4<m2－3m∴x＋y4min<m2－3m，∵x>0，y>0∴x＋y4＝x＋y4當(dāng)且僅當(dāng)4xy＝y(tǒng)4x，即∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0，∴m<－1或m>4，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<－1或m>4}.思維升華?x∈M，使得f(x)≥a，等價(jià)于f(x)max≥a；?x∈M，使得f(x)≤a，等價(jià)于f(x)min≤a.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a>0，若關(guān)于x的不等式x＋ax＋1≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，則A.1 B.2 C.4 D.8答案C解析因?yàn)閤>－1，x＋1>0，所以x＋ax＋1＝x＋1＋ax＋1－1≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝ax＋1，即x＝a所以x＋ax＋1有最小值2a因?yàn)椴坏仁絰＋ax＋1≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2a－1≥解得a≥4，所以a的最小值為4.(2)已知正數(shù)x，y滿足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(－∞，4＋62) B.(6＋42，＋∞)C.(－∞，7＋43) D.(8＋43，＋∞)答案C解析因?yàn)?x－1)(y－2)＝2，x>0，y>0，所以xy＝2x＋y，即1x＋所以由基本不等式可得3x＋2y＝(3x＋2y)1x＋2y＝7＋2yx當(dāng)且僅當(dāng)2即x＝1＋綜上所述，3x＋2y的最小值為7＋43.因?yàn)椴坏仁?x＋2y>m恒成立，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，7＋43).題型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例2隨著環(huán)保意識(shí)的增強(qiáng)，電動(dòng)汽車成為人們購(gòu)車的熱門選擇.某型號(hào)的電動(dòng)汽車經(jīng)高速路段(汽車行駛速度不低于60km/h)測(cè)試發(fā)現(xiàn)：①汽車每小時(shí)耗電量P(單位：kW·h)與速度v(單位：km/h)的關(guān)系滿足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程內(nèi)變速行駛比勻速行駛耗電量更大.現(xiàn)有一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車從A地經(jīng)高速公路(最低限速60km/h，最高限速120km/h)勻速行駛到距離為500km的B地，出發(fā)前汽車電池存量為75kW·h，汽車到達(dá)B地后至少要保留5kW·h的保障電量(假設(shè)該電動(dòng)汽車從靜止加速到速度為v的過程中消耗的電量與路程都忽略不計(jì)).(1)判斷該車是否可以在不充電的情況下到達(dá)B地，并說明理由；(2)若以該電動(dòng)汽車的現(xiàn)存電量一定可以到達(dá)A地與B地間的服務(wù)區(qū)，服務(wù)區(qū)充電樁的功率為15kW(充電量＝充電功率×?xí)r間)，求到達(dá)B地的最少用時(shí)(行駛時(shí)間與充電時(shí)間總和).解(1)設(shè)勻速行駛速度為vkm/h，耗電量為f(v)，則f(v)＝P(v)·500v＝v＋2500v－20(60≤v≤易知函數(shù)f(v)在區(qū)間[60，120]上單調(diào)遞增，所以f(v)min＝f(60)＝2453>75－5即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，所以該車不能在不充電的情況下到達(dá)B地.(2)設(shè)勻速行駛速度為vkm/h，總時(shí)間為th，行駛時(shí)間與充電時(shí)間分別為t1h，t2h.若能到達(dá)B地，則初始電量＋充電電量－消耗電量≥保障電量，即75＋15t2－f(v)≥5，解得t2≥v15所以t＝t1＋t2≥500v＋v15＋5003v－6＝當(dāng)且僅當(dāng)v15＝20003所以該汽車到達(dá)B地的最少用時(shí)為223思維升華利用基本不等式求解實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.跟蹤訓(xùn)練2某村現(xiàn)有180戶村民，且都從事海產(chǎn)品養(yǎng)殖工作，平均每戶的年收入為8萬元.為探索科技助農(nóng)新模式，村委會(huì)決定調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，安排x(0<x<180，x∈N*)戶村民只從事直播帶貨工作，其余的只從事海產(chǎn)品養(yǎng)殖工作，預(yù)計(jì)調(diào)整后從事直播帶貨工作的村民平均每戶的年收入為8a-x10(a>0)萬元，從事海產(chǎn)品養(yǎng)殖工作的村民平均每戶的年收入相比原來提高5xA.12 B.14 C.22 D.60答案B解析由題意可得8a-x10x≤(180－x)·8·(1＋5x%)，化簡(jiǎn)可得a≤因?yàn)?80x＋x20＋8≥當(dāng)且僅當(dāng)180x＝x20所以a≤14，即a的最大值為14.題型三基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題例3(1)設(shè)a>0，b>0，若ln3是ln3a與ln9b的等差中項(xiàng)，則2a＋1bA.6 B.8 C.9 D.12答案B解析∵ln3是ln3a與ln9b的等差中項(xiàng)，∴2ln3＝ln3a＋ln9b，即ln3＝ln(3a·9b)＝ln3a＋2b＝(a＋2b)ln3，∴a＋2b＝1，又a>0，b>0，∴2a＋1b＝2a＋1b(a當(dāng)且僅當(dāng)ab＝4ba，即a＝12(2)(2025·紹興模擬)原點(diǎn)到直線l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距離的最大值為()A.25 B.225 C.4答案D解析方法一設(shè)原點(diǎn)到直線l的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝|-顯然當(dāng)λ<0時(shí)，有最大值，此時(shí)－2λ因?yàn)?－λ)＋-1λ≥2(-λ)·所以2(-λ)＋-1λ≤22方法二直線l恒過定點(diǎn)(1，－1)，故原點(diǎn)到直線l距離的最大值為2.思維升華基本不等式常作為工具，與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角、向量、復(fù)數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯問題、立體幾何、解析幾何、實(shí)際問題、新定義問題等考點(diǎn)交匯，常常需要借助不等式來解決其中的最值問題.跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則sinB的取值范圍是.

答案0解析因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，所以cosB＝a2因?yàn)閍2＋c2≥2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)，所以3(a2＋c2)－2ac≥4ac>0，所以cosB＝3(a2＋又y＝cosx在區(qū)間(0，π)上單調(diào)遞減，所以0<B≤π3，所以0<sinB≤3柯西不等式1.二維形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立).2.二維形式的柯西不等式的變式(1)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d(2)a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d(3)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d≥0，當(dāng)且僅當(dāng)3.一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bnanbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立.4.二維形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立).典例(1)實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，則z＝2x＋3y的最小值是()A.－5 B.－6 C.3 D.4答案A解析∵實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，∴x24∴x24＋y23即－5≤2x＋3y≤5，當(dāng)且僅當(dāng)33x＝8y，即當(dāng)x＝-當(dāng)x＝∴z＝2x＋3y的最小值是－5.(2)設(shè)a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，則a·b的最大值為.

答案45解析∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，∴a·b＝x－2y.由柯西不等式的向量形式可得[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，即5×16≥(x－2y)2，∴－45≤x－2y≤45， (*)當(dāng)且僅當(dāng)b＝ka，即x＝45或x＝-45∴當(dāng)x＝455，y＝－855時(shí)，a·b權(quán)方和不等式1.二維形式：已知x，y，a，b均為正數(shù)，則有ax＋by≥(a＋b)2x2.一般形式：設(shè)ai，bi均為正數(shù)(i＝1，2，…，n)，實(shí)數(shù)m>0，則nΣi＝1aim＋1bim≥(nΣ典例(1)若x>0，y>0，12x＋y＋3x＋答案132＋2解析12x＋y＋3x因?yàn)閤>0，y>0，則6x＋5y≥132＋23當(dāng)且僅當(dāng)12即x＝33-44，y＝(2)已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝1，則x2y＋2z答案1解析x2y＋2當(dāng)且僅當(dāng)xy即x＝y(tǒng)＝z＝13時(shí)取等號(hào)課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.已知a>0，b>1，ab－a＝1，則a＋b的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.5答案C解析方法一因?yàn)閍b－a＝1，所以b＝1a＋1，所以a＋b＝a＋1a＋1≥2a·1a＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以a方法二因?yàn)閎>1，所以b－1>0.因?yàn)閍b－a＝a(b－1)＝1，所以a＋b－1≥2a(b當(dāng)且僅當(dāng)a＝b－1，即a＝1，b＝2時(shí)，等號(hào)成立，故a＋b的最小值為3.2.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29＋y24＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|A.13 B.12 C.9 D.4答案C解析因?yàn)閨MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|·|MF2|≤(MF當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝3時(shí)，等號(hào)成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值為9.3.已知實(shí)數(shù)x，y>0，1x＋4y＝2，且x＋y≥A.-∞，92C.92，＋∞答案A解析由1x＋4y＝2又因?yàn)閤，y>0，則x＋y＝(x＋y)·12x＋2y＝1當(dāng)且僅當(dāng)y2x＝2xy所以(x＋y)min＝92由x＋y≥m恒成立，可得m≤(x＋y)min＝92即實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a<33 B.0≤a≤C.a>33 D.a>答案A解析當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，由ax2－2x＋3a<0，可得a(x2＋3)<2x，由題意得a<2x因?yàn)?xx2＋3＝2x＋3x≤22x·所以當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，2xx2故a<335.(2024·宿州模擬)定義：對(duì)于數(shù)a，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a與b對(duì)于模m同余，記作a≡b(modm).已知正整數(shù)t滿足t≡11(mod6)，將符合條件的所有t的值按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列{an}.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則2SA.12 B.14 C.16 D.18答案C解析由題意可知an＝6n－1，n∈N*，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以Sn＝n[5＋(6n-1)]2＝3可得2Sn＋6n＝6n2當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)，2Sn6.(2025·長(zhǎng)沙模擬)中國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式S＝p(p-a)(p-b)(p-cA.30° B.45° C.60° D.90°答案C解析由題可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，則S＝6(6-a)(6-b)(6-4)＝12(6-a當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時(shí)取等號(hào)，所以此時(shí)三角形為等邊三角形，故A＝60°.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.(2024·宜賓模擬)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若mxym-1≤x＋2y恒成立，則實(shí)數(shù)A.12 B.98 C.3 答案ABC解析由x>0，y>0，得xy>0，mxym-1≤x＋2即mm-1≤又2x＋1y＝2x＋1y(2x當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝13故mm-1≤9，即mm-1－9＝即(解得m<1或m≥988.若a>1，b>1，且ab＝e2，則()A.2e≤a＋b<e2＋1B.0<lna·lnb≤1C.22－1≤lna＋logab<2D.alnb的最大值為e答案ABD解析由a>1，b＝e2a>1，得1<a<e因?yàn)楹瘮?shù)f(a)＝a＋b＝a＋e2a在(1，e)上單調(diào)遞減，在[e，e2)上單調(diào)遞增，所以2e≤a＋b<e2＋1，故因?yàn)閍b＝e2，所以有l(wèi)na＋lnb＝2，于是0<lna·lnb≤lna＋lnb22＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝lna＋logab＝lna＋lnblna＝lna＋2-lnalna＝ln設(shè)t＝lna∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋2t－1在(0，2)上單調(diào)遞減，在[2，2所以φ(t)＝t＋2t－1∈[22－1，＋∞)，故C設(shè)λ＝alnb，所以lnλ＝lnalnb＝lnb·lna≤1，所以λ≤e，故D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·南京模擬)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝2，且1xy≥M恒成立，則M的最