2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第四章§4.10解三角形應(yīng)用舉例§4.10解三角形應(yīng)用舉例課標(biāo)要求能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i=hl=tan1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)西南方向與南偏西45°方向相同.()(2)仰角和俯角都是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為0，π2.((3)方位角是從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角.()(4)若從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α+β=180°.()2.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向，燈塔B在觀察站南偏東60°方向，則燈塔A在燈塔B()A.北偏東10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏東80°方向 D.南偏西80°方向3.如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC=BC=1km，且C=120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為km.

4.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，D，測(cè)得∠BCD=15°，∠CBD=30°，CD=102m，并在C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，則塔高AB=.

1.對(duì)于立體測(cè)量問(wèn)題，通常要轉(zhuǎn)化為兩類平面問(wèn)題，一是豎直放置的平面，通常要解直角三角形；另一類是水平放置的平面，通常要解斜三角形.2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)注意仰角與俯角是相對(duì)水平視線而言的，是在鉛垂面上所成的角；(2)明確方位角及方向角的含義，避免因混淆概念而出錯(cuò).題型一測(cè)量距離問(wèn)題例1(1)(2024·廈門模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A.102海里 B.103海里C.202海里 D.203海里(2)如圖，某市地面有四個(gè)5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距離為103km；基站A，B建在江的北岸，測(cè)得∠ACB=45°，∠ACD=30°，∠ADC=120°，∠ADB=75°，則基站A，B之間的距離為()A.106km B.30(3-1)kmC.30(2-1)km D.105km思維升華距離問(wèn)題的解題策略選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解.跟蹤訓(xùn)練1如圖，為計(jì)算湖泊岸邊兩景點(diǎn)B與C之間的距離，在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得AB=5km，AD=7km，∠ABD=60°，∠CBD=23°，∠BCD=117°，據(jù)以上條件可求得兩景點(diǎn)B與C之間的距離約為km(精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，sin117°≈0.891).

題型二測(cè)量高度問(wèn)題例2(1)《海島算經(jīng)》是中國(guó)學(xué)者劉徽編撰的一部測(cè)量學(xué)著作.現(xiàn)有取自其中的一個(gè)問(wèn)題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合，問(wèn)島高幾何？用現(xiàn)代語(yǔ)言來(lái)解釋，其意思為：立兩個(gè)3丈高的標(biāo)桿，之間距離為1000步，兩標(biāo)桿與海島的底端在同一直線上.從第一個(gè)標(biāo)桿M處后退123步，人眼貼地面，從地上A處仰望島峰，人眼、標(biāo)桿頂部和山頂三點(diǎn)共線；從后面的一個(gè)標(biāo)桿N處后退127步，從地上B處仰望島峰，人眼、標(biāo)桿頂部和山頂三點(diǎn)也共線，則海島的高為(3丈=5步)()A.1200步 B.1300步C.1155步 D.1255步(2)(2025·南京模擬)如圖，某中學(xué)校園內(nèi)的景觀樹已有百年歷史，小明為了測(cè)量景觀樹高度，他選取與景觀樹根部C在同一水平面的A，B兩點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得景觀樹根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B處，測(cè)得樹根部C在北偏西15°的方向上，樹梢D的仰角為30°，則景觀樹的高度為()A.106米 B.203米C.2033米 D.思維升華高度問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)(1)圖形中為空間關(guān)系，極易當(dāng)作平面問(wèn)題處理，從而致錯(cuò)；(2)對(duì)仰角、俯角等概念理解不夠深入，從而把握不準(zhǔn)已知條件而致錯(cuò).跟蹤訓(xùn)練2矗立在上饒市市民公園(如圖1)的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達(dá)天下”的美好寓意，也象征著上饒四省通衢，連南接北，通江達(dá)海，包容八方.如圖2，某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共線三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得銅雕頂端P處的仰角分別為π6，π4，A.156m B.106m C.66m D.56m題型三測(cè)量角度問(wèn)題例3如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島B位于小島A北偏東75°距離60海里處，小島B北偏東15°距離(303-30)海里處有一個(gè)小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.思維升華角度問(wèn)題的解題方法首先應(yīng)明確方向角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練3甲船在A處觀察乙船，乙船在它北偏東60°方向，相距a海里的B處，乙船向正北方向行駛，若甲船速度是乙船速度的3倍，甲船為了盡快追上乙船，朝北偏東θ方向前進(jìn)，則θ=.

答案精析落實(shí)主干知識(shí)自主診斷1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.D3.34.20m探究核心題型例1(1)A[依題意，如圖，在△ABC中，∠BAC=70°-40°=30°，∠ABC=40°+65°=105°，則∠ACB=45°，AB=40×3060=20由正弦定理得BCsin∠BAC=即BCsin30°=20因此BC=20×12所以B，C兩點(diǎn)間的距離是102海里.](2)D[在△ACD中，∠ACD=30°，∠ADC=120°，又∠ADB=75°，所以∠BDC=45°，∠CAD=30°，∠ACD=∠CAD=30°，所以AD=CD=103，在△BCD中，∠CBD=180°-(30°+45°+45°)=60°，由正弦定理得BD=CDsin∠BCDsin∠CBD=103在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=(103)2+(52+56)2-2×103×(5所以AB=105，即基站A，B之間的距離為105km.]跟蹤訓(xùn)練15.8解析在△ABD中，有AB=5，AD=7，∠ABD=60°，由余弦定理可得，AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD，即49=25+BD2-2×5×BD×12整理可得BD2-5BD-24=0，解得BD=8或BD=-3(舍去).在△BCD中，有BD=8，∠CBD=23°，∠BCD=117°，所以∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=40°.由正弦定理BDsin∠BCD=BC=BDsin∠BDC≈8×0.6430.891≈5.8(例2(1)D[設(shè)海島的高為h步，由題意知，F(xiàn)M=GN=5，AM=123，BN=127，MN=1000，則FMDC=AMAC，即AC=AM·DCFM=123BC=BN·DCGN=127所以MN=BC-AC-BN+AM，則1000=127h5-123h5-127+123，解得h即海島的高為1255步.](2)D[依題意可得如圖圖形，在△ABC中，∠BAC=90°-60°=30°，∠ACB=75°-30°=45°，AB=40，由正弦定理得BCsin30°=40解得BC=40×12在Rt△BCD中，∠CBD=30°，所以CD=BCtan30°=202×3=206所以景觀樹的高度為2063米跟蹤訓(xùn)練2B[設(shè)OP=h，則OA=3h，OB=h，OC=33h在△ABO中，由余弦定理得cos∠ABO=400+h2-3在△BCO中，由余弦定理得cos∠OBC=400+=400+2因?yàn)椤螦BO+∠OBC=π，所以400-2h240h即800-43h2=0解得h=106，所以四門通天銅雕的高度為106m.]例3解(1)在△ABC中，AB=60，BC=303-30，∠ABC=180°-75°+15°=120°，根據(jù)余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(303-30)2-2×60×(303-30)·cos120°=5400，所以AC=306.所以小島A到小島C的距離是306海里.(2)根據(jù)正弦定理得ACsin∠ABC=所以306sin120°=解得sin∠ACB=22在△ABC中，因?yàn)锳B<AC，所以∠ACB為銳角，所以∠ACB=45°，所以∠CAB=180°-120°-45°=15°.由75°-15°=60°，得游船應(yīng)該沿北偏東60°的方向航行.跟蹤訓(xùn)練330°解析如圖，設(shè)兩船在C處相遇，則由題意得∠ABC=180°-60°=120°，且ACBC=3由正弦定理得ACBC=sin120°sin∠BAC所以sin∠BAC=12又因?yàn)?°<∠BAC<60°，所以∠BAC=30°，所以θ=60°-30°=30°.§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算課標(biāo)要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有又有的量平面向量是自由向量長(zhǎng)度(模)向量的

記作|a|或|AB|零向量長(zhǎng)度為0，其方向是任意的記作

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量與非零向量a共線的單位向量為±a平行向量(共線向量)方向或的非零向量0與任意向量(或共線)相等向量長(zhǎng)度且方向的向量?jī)上蛄坎荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度且方向的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a+b=；

結(jié)合律：(a+b)+c=

減法a-b=a+(-b)數(shù)乘|λa|=，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向；

當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向；

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=

設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則λ(μa)=；

(λ+μ)a=；

λ(a+b)=

3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.()(2)單位向量都相等.()(3)若a=b，b=c，則a=c.()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b=λa，反之成立.()2.下列命題正確的是()A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B.若|a|=|b|，則a=b或a=-bC.向量AB與BA是平行向量D.平行向量不一定是共線向量3.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則OA+OB+OC+OD等于()A.OM B.2OM C.3OM D.4OM4.已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，向量b-ta與12a-32b共線，則實(shí)數(shù)t=.

熟記平面向量線性運(yùn)算的常用結(jié)論(1)設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP=12(OA+(2)在△ABC中，點(diǎn)P滿足PA+PB+PC=0?P為△ABC的重心?AP=13(AB+(3)OA=λOB+μOC(λ，μ為實(shí)數(shù)，點(diǎn)O，B，C不共線)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ+μ=1.(4)對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.題型一平面向量的基本概念例1(1)下列四個(gè)命題中正確的有()A.若a∥b，b∥c，則a∥cB.“a=b”的充要條件是“|a|=|b|且a∥b”C.在平行四邊形ABCD中，一定有AB=DCD.若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，a0為單位向量，則a=|a|a0(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是()A.AD=BC B.AC=BDC.PE=PF D.EP=PF思維升華平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)非零向量的平行具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.(4)a|a|是與非零向量a同方向的單位向量跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下列關(guān)于向量的說(shuō)法正確的是()A.若|a|=0，則a=0B.若向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一條直線上C.對(duì)于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|D.若a∥b，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb(2)在如圖所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的邊長(zhǎng)為1).①是共線向量的有；

②方向相反的向量有；

③模相等的向量有.

題型二平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義例2若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|，則△ABC的形狀為()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算例3(2025·成都模擬)在△ABC中，BD+2CD=0，則AD等于()A.23AB+13AC BC.13AB+23AC D思維升華平面向量線性運(yùn)算的解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)[爪子定理]在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，若BDDC=mn，則AD=nm跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)D，E為△ABC所在平面內(nèi)兩點(diǎn)，AD=DC，CB=2BE，則A.-32AB+AC B.3C.AB-32AC D.-AB(2)若|AB|=7，|AC|=4，則|BC|的取值范圍是()A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11)題型三共線定理及其應(yīng)用例4(1)(2024·福州模擬)已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若2e1+λe2與μe1+e2(λ，μ為實(shí)數(shù))是共線向量，則()A.λμ=-2 B.λμC.λμ=2 D.λμ(2)如圖，在△ABC中，AN=12NC，P是BN上的點(diǎn)，若AP=mAB+14AC，則實(shí)數(shù)思維升華利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a=λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).(2)若a與b不共線且λa=μb，則λ=μ=0.(3)已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且OP=mOA+nOB(m，n∈R)，則A，P，B三點(diǎn)共線的充要條件是m+n=1.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2025·深圳模擬)設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1-ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為()A.-8 B.8 C.6 D.-6(2)如圖所示，在△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于點(diǎn)M，N，若AB=mAM，AC=nAN，m，n∈R，則m+n的值為等和(高)線定理如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA'B'相似，必存在一個(gè)常數(shù)k，k∈R，使得OP'＝kOP，則OP'＝kOP＝kλOA＋kμOB，設(shè)OP'＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立.平面內(nèi)一個(gè)基底{OA，OB}及任一向量OP'，OP'＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P'在直線AB上或在與AB平行的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)O和直線AB之間時(shí)，k∈(0，1)；③當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；④當(dāng)?shù)群途€過(guò)點(diǎn)O時(shí)，k＝0；⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；⑥定值k的絕對(duì)值與點(diǎn)O到等和線的距離成正比.典例(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn).若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，則λ＋μ等于()A.1 B.34 C.23 (2)如圖，圓O是邊長(zhǎng)為23的等邊△ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)D，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，BM＝xBA＋yBD(x，y∈R)，則2x＋y的最大值為.答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.大小方向大小0相同相反平行相等相同相等相反2.b+aa+(b+c)|λ||a|相同相反0(λμ)aλa+μaλa+λb3.b=λa自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C3.D4.1探究核心題型例1(1)C[A不正確，若b=0，則由a∥b，b∥c，無(wú)法得到a∥c；B不正確，當(dāng)|a|=|b|且a∥b時(shí)，a，b的方向可能相反，此時(shí)a與b是相反向量，即a=-b；當(dāng)a=b時(shí)，a與b的模相等且方向相同，即|a|=|b|且a∥b，故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分條件；C正確，平行四邊形ABCD對(duì)邊平行且相等，且AB和DC方向相同，故AB=DC；D不正確，向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不一定相同.](2)D[方法一(排除法)AD，BC不共線，AC，BD不共線，故A，B錯(cuò)誤；PE，方法二在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故∵AB∥CD，∴PBPD=PA則PB+PDPD即BDPD=ACPC，即PDBD∵EF∥AB，∴PEAB=PDBD=PCAC∴PE=PF，即P為EF的中點(diǎn)，∴EP=PF，故C錯(cuò)誤，D正確.]跟蹤訓(xùn)練1(1)AC[對(duì)于A，若|a|=0，則a=0，故A正確；對(duì)于B，若向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定在同一條直線上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若a，b方向相同，則|a+b|=|a|+|b|，若a，b方向相反，則|a+b|<|a|+|b|，若a，b不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及三角形兩邊之和大于第三邊可知|a+b|<|a|+|b|.綜上可知，對(duì)于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|，故C正確；對(duì)于D，若a≠0，b=0，則a∥b，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb，故D錯(cuò)誤.](2)①a和d，b和e②a和d，b和e③a，c，d解析①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共線向量；②a和d，b和e是方向相反的向量；③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.例2B[OB+OC-2OA=(OB-OA)+(OC-OA)=AB+AC，OB-OC=CB=AB-∴|AB+AC|=|AB-AC|.故A，B，C為矩形的三個(gè)頂