武強中學(xué)2024--2025學(xué)年度下學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則的面積是（）A.6 B.10 C.12 D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直觀圖與斜二測畫法的定義求解.【詳解】由題可知，為直角三角形，且，如圖：由斜二測畫法知，所以.故選：C.2.已知點，，且，則點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出點的坐標(biāo).【詳解】點、，且，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，所以，，，求得，，故點的坐標(biāo)為，故選：A．3.在中，內(nèi)角的對邊分別為，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及定義法求向量數(shù)量積．【詳解】解：中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，則，故選：C．4.在中，a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，設(shè)向量，若，則角A的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用垂直的數(shù)量積為0與余弦定理求解即可.【詳解】因,所以,即,所以因為,故故選：B．【點睛】本題主要考查了向量垂直與數(shù)量積的運用以及余弦定理求角度的問題,屬于基礎(chǔ)題型.5.底面圓周長為，母線長為4的圓錐內(nèi)切球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，利用直角三角形求出內(nèi)切球的半徑，再計算內(nèi)切球的體積.【詳解】由題意可知，圓錐的母線，底面半徑，根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：根據(jù)圓錐和球的對稱性可知，球的截面為圓，即為等腰的內(nèi)切圓，即，，，，在中，，由，，則，在中，，即，可得，解得，即內(nèi)切球的半徑，故內(nèi)切球體積為.故選：C.6.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)式，利用復(fù)數(shù)相等，可得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法，可得答案.【詳解】設(shè)，則，即，解得，所以.故選：D.7.如圖，在正方體中，M，N分別為的中點，異面直線MN與所成角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連結(jié)，，根據(jù)題中條件，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，進而可求出結(jié)果.【詳解】連結(jié)，，因為在正方體中，M，N分別為的中點，所以，因此，異面直線與所成角即為直線與所成角，即，顯然為.故選：B8.在中，，點E在上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運算將用與表示出來，再利用向量共線定理的推理即可得解.【詳解】因為，所以，則，因為三點共線，所以，解得.故選：C二、多選題（每小題6分，部分選對的得部分分，有選錯的不得分）9.已知復(fù)數(shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】A利用復(fù)數(shù)的模的定義計算；B利用復(fù)數(shù)的加法運算；C先計算，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義；D利用復(fù)數(shù)的乘法運算.【詳解】由題意可得，，則，故A正確；，故B正確；，則，故C正確；，故D錯誤.故選：ABC10.（多選）某工廠生產(chǎn)出一種機械零件，如圖所示，零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺，在軸截面中，，則下列說法正確的有（）A.該圓臺的高為B.該圓臺軸截面面積為C.該圓臺軸截面面積為D.一只螞蟻從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到的中點，所經(jīng)過的最短路程為【答案】CD【解析】【分析】由勾股定理即可求得圓臺的高，即可判斷A選項；由梯形面積公式即可判斷BC選項；由圓臺側(cè)面展開圖結(jié)合勾股定理即可判斷D選項．【詳解】如圖①，作交于E，則，則，則圓臺的高為，故A錯誤；圓臺的軸截面面積為，故B錯誤，C正確；將圓臺的一半側(cè)面展開，如圖②，設(shè)P為的中點，由圓臺補成圓錐，圓臺對應(yīng)的圓錐的一半側(cè)面展開為扇形，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，連接，可得，，則，所以沿著該圓臺表面從點C到中點的最短距離為，故D正確．故選：CD．11.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，則（）A.B.若，則C.若，則為銳角三角形D.若，則的形狀能唯一確定【答案】AB【解析】【分析】應(yīng)用正弦定理及邊角關(guān)系判斷A、B、D；由余弦定理易得為銳角，而角和角是否為銳角無法確定，即可判斷C.【詳解】因為，所以，故A正確；因為，則，故B正確；由余弦定理，可知為銳角，但無法判斷角和角是否為銳角，不一定為銳角三角形，故C錯誤；由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D錯誤.故選：AB三、填空題（每小題5分，共15分）12.復(fù)數(shù)的虛部為______．【答案】5【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出該復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以該復(fù)數(shù)的虛部為5．故答案為：5.13.已知等邊邊長為2，平面，且，則點C到平面的距離為__________．【答案】【解析】【分析】利用等體積計算即可.【詳解】因平面，則為三棱錐的高，則，由平面，平面，則，在直角中，，同理，則等腰的底邊上的高為，則,設(shè)點C到平面的距離為，則，得故答案為：.14.已知滿足，若在方向上的投影向量為，則__________．【答案】【解析】【分析】利用投影向量的定義求出，再利用數(shù)量積的運算律求解.【詳解】由在方向上的投影向量為，得，則，而，于是，所以.故答案為：四、解答題（共77分）15.已知，.（1）求；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，且，求實數(shù)的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)的四則運算代入計算，即可得到結(jié)果；（2）由向量垂直的坐標(biāo)運算代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以因為，所以.【小問2詳解】由（1）可知，則，，因為，所以，解得.16.如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.（1）求及AD的長度；（2）求BC的長度.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）運用平方關(guān)系求出，，由于，借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.【小問1詳解】因為，，，，所以，，由于，又，∴，∴，則，∴，所以在中，由正弦定理得，所以，所以.【小問2詳解】在中，由正弦定理得，可得，解得.由于，，在中，由余弦定理可得.17.如圖，在直三棱柱中，分別為中點．（1）求證：平面；（2）若求直三棱柱的體積和表面積；【答案】（1）證明見解析（2），【解析】【分析】（1）取的中點，連接，只需證為平行四邊形，由此，進而可證平面；（2）由題干條件可知底面為等腰直角三角形，且直棱柱高為1，利用三棱柱的體積和表面積公式即可算出答案.【小問1詳解】如圖，取的中點，連接，因為為的中點，所以，，因為四邊形為平行四邊形，為的中點，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】因為，即，由勾股定理的逆定理可知，且在直三棱柱中，為高，由三棱柱的體積公式可得體積，表面積為5個面面積之和.18.在銳角中，角的對邊分別為，，，已知且．（1）求角A的大?。唬?）若，求的面積；（3）求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換運算求解；（2）先利用余弦定理求得，進而可求面積；（3）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性運算求解.【小問1詳解】因為，且，則，可得，整理得，所以.【小問2詳解】由余弦定理，即，解得或（舍去），所以的面積.小問3詳解】由正弦定理，可得，則，因為為銳角三角形，且，則，解得，則，可得，則，所以的取值范圍為.19.如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，點在棱上．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)，且為的中點時，求與平面所成的角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1