/陜西省2025屆高三星空全真模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知全集為，集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．30 B．40 C．60 D．1204．某學(xué)校準(zhǔn)備舉辦乒乓球，羽毛球，游泳，中國象棋共四場比賽.規(guī)定，乒乓球比賽和羽毛球比賽不相鄰，游泳比賽不在第一場也不在最后一場，則不同的場次安排方式共有（

）A．6種 B．8種 C．12種 D．16種5．聲音的強(qiáng)弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強(qiáng).通常人耳能聽到聲音的最小聲強(qiáng)為（瓦/平方米）.在某特殊介質(zhì)的實驗中對于一個聲音的聲強(qiáng)，用聲強(qiáng)與比值的常用對數(shù)來表示聲強(qiáng)的“聲強(qiáng)級數(shù)”，即，則“聲強(qiáng)級數(shù)8”的聲強(qiáng)是“聲強(qiáng)級數(shù)6”的聲強(qiáng)的（

）A．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍6．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓，若圓與圓的公共弦恰好過橢圓的兩個頂點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．在特定條件下，籃球賽中進(jìn)攻球員投球后，籃球的運行軌跡是開口向下的拋物線的一部分.“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”.對于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長，則被“蓋帽”的可能性越大.收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡化為下述數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點為，籃框中心點為，他可以選擇讓籃球在運行途中經(jīng)過，，，四個點中的某一點并命中，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最小的線路是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，4，5，6的中位數(shù)等于平均數(shù)B．?dāng)?shù)據(jù)1，1，1，2，3，5，8的方差為3C．在相關(guān)分析中，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)D．某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，越大，該測量量越分散10．已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．曲線關(guān)于直線對稱B．曲線的軌跡是雙曲線C．曲線在第一象限內(nèi)的軌跡是橢圓的一部分D．直線與曲線沒有交點11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增B．存在正數(shù)，使得函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象與直線有兩個交點D．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值為三、填空題12．若直線過點，且其一個方向向量為，則直線的方程為.13．如圖，將棱長為2的正方體六個面的中心連線，可得到八面體，則該八面體的表面積為.

14．在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為和1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為和.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，已知接收的信號為1，則發(fā)送的信號是0的概率為.四、解答題15．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.16．已知拋物線與橢圓有一個相同的焦點，過拋物線焦點的直線與拋物線相交于、兩點，且.（1）求拋物線的方程；（2）求直線的方程.17．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，若函數(shù)的最小值為1，求實數(shù)的值．18．如圖，在四棱錐中，為邊的中點，，平面，，.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）設(shè)為邊上的點，滿足，求點到平面的距離.19．已知數(shù)列的通項，數(shù)列的前項和為，且滿足，．?dāng)?shù)列和的所有項合在一起，按從小到大的順序依次排列構(gòu)成新數(shù)列，數(shù)列的前項和為．（1）求的值；（2）求使得成立的的最小值；（3）從數(shù)列的前100項中每次隨機(jī)抽取一項，有放回地抽取20次，設(shè)這20次抽取的項互不相同的概率為，借鑒函數(shù)及其性質(zhì)證明：．附：（均大于0，且不全相等）成立．

答案1．【正確答案】A【詳解】因，則，又，則.故選A.2．【正確答案】C【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選C.3．【正確答案】C【詳解】因為為等差數(shù)列，故，故選C.4．【正確答案】B【詳解】確定游泳比賽的場次，已知游泳比賽不在第一場也不在最后一場，那么游泳比賽只能安排在第二場或第三場；若游泳比賽在第二場，那么乒乓球和羽毛球只能一個在第一場，一個在第四場，或者一個在第一場，一個在第三場，有種安排方式；若游泳比賽在第三場，同理乒乓球和羽毛球也只能一個在第一場，一個在第四場，或者一個在第二場，一個在第四場，同樣有4種安排方式；當(dāng)游泳、乒乓球和羽毛球比賽的場次都確定后，中國象棋比賽的場次也就唯一確定了，所以中國象棋比賽只有1種安排方式.所以不同的場次安排方式共有（種）.故選B.5．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時，代入聲強(qiáng)級數(shù)公式可得.可將上式變形為.那么，解得.當(dāng)時，代入聲強(qiáng)級數(shù)公式可得.則，可得，解得..故“聲強(qiáng)級數(shù)”的聲強(qiáng)是“聲強(qiáng)級數(shù)”的聲強(qiáng)的100倍.故選C.6．【正確答案】C【詳解】由，得，故的單調(diào)減區(qū)間為，對比各選項，只有C符合.故選C.7．【正確答案】B【詳解】圓的一般方程為，圓的一般方程為，由于兩圓的圓心距為,故兩圓相交，將這兩圓方程作差可得兩圓的公共弦所在直線的方程為，直線交軸于點，交軸于點，所以，，，因此，該橢圓的離心率為.故選B.8．【正確答案】C【詳解】籃球上升階段越短,被“蓋帽”的可能性最越,則對稱軸越靠近軸越好,設(shè)拋物線方程為，當(dāng)經(jīng)過時，列方程組，二次函數(shù)解析式為，對稱軸為直線，同理可得經(jīng)過時，對稱軸為直線，經(jīng)過時，對稱軸為直線，經(jīng)過時，對稱軸為直線，可知經(jīng)過時籃球處于上升階段的水平距離最短.故選C.9．【正確答案】ACD【詳解】對于選項A：數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6的中位數(shù)為，平均數(shù)為，所以中位數(shù)等于平均數(shù)，故A正確；對于選項B：因為數(shù)據(jù)平均數(shù)為，所以方差，故B錯誤；對于選項C：樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故C正確；對于選項D：某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，越大，該測量數(shù)據(jù)越分散，故D正確；故選ACD.10．【正確答案】CD【詳解】對于A，在曲線上任取點，則有，點關(guān)于直線的對稱點不適合此方程，故A錯誤；對于B，對于，當(dāng)時，方程為，顯然在第一象限曲線軌跡是橢圓，故B錯誤；對于C，由B項分析可知C正確；對于D，將代入方程的左式，可得，故兩者沒有交點，故D正確.故選CD.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A選項，當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)、均為增函數(shù)，故函數(shù)也為增函數(shù)，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，A對；對于B選項，取，則，此時，所以，此時，函數(shù)的定義域為，，即函數(shù)為偶函數(shù)，因此，存在正數(shù)，使得函數(shù)為偶函數(shù)，B對；對于C選項，當(dāng)時，由A選項可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，此時，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點，C錯；對于D選項，因為，則，由題意可知時，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，由題意可知，對任意的，恒成立，只需，即，因為，則，因為，則，所以，即，所以，可得，解得或，因為，所以.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故實數(shù)的最小值為，D對.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】由題意可知，直線的斜率為.而直線過點，所以直線方程為，即.13．【正確答案】【詳解】由題意八面體是由八個邊長為的等邊三角形所組成的，故所求為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)A表示“發(fā)送的信號為0”，B表示“接收的信號為0”，則表示“發(fā)送的信號為1”，表示“接收的信號為1”.由題意得，，，，，.由貝葉斯公式有.故已知接收的信號為1，則發(fā)送的信號為0的概率為.故答案.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1），，又，，即.又，.（2），的面積為，，即.由余弦定理可得，即，又，.的周長為.16．【正確答案】（1）（2）或.【詳解】（1）橢圓的焦點坐標(biāo)為，拋物線的焦點坐標(biāo)為，，即.拋物線的方程為.（2）易知直線不與軸重合，又直線過焦點，設(shè)直線的方程為，、，聯(lián)立，消去并整理得，則，，，，解得.直線的方程為或.17．【正確答案】（1）（2）1【詳解】（1）當(dāng)時，，，，，所求切線方程為，即．（2）當(dāng)時，，其定義域為，，函數(shù)和在區(qū)間上都是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，即，，顯然，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，解得，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，，符合題意，實數(shù)的值為1．18．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【詳解】（1）證明：在中，，，，，，.平面，，平面，平面，，又，平面，平面，又平面，.（2）過作直線，平面，平面，又由（1）知，以為坐標(biāo)原點，直線，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則.易知平面的一個法向量為，.平面與平面所成角的余弦值為.（3）平面，平面，，又，，，又易知，點的坐標(biāo)為，.點到平面的距離.19．【正確答案】（1）63（2）8（3）證明見解析【詳解】（1），，，即，是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，即，，，，，，，，，，，，，，，數(shù)列的前10項為1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，．（2）