.1二元一次方程一、二元一次方程的概念含有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次的方程叫做二元一次方程。它必須同時滿足三個條件：一是整式方程，即等號的兩邊必須都是整式；二是含有兩個未知數(shù)；三是含有未知數(shù)的項的次數(shù)是一次。二、二元一次方程的解使二元一次方程兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。在二元一次方程中，只要給定其中一個未知數(shù)的值，就可以相應地求出另一個未知數(shù)的值。同時，一個二元一次方程有無數(shù)個解，這是因為我們可以為其中一個未知數(shù)選擇任意值，然后求出另一個未知數(shù)的對應值。三、二元一次方程的變形把一個二元一次方程變形成用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式，其實質(zhì)是解一個含有字母系數(shù)的一元一次方程。例如，對于方程ax+by=c（a≠0，b≠0），我們可以將其變形為y=c-ax/b（當b≠0時）或x=(c-by)/a（當a≠0時）的形式。鞏固課內(nèi)例1:用x的代數(shù)式表示y1．將方程改寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二元一次方程，先移項，再兩邊都除以，可得用含x的代數(shù)式表示y的形式即可．【詳解】，移項，得，兩邊都除以，得．故選：D．2．將方程寫成用含x的代數(shù)式表示y，則．【答案】【分析】本題考查了解二元一次方程：把方程看作是關于y的一元一次方程，然后解關于y的方程即可．熟知二元一次方程的變形法則是關鍵．【詳解】解：移項得：，故答案為：．3．把下列方程寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式：（1）；

（2）；

（3）.【答案】1）；（2）；（3）.【分析】利用去括號、移項、系數(shù)化為1的步驟進行方程的變形．移項的時候，即把含有y的項移到方程的左邊，其它的項移到方程的右邊．【詳解】解：（1）移項，得5y=21-3x，系數(shù)化為1，得y=；（2）移項、合并同類項，得4y=1-3x，系數(shù)化為1，得y=；（3）去括號，得2x+2y=3x-3y-1，移項、合并同類項，得5y=x-1，系數(shù)化為1，得y=．【點睛】本題重點在于對表達式的變形，在變形的過程中對方程式兩邊做同樣的運算．鞏固課內(nèi)例2:寫出二元一次方程的解1．已知是方程的一個解，那么常數(shù)a的值是（

）A．5 B． C．3 D．【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程組的解、解一元一次方程，將代入方程可得關于的一元一次方程，解方程即可得出答案．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：C．2．寫出二元一次方程的一組整數(shù)解：．（寫出一組即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查二元一次方程的解，令取一固定值，求出對應的y值即可．【詳解】解：對于，當時，，是二元一次方程的一組整數(shù)解，故答案為：（答案不唯一）．3．（1）根據(jù)表中所給的x的值以及x與y的對應關系，填寫下表：x1234567（2）根據(jù)上表，寫出二元一次方程的三個解．【答案】（1）見解析；（2），，（答案不唯一）【分析】本題側(cè)重考查二元一次方程的解．（1）分別將，2，…，7代入即可求出y的值；（2）運用表格中的數(shù)據(jù)找出方程的解．【詳解】解：（1）填寫表格如下：x1234567258111417（2）由表格知，二元一次方程的三個解為：，，（答案不唯一）．類型一、二元一次方程的定義1．下列選項是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二元一次方程的定義．根據(jù)二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】解：A.不是方程，故該選項不正確，不符合題意；

B.是二元一次方程，故該選項正確，符合題意；

C.不是整式方程，故該選項不正確，不符合題意；

D.，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2，故不是二元一次方程，不符合題意．故選：B．2．若關于的方程是二元一次方程，則的值為．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程的概念，含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定義是解題的關鍵．根據(jù)二元一次方程的定義可得，進一步即可求出結果．【詳解】解：根據(jù)題意，得，，解得：，故答案為：3．已知關于，的二元一次方程．(1)求，的值；(2)判斷下列各數(shù)對哪些是該二元一次方程的解，請?zhí)顚懴卤恚ㄖ苯犹顚憽笆恰被颉安皇恰保當?shù)對判斷數(shù)對是否是方程的解【答案】(1)，(2)是；不是；是；不是【分析】（1）根據(jù)二元一次方程的定義得到，，解得，的值即可；（2）把數(shù)對代入方程驗證左邊是否等于右邊即可．【詳解】（1）解：∵是關于，的二元一次方程，∴，，解得，．（2）由（1）可知，關于，的二元一次方程，當時，，是方程的解，當時，，不是方程的解，當時，，是方程的解，當時，，不是方程的解，故答案為：是；不是；是；不是【點睛】此題考查了二元一次方程的定義和二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程的定義是解題的關鍵．類型二、二元一次方程的解1．下列方程中，能與方程組成二元一次方程組，且解為的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二元一次方程組的解，了解方程組的解的意義是解題關鍵．將代入各選項求解．【詳解】解：把代入，A選項符合題意．不能和組成二元一次方程組，B選項不符合題意．把代入，，C選項不符合題意．把代入得，D選項不符合題意．故選：A．2．若是關于x和y的二元一次方程的解，則k的值是．【答案】【分析】本題考查二元一次方程的解，把代入方程進行求解即可．【詳解】解：把代入，得：，解得：；故答案為：．3．已知方程：①，②．(1)根據(jù)方程①填寫下表：x21____________y____________2(2)根據(jù)方程②填寫下表：x3____________y____________2(3)根據(jù)以上兩表中的數(shù)據(jù)，直接寫出方程組的解．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查二元一次方程組的解，解決本題的關鍵是要理解二元一次方程解的定義．（1）根據(jù)表格中x的值一一代入計算即可求出對應的y的值，表格中y的值一一代入計算即可求出對應的x的值；（2）根據(jù)表格中x的值一一代入計算即可求出對應的y的值，表格中y的值一一代入計算即可求出對應的x的值；（3）根據(jù)（1）（2）表格中的值找出滿足方程①又滿足方程②的公共解．【詳解】（1）解：填表如下：x210y1062（2）解：填表如下：x32y42（3）解：根據(jù)表格可得方程組的解是．類型一、根據(jù)題意列方程1．太原市某茶葉店經(jīng)銷兩種茶，第一次購進了種茶30盒，種茶20盒，共花費6000元，設購進種茶的價格為元/盒，種茶的價格為元/盒，根據(jù)題意可列出的方程為，下列的值可以是該方程的解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把各個選項的的值代入方程進行驗算即可得到答案．【詳解】解：A.當時，，故不是方程的解，不符合題意；B.當時，，故是方程的解，符合題意；C.當時，，故不是方程的解，不符合題意；D.當時，，故不是方程的解，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程的解滿足這個方程是解題的關鍵．2．把一根長為的電線剪成和長的兩種規(guī)格的電線（每種規(guī)格的電線至少有一條）．設截成長的電線根，長的電線根，根據(jù)題意可列方程為，若剪出根長的電線后，剩余部分剛好剪成長的電線根．【答案】【分析】把y=7代入方程，得出x的值即可【詳解】解：把y=7代入方程得：解得：則剩余部分剛好剪成長的電線6根；故答案為：6【點睛】本題考查了二元一次方程的整數(shù)解，根據(jù)y的值得出x是解本題的關鍵，注意x，y只能取正整數(shù)3．根據(jù)題意列二元一次方程組：(1)兩批貨物，第一批360噸，用5節(jié)火車皮和12輛汽車正好裝完；第二批500噸，用7節(jié)火車皮和16輛汽車正好裝完．每節(jié)火車皮和每輛汽車平均各裝貨物多少噸？(2)某校課外小組的學生準備外出活動；若每組7人，則余下3人；若每組8人，則有一組只有3人；求這個課外小組分成幾組？共有多少人？(3)明明到郵局買0.8元與2元的郵票共13枚，共花去20元錢，問明明兩種郵票各買了多少枚？(4)將若干只雞放入若干籠中，若每個籠中放4只，則有一雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放，問有多少只雞，多少個籠？【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用；（1）等量關系式：節(jié)火車皮所裝貨物輛汽車所裝貨物噸，節(jié)火車皮所裝貨物輛汽車所裝貨物噸，據(jù)此列出方程組，即可求解；（2）等量關系式：所有人數(shù)分組為每組7人的人數(shù)人，所有人數(shù)分組為每組人的人數(shù)人，據(jù)此列出方程組，即可求解；（3）等量關系式：買0.8元的郵票枚數(shù)買2元的郵票枚數(shù)枚，買0.8元的郵票費用買2元的郵票的費用元，據(jù)此列出方程組，即可求解；（4）等量關系式：雞的總數(shù)每個籠中放4只的數(shù)量只，雞的總數(shù)每個籠中放只的數(shù)量，據(jù)此列出方程組，即可求解；找出等量關系式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：每節(jié)火車皮平均裝貨物噸，每輛汽車平均裝貨物噸，由題意得；（2）解：設這個課外小組共有人，分成組，由題意得；（3）解：設0.8元郵票買了枚，買2元的郵票買了枚，由題意得；（4）解：設有只雞，個籠，由題意得．類型二、用x代數(shù)式表示y或用y表示x1．由可以得到用含x的式子表示y，下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查解二元一次方程，把x看作已知數(shù)表示出y即可，解題的關鍵是將一個未知數(shù)看作已知數(shù)，求出另一個未知數(shù)．【詳解】解：∴，∴，∴，故選：B．2．將方程變形為用含有的式子表示，則．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程的解，將看作已知數(shù)求出即可．【詳解】解：∴∴，故答案為：．3．已知是方程的解，(1)求的值．(2)請將方程變形為用的代數(shù)式表示．【答案】(1)8(2)【分析】（1）將代入原方程，可得出關于的一元一次方程，解之即可得出的值；（2）將代入原方程，整理后，即可用還含的代數(shù)式表示．【詳解】（1）解：將代入原方程得：，解得：，的值為8；（2）解：當時，原方程為，．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，牢記“把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等”是解題的關鍵．類型三、已知二元一次方程的解求參1．若是關于x和y的二元一次方程的解，則k的值是（）A． B． C．1 D．5【答案】A【分析】本題考查二元一次方程的解，熟練掌握該知識點是關鍵．把代入方程進行求解即可．【詳解】解：把方程的解代入，得：，解得：；故選：A．2．若是關于，的二元一次方程的一個解，則的值為．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程的解，把代入即可求出的值．【詳解】解：把代入，得，∴．故答案為：．3．已知是方程的解，求k的值．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程的解，將代入方程，即可求解；理解二元一次方程的解是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，解得：．類型一、二元一次方程的整數(shù)解1．方程的整數(shù)解的個數(shù)是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】把1表示成兩個非負整數(shù)的和，這兩個數(shù)只能是0與l，于是一個等式可裂變?yōu)閮蓚€等式．【詳解】解：由題意得，x、y都是整數(shù)，故可得、都為整數(shù)，從而可得：解得：；解得：；解得：；解得：；綜上可得解得整數(shù)解為，故有2組．故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根．當方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，未知數(shù)的值不能唯一確定，可視某個未知數(shù)為常量，實現(xiàn)變量與常量的互相轉(zhuǎn)化，促使問題的解決．2．請寫出一個關于，的二元一次方程，使其滿足的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，且，是這個二元一次方程的解．這個方程可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查二元一次方程的知識，解題的關鍵是掌握二元一次方程的解，根據(jù)題意，寫出滿足題意的，的系數(shù)，再把代入，驗證的值，即可．【詳解】解：由題意得，的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，∴滿足題意，∵，是這個二元一次方程的解，∴當時，，解得：，∴符合題意．故答案為：（答案不唯一）．3．求方程的正整數(shù)解．【答案】或或【分析】本題考查了求二元一次方程的特殊解，正確變形是解答本題的關鍵．對于求關于x，y的方程的正整數(shù)解，方程可化為，結合x，y是整數(shù)求解即可．【詳解】解：由原方程，得．因為x，y為正整數(shù)，所以原方程的正整數(shù)解是或或．類型二、二元一次方程的規(guī)律1．對5個正整數(shù)，，，，，作規(guī)律探索，①，，是三個連續(xù)偶數(shù)（），②，是兩個連續(xù)奇數(shù)（），③以下幾個結論正確的是：①取，5個正整數(shù)可以為：4，6，8，7，9②F能表示為（m、n為正整數(shù)）③若，則一共有8種組合以上結論正確的個數(shù)有（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】本題考查列代數(shù)式、解一元一次方程、解二元一次方程．根據(jù)每個結論，分別利用題中的3個條件，表示出，，，，5個數(shù)，通過各自的特點與要求進行求解．【詳解】解：①取，5個正整數(shù)可以為：4，6，8，7，9，①說法正確；②設，則，，設，則，∴，∴F不能表示為（m、n為正整數(shù)），②說法錯誤；③當時，，則，此方程無正整數(shù)解；當時，，則，此方程無正整數(shù)解；當時，，則，此方程無正整數(shù)解；當時，，則，此方程有正整數(shù)解；∴，則一共有0種組合，③說法錯誤；故選：A2．觀察下列方程組：①；②；③；…若第④方程組滿足上述方程組的數(shù)字規(guī)律，則第④方程組為．【答案】【分析】根據(jù)①②③方程組，找出系數(shù)和常數(shù)項存在的規(guī)律，依此類推，即可得到答案．本題考查了二元一次方程組的定義，正確掌握猜想歸納思想是解題的關鍵．【詳解】解：觀察第二個方程：①，②，③，得規(guī)律：的系數(shù)為方程組的序號加上1，的系數(shù)等于序號，常數(shù)項等于序號，∴第④個方程組的第二個方程為：，觀察第一個方程：的系數(shù)為1，的系數(shù)等于方程組序號的相反數(shù)，常數(shù)項等于序號乘序號加1的積，即第④個方程組的第一個方程為：，故答案為：．3．研究下列方程組的解的個數(shù)：(1)；(2)；(3).你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?【答案】(1)無解；(2)一組解；(3)無數(shù)解．【分析】根據(jù)二元一次方程組解的情況的判定方法逐一進行判斷即可【詳解】解：（1）由②-①，得：0=1，顯然不可能，故（1）中的方程組無解；（2）由②-①，得：y=,把y=代入①，得x=故原方程組只有一組解；（3）①2-①，得0=0，即無論x與y取何值，結果是一樣的，故原方程組有無數(shù)個解.故答案為(1)無解；(2)一組解；(3)無數(shù)解．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，用到的知識點是二元一次方程組的解的定義，關鍵是根據(jù)方程組的特點判斷出方程組解的情況．類型三、二元一次方程的新定義1．閱讀理解：，，，是實數(shù)，我們把符號稱為階行列式，并且規(guī)定：，例如，．二元一次方程組的解可以利用階行列式表示為，其中，，．問題：對于用上面的方法解二元一次方程組時，下面的說法錯誤的是（

）．A． B．C．方程組的解為 D．【答案】D【分析】分別根據(jù)行列式的定義計算可得結論．【詳解】A、3×3-（-1）×1=10，計算正確，不符合題意；B、Dx=1×3-（-1）×7=10，計算正確，不符合題意；C、方程組的解：x==2，計算正確，不符合題意．D、Dy=3×7-1×1=20，計算錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】此題考查二元一次方程組的解，理解題意，直接運用公式計算是解題的關鍵．2．若x和y表示兩個自然數(shù)，規(guī)定新運算“*”及“△”如下：，，其中m、n、k均為自然數(shù)．已知，，則的值為．【答案】【分析】此題主要考查二元一次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意得出新定義的運算法則求出參數(shù)的值.根據(jù)新定義運算，得出的式子為，，再根據(jù)均為自然數(shù)可推出，即可求出的值，再代入即可求解.【詳解】解：由得到，即由，則

即①代入①則

又因為均為自然數(shù),要使k為自然數(shù),則要為16的因數(shù),即為，則n可能為要使為自然數(shù),

則n只可能為2，所以

∵，把代入得，故答案為：3．對于任意一個四位數(shù)，我們記為，即．若規(guī)定：對任意整數(shù)進行運算，得到整數(shù)．例如：．(1)計算；(2)求出所有滿足的四位數(shù)．【答案】(1)126(2)或或或【分析】本題考查了新定義下的實數(shù)運算及方程的解，理解題意是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意，代入求值即可；（2）根據(jù)建立方程，再根據(jù)為非負整數(shù)，即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得；（2）解：，，即，為非負整數(shù)，或或或，滿足的四位數(shù)有：或或或．1．下列方程中屬于二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查二元一次方程定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．根據(jù)二元一次方程的定義即可判斷．【詳解】解：A、，不是整式方程，不屬于二元一次方程，故此選項不符合題意；B、，含未知數(shù)項的最高次數(shù)為二次，不屬于二元一次方程，故此選項不符合題意；C、，屬于二元一次方程，故此選項符合題意；D、，含有3個未知數(shù)，不屬于二元一次方程，故此選項不符合題意．故選：C．2．已知，是二元一次方程的解，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】本題考查二元一次方程的解，將方程的解代入方程，進行求解即可．【詳解】解：把代入，得：，解得：；故選B．3．方程的正整數(shù)的組數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了非一次不定方程，解二元一次方程組，解答本題的關鍵是將方程整理為整式方程；利用已知條件將方程之變形，整理為，分析兩數(shù)相乘所有的可能，找出符合題意的解的個數(shù)；【詳解】解：去分母得：，，又與是正整數(shù)，兩整數(shù)之積為，存在三種情況；①，解得：，不合題意舍去；②，解得：，不合題意舍去；③，解得：，不合題意舍去；故符合題意的方程的解為組；故選：A4．已知方程：為二元一次方程，則的值為．【答案】3【分析】此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關鍵．利用二元一次方程的定義判斷即可．【詳解】解：因為方程為二元一次方程，所以，解得．故答案為：35．寫出一個二元一次方程，使這個方程與所組成的方程組的解為，這個方程可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查二元一次方程的定義及二元一次方程組解的定義．寫出一個符合題意的方程即可．【詳解】解：所組成的方程組的解為的二元一次方程為，故答案為：（答案不唯一）．6．為了豐富學生課外小組活動，培養(yǎng)學生動手操作能力，王老師讓學生把長的彩繩截成或的彩繩，用來做手工編織，在不造成浪費的前提下，你有種不同的截法．【答案】四【分析】本題主要考查了二元一次方程的應用，結合題意列出關于的二元一次方程是解題關鍵．設截得的的彩繩有根，的彩繩有根，根據(jù)題意列出關于的二元一次方程，結合均為非負整數(shù)確定該方程的解，即可獲得答案．【詳解】解：設截得的的彩繩有根，的彩繩有根，根據(jù)題意，可得，因為均為非負整數(shù)，所以或或或，即有四種不同的截法．故答案為：四．7．已知是二元一次方程的一個解．(1)則_________(2)試直接寫出二元一次方程的所有正整數(shù)解．【答案】(1)5(2)，【分析】（1）將代入二元一次方程2x+y=a中，即可求得a的值；（2）將a的值代入方程2x+y=a，再用列舉法求出方程的解即可．【詳解】（1）將代入二元一次方程2x+y=a中可得：，a=5；故答案為：5（2）把a=5代入方程2x+y=a中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整數(shù)解為：，．【點睛】考查二元一次方程的解，解題關鍵是熟練掌握二元一次方程的解與二元一次方程的關系．8．某電視臺在黃金時段的2分鐘廣告時間內(nèi)，計劃插播長度為秒和秒的兩種廣告．若要求每種廣告播放不止1次（至少2次），問兩種廣告的播放次數(shù)有哪幾種安排方式？【答案】播放秒的廣告的次數(shù)是2次，播放秒的廣告的次數(shù)是3次；播放秒的廣告的次數(shù)是4次，播放秒的廣告的次數(shù)是2次【分析】本題考查了不定方程的實際應用，設播放秒