高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省瀘州市龍馬潭區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.第I卷（選擇題58分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若直線過點，，則此直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知直線過點，，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，，．故選：C．2.已知，則該圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心是，半徑是．故選：A．3.記為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A.20 B.16 C.14 D.12【答案】D【解析】∵是等差數(shù)列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故選：D．4.已知雙曲線C經(jīng)過點，離心率為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為雙曲線C經(jīng)過點，所以雙曲線的焦點在軸上，設(shè)雙曲線的方程為.因為雙曲線經(jīng)過點，所以，解得．又因為，所以，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C.5.將8個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放2個小球，則不同放法的種數(shù)為（）A.3 B.6 C.10 D.15【答案】B【解析】依題意，每個盒子放入2個球，余下2個球可以放入一個盒子有種方法，放入兩個盒子有種方法，所以不同放法的種數(shù)為.故選：B6.衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從四雙不同顏色的襪子中隨機(jī)選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩雙”，則，又，則，即隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為．故選：D．7.已知點M，N是拋物線：和動圓C：的兩個公共點，點F是的焦點，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時，的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】圓C：的圓心，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，設(shè)直線的方程為，化簡為：，，消去可得：，設(shè)，，所以，因為是MN的中點，所以，解得：，故，，由拋物線的定義可知，過點作交于點，過點作交于點，所以，所以，當(dāng)三點在一條直線時取等.故選：B.8.已知,且,則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因函數(shù)的定義域為R，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)時，因單調(diào)遞增，而在定義域內(nèi)也為增，故由同增異減原則，也為增，也為增，又因在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù).又因，由，因，故，由在上為增函數(shù)可得:，即.故選：D.二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知的展開式中，各項的二項式系數(shù)之和為128，則（）A. B.只有第4項的二項式系數(shù)最大C.各項系數(shù)之和為1 D.的系數(shù)為560【答案】AD【解析】對于A：由題意可知：各項的二項式系數(shù)之和為，解得，故A正確；可得，對于B：因為，則第4項和第5項的二項式系數(shù)最大，故B錯誤；對于C：令，可得各項系數(shù)之和為，故C錯誤；對于D：因為二項展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)為，故D正確；故選：AD.10.下列說法中正確的是（）附：獨立性檢驗中幾個常用的概率值與相應(yīng)的臨界值0.10.050.012.7063.8416.635A.已知離散型隨機(jī)變量，則B.一組數(shù)據(jù)148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位數(shù)為158C若，則事件與相互獨立D.根據(jù)分類變量與的觀測數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗可得：變量與獨立，這個結(jié)論錯誤的概率不超過0.05【答案】BC【解析】對于A：根據(jù)二項分布的方差公式，可得，∴，∴A錯誤；對于B：，根據(jù)百分位數(shù)的定義，這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第8個數(shù)158，∴B正確；對于C：∵，∴，∴，根據(jù)事件獨立性的定義可知，事件與相互獨立，∴C正確；對于D：根據(jù)的值以及常用的概率值與相應(yīng)臨界值可知，依據(jù)的獨立性檢驗，可得變量與相互獨立，即認(rèn)為變量與不相互獨立，犯錯誤的概率大于0.05小于0.1，∴D錯誤．故選：BC11.將兩個各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，則（）A.該幾何體表面積為B.該幾何體的體積為C.過該多面體任意三個頂點的截面中存在兩個平面互相垂直D.直線平面【答案】AC【解析】對于A，，所以表面積為，故A對；對于B，如圖所示：設(shè)點在平面內(nèi)的投影為，為的中點，則由對稱性可知為三角形的重心，所以，又因為，所以正三棱錐的高為，所以題圖所示幾何體的體積為，故B錯；對于C，由B選項可知面，由對稱性可知三點共線，所以面，而面，所以面面，故C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：其中軸平行，因為，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，不妨取，解得，所以取，又，而，所以直線與平面不平行，故D錯.故選：AC.第二卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12.數(shù)列滿足且，則數(shù)列的通項公式是__________．【答案】【解析】設(shè)，則，又因為，所以，則，所以，因為，所以，所以為常數(shù)，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：13.過點與曲線相切的直線方程為______．【答案】【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為，，.則切線方程為，因為在切線上，所以，即又，所以，令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.故答案為：14.已知、為橢圓的左、右焦點，點為該橢圓上一點，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為______.【答案】【解析】根據(jù)題意畫出圖象如下圖所示：利用橢圓定義可知，且；又，利用余弦定理可知：，化簡可得；所以的面積為；設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為；由正弦定理可得，可得；易知的周長為，利用等面積法可知，解得；又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，所以，即可得，所以；離心率.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.近幾年，隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量也隨之增加，我市精品水果店大街小巷遍地開花，其中中華獼猴桃的口感甜酸、可口，風(fēng)味較好，廣受消費者的喜愛.在某水果店，某種獼猴桃整盒出售，每盒20個.已知各盒含0，1個爛果的概率分別為0.8，0.2.（1）顧客甲任取一盒，隨機(jī)檢查其中4個獼猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則買下這盒獼猴桃，否則不會購買此種獼猴桃.求甲購買一盒獼猴桃的概率；（2）顧客乙第1周網(wǎng)購了一盒這種獼猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則下一周繼續(xù)網(wǎng)購一盒；若當(dāng)中有爛果，則隔一周再網(wǎng)購一盒；以此類推，求乙第5周網(wǎng)購一盒獼猴桃的概率解：（1）由題意可得：甲不購買一盒獼猴桃情況為該盒有1個爛果且隨機(jī)檢查其中4個時抽到這個爛果，甲購買一盒獼猴桃的概率.（2）用“√”表示購買，“╳”表示不購買，乙第5周購買有如下可能：第1周第2周第3周第4周第5周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√故乙第5周網(wǎng)購一盒獼猴桃的概率.16.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?解：（1）[方法一]：幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構(gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因，所以平面．又因為平面，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因為三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因為，所以，所以．[方法三]：因為，，所以，故，，所以，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．[方法二]：幾何法如圖所示，延長交的延長線于點S，聯(lián)結(jié)交于點T，則平面平面．作，垂足為H，因為平面，聯(lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過作交于點G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過D作的平行線交于點Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．17.已知數(shù)列的通項公式為,在與中插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，（1）求的通項公式及；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求.解：（1）因為在，之間插入項，使這個數(shù)成公差為的等差數(shù)列，所以，所以.（2）易知，所以，兩式相減得，所以.18.已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線的單調(diào)減區(qū)間；(2)若有兩個極值點，且，，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：(1)，令得，，由得.所以，的單調(diào)減區(qū)間為.(2)，∵有兩個極值點，且，∴是方程的兩正根，則，，不等式恒成立，即恒成立，∴，由，，得，∴，令，，令，，h(x)在上遞增，則有，即，∴在上是減函數(shù)，∴，故.19.已知橢圓的離心率為，左、右兩個頂點分別為A，B，直線與直線的交點為D，且△ABD的面積為.（1）求C的方程；（2）設(shè)過C的右焦點F的直線，的斜率分別為，，且，直線交C于M，N兩點，交C于G，H兩點，線段MN，GH的中點分別為R，S，直線RS與C交于P，Q兩點，記△PQA與△PQB的面積分別為，，證明：為定值.解：（1）由題意離心率為，所以①由，知由△ABD的面積為，得，得.②由①②解得.所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知，，，聯(lián)立方程消去y得，設(shè)，，則，所以，代入直線的方程，所以，同理得①當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線，將點R，S的坐標(biāo)代入，得易知，為方程的兩個根，則，得，所以直線，所以直線PQ過定點.②當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，由對稱性可知，因為不妨設(shè)，，所以即直線，滿足過定點.因為的面積為，的面積為，所以，為定值.四川省瀘州市龍馬潭區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.第I卷（選擇題58分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若直線過點，，則此直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知直線過點，，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，，．故選：C．2.已知，則該圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心是，半徑是．故選：A．3.記為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A.20 B.16 C.14 D.12【答案】D【解析】∵是等差數(shù)列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故選：D．4.已知雙曲線C經(jīng)過點，離心率為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為雙曲線C經(jīng)過點，所以雙曲線的焦點在軸上，設(shè)雙曲線的方程為.因為雙曲線經(jīng)過點，所以，解得．又因為，所以，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C.5.將8個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放2個小球，則不同放法的種數(shù)為（）A.3 B.6 C.10 D.15【答案】B【解析】依題意，每個盒子放入2個球，余下2個球可以放入一個盒子有種方法，放入兩個盒子有種方法，所以不同放法的種數(shù)為.故選：B6.衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從四雙不同顏色的襪子中隨機(jī)選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩雙”，則，又，則，即隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為．故選：D．7.已知點M，N是拋物線：和動圓C：的兩個公共點，點F是的焦點，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時，的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】圓C：的圓心，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，設(shè)直線的方程為，化簡為：，，消去可得：，設(shè)，，所以，因為是MN的中點，所以，解得：，故，，由拋物線的定義可知，過點作交于點，過點作交于點，所以，所以，當(dāng)三點在一條直線時取等.故選：B.8.已知,且,則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因函數(shù)的定義域為R，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)時，因單調(diào)遞增，而在定義域內(nèi)也為增，故由同增異減原則，也為增，也為增，又因在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù).又因，由，因，故，由在上為增函數(shù)可得:，即.故選：D.二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知的展開式中，各項的二項式系數(shù)之和為128，則（）A. B.只有第4項的二項式系數(shù)最大C.各項系數(shù)之和為1 D.的系數(shù)為560【答案】AD【解析】對于A：由題意可知：各項的二項式系數(shù)之和為，解得，故A正確；可得，對于B：因為，則第4項和第5項的二項式系數(shù)最大，故B錯誤；對于C：令，可得各項系數(shù)之和為，故C錯誤；對于D：因為二項展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)為，故D正確；故選：AD.10.下列說法中正確的是（）附：獨立性檢驗中幾個常用的概率值與相應(yīng)的臨界值0.10.050.012.7063.8416.635A.已知離散型隨機(jī)變量，則B.一組數(shù)據(jù)148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位數(shù)為158C若，則事件與相互獨立D.根據(jù)分類變量與的觀測數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗可得：變量與獨立，這個結(jié)論錯誤的概率不超過0.05【答案】BC【解析】對于A：根據(jù)二項分布的方差公式，可得，∴，∴A錯誤；對于B：，根據(jù)百分位數(shù)的定義，這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第8個數(shù)158，∴B正確；對于C：∵，∴，∴，根據(jù)事件獨立性的定義可知，事件與相互獨立，∴C正確；對于D：根據(jù)的值以及常用的概率值與相應(yīng)臨界值可知，依據(jù)的獨立性檢驗，可得變量與相互獨立，即認(rèn)為變量與不相互獨立，犯錯誤的概率大于0.05小于0.1，∴D錯誤．故選：BC11.將兩個各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，則（）A.該幾何體表面積為B.該幾何體的體積為C.過該多面體任意三個頂點的截面中存在兩個平面互相垂直D.直線平面【答案】AC【解析】對于A，，所以表面積為，故A對；對于B，如圖所示：設(shè)點在平面內(nèi)的投影為，為的中點，則由對稱性可知為三角形的重心，所以，又因為，所以正三棱錐的高為，所以題圖所示幾何體的體積為，故B錯；對于C，由B選項可知面，由對稱性可知三點共線，所以面，而面，所以面面，故C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：其中軸平行，因為，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，不妨取，解得，所以取，又，而，所以直線與平面不平行，故D錯.故選：AC.第二卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12.數(shù)列滿足且，則數(shù)列的通項公式是__________．【答案】【解析】設(shè)，則，又因為，所以，則，所以，因為，所以，所以為常數(shù)，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：13.過點與曲線相切的直線方程為______．【答案】【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為，，.則切線方程為，因為在切線上，所以，即又，所以，令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.故答案為：14.已知、為橢圓的左、右焦點，點為該橢圓上一點，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為______.【答案】【解析】根據(jù)題意畫出圖象如下圖所示：利用橢圓定義可知，且；又，利用余弦定理可知：，化簡可得；所以的面積為；設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為；由正弦定理可得，可得；易知的周長為，利用等面積法可知，解得；又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，所以，即可得，所以；離心率.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.近幾年，隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量也隨之增加，我市精品水果店大街小巷遍地開花，其中中華獼猴桃的口感甜酸、可口，風(fēng)味較好，廣受消費者的喜愛.在某水果店，某種獼猴桃整盒出售，每盒20個.已知各盒含0，1個爛果的概率分別為0.8，0.2.（1）顧客甲任取一盒，隨機(jī)檢查其中4個獼猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則買下這盒獼猴桃，否則不會購買此種獼猴桃.求甲購買一盒獼猴桃的概率；（2）顧客乙第1周網(wǎng)購了一盒這種獼猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則下一周繼續(xù)網(wǎng)購一盒；若當(dāng)中有爛果，則隔一周再網(wǎng)購一盒；以此類推，求乙第5周網(wǎng)購一盒獼猴桃的概率解：（1）由題意可得：甲不購買一盒獼猴桃情況為該盒有1個爛果且隨機(jī)檢查其中4個時抽到這個爛果，甲購買一盒獼猴桃的概率.（2）用“√”表示購買，“╳”表示不購買，乙第5周購買有如下可能：第1周第2周第3周第4周第5周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√故乙第5周網(wǎng)購一盒獼猴桃的概率.16.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?解：（1）[方法一]：幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構(gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因，所以平面．又因為平面，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因為三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因為，所以，所以．[方法三]：因為，，所以，故，，所以，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設(shè)平面