高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，必須在答題卡指定位置上用黑筆填寫學(xué)校名、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字涂黑.3．答案必須寫在答題卡相應(yīng)的位置上，寫在其他地方無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位，），則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以復(fù)數(shù)，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”的否定是，,故選：D3.下列函數(shù)中，以為最小正周期的奇函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于是最小正周期為π的奇函數(shù)，則A正確；由于為最小正周期為2π的偶函數(shù)，則B錯(cuò)誤；由于是偶函數(shù)，不符合題意，C錯(cuò)誤；由于是偶函數(shù)，不符合題意，D錯(cuò)誤．故選：A．4.若甲、乙、丙三人排成一行拍照，則甲不在中間的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙、丙三人排成一行，共有種方法，甲不在中間的，共有,故概率為,故選：C5.在正方體中，，分別是棱和上的點(diǎn)，，，那么正方體中過(guò)點(diǎn)，，的截面形狀為（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【答案】B【解析】在正方體中，取，，連接，，，，，，如下圖所示：因?yàn)樵谡襟w中，，分別是棱和上的點(diǎn)，，，所以，且，則四邊形為平行四邊形，則，，又因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，則，，所以，，所以為平行四邊形，則正方體中過(guò)點(diǎn)，，的截面形狀為四邊形.故選：B6.在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)，，的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵谕蛔鴺?biāo)系中，所以函數(shù)，的單調(diào)性一定相反，且圖象均不過(guò)原點(diǎn)，故排除AD；在BC選項(xiàng)中，過(guò)原點(diǎn)的圖象為冪函數(shù)的圖象，且由圖象可知，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故排除B，所以C正確.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故，故，故選：A8.已知經(jīng)過(guò)圓錐SO的軸的截面是頂角為的等腰三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），且上、下兩部分幾何體的體積之比是1：7，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作出圓錐的軸截面，上部分小圓錐一定有內(nèi)切球，故只需下部分圓臺(tái)有內(nèi)切球即可，設(shè)圓臺(tái)的內(nèi)切球的球心，由上、下兩部分幾何體的體積之比是，可得截得的小圓錐與原圓錐的體積之比為，從而可得圓臺(tái)上下底面圓半徑之比為，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，則圓臺(tái)下底面半徑為，圓臺(tái)存在內(nèi)切球時(shí)，由切線長(zhǎng)定理可得圓臺(tái)母線長(zhǎng)，則可得圓錐母線，所以圓錐的軸截面等腰三角形底邊，在中，由余弦定理可得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.本學(xué)期某校舉行了有關(guān)垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圖中x的值為0.030B.被抽取的學(xué)生中成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為15C.估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90D.估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)【答案】AB【解析】對(duì)于A，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，故A正確，對(duì)于B，成績(jī)?cè)趨^(qū)間的頻率為，人數(shù)為，故B正確，對(duì)于C，眾數(shù)為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，平均成績(jī)，低于80分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為分，則，解得，平均數(shù)小于中位數(shù)，D錯(cuò)誤，故選：AB．10.已知向量，且，則（）A.B.C.向量與向量的夾角是D.向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，∴，，∴，解得，故，選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，故，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，向量與向量的夾角是，選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)，向量在向量上的投影向量，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知，設(shè)函數(shù)滿足，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，不一定是常數(shù)函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】由可得，聯(lián)立兩式可得，對(duì)于A,取，則，A正確，對(duì)于B，若時(shí)，，故，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，取，則，解得，故C正確，對(duì)于D，若且時(shí)，此時(shí)，則，故顯然滿足，若，則，此時(shí)，故成立，若，則，此時(shí)，故成立，故D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線______對(duì)稱．【答案】【解析】由于與互為反函數(shù)，所以與圖象關(guān)于對(duì)稱，故答案為：13.若某扇形的圓心角為，面積為，則該扇形的半徑是______．【答案】【解析】設(shè)扇形的面積為，則扇形面積，解得：.故答案為：.14.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，，若的面積為，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，由余弦定理得，因?yàn)椋?，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以，，由正弦定理，得，，若的面積為，則，解得，所以.故答案：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值、最小值及相應(yīng)的x的值．解：（1），故；由，令，，則，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）當(dāng)時(shí)，，則，即，即在區(qū)間上的最小值和最大值分別為0，3，當(dāng)，即時(shí)，有最小值0，當(dāng)，即時(shí)，有最大值3．16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，與底面所成的角為45°，為的中點(diǎn)．（1）求證：⊥平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小．解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，則為與平面所成的角，與平面所成的角為45°，所以，則，又為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，又?平面，平面，故⊥平面，平面，所以，平面，所以平面．（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，平面，故平?平面，所以，又，則即為所求，由（1）知：，而，則，故,,所以．17.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以在處的切線方程為：．（2）由題意可得：，注意到，①若，，則在上單調(diào)遞減，②若，令時(shí)，解得，當(dāng)，；當(dāng)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．18.已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，上頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)F，離心率．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．（i）若直線l與MF垂直，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程；（ii）是否存在直線l，使F恰為的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題意得：，，則，所以，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（i）由題意得：，因?yàn)?，所以，則，設(shè)直線，，，聯(lián)立，可得，，所以，由韋達(dá)定理得：，，，設(shè)線段PQ中點(diǎn)為，則，，則PQ中點(diǎn)的軌跡方程為．（ii）因?yàn)镕恰為的垂心，有所以又，得，即，代入韋達(dá)定理得，解得或．經(jīng)檢驗(yàn)符合條件，則直線l的方程為：．19.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）定義：已知數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，稱為“4一偶數(shù)項(xiàng)和整除數(shù)列”．（i）計(jì)算，，其中，．（ii）若為“4-偶數(shù)項(xiàng)和整除數(shù)列”，求的最小值．解：（1）由可得，根據(jù)可得，由可得，且，所以是以首項(xiàng)為3，公比為3等比數(shù)列，故．（2）（i），．（ii）方法一：當(dāng)時(shí)，，顯然，，2，3不滿足題意，時(shí)，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，，故，得證．方法二：當(dāng)時(shí)，，顯然，，2，3不滿足題意．時(shí)，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)榍遥旅孀C明對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，故，故對(duì)恒成立，所以，得證，故最小值為4.浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，必須在答題卡指定位置上用黑筆填寫學(xué)校名、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字涂黑.3．答案必須寫在答題卡相應(yīng)的位置上，寫在其他地方無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位，），則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以復(fù)數(shù)，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”的否定是，,故選：D3.下列函數(shù)中，以為最小正周期的奇函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于是最小正周期為π的奇函數(shù)，則A正確；由于為最小正周期為2π的偶函數(shù)，則B錯(cuò)誤；由于是偶函數(shù)，不符合題意，C錯(cuò)誤；由于是偶函數(shù)，不符合題意，D錯(cuò)誤．故選：A．4.若甲、乙、丙三人排成一行拍照，則甲不在中間的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙、丙三人排成一行，共有種方法，甲不在中間的，共有,故概率為,故選：C5.在正方體中，，分別是棱和上的點(diǎn)，，，那么正方體中過(guò)點(diǎn)，，的截面形狀為（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【答案】B【解析】在正方體中，取，，連接，，，，，，如下圖所示：因?yàn)樵谡襟w中，，分別是棱和上的點(diǎn)，，，所以，且，則四邊形為平行四邊形，則，，又因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，則，，所以，，所以為平行四邊形，則正方體中過(guò)點(diǎn)，，的截面形狀為四邊形.故選：B6.在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)，，的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵谕蛔鴺?biāo)系中，所以函數(shù)，的單調(diào)性一定相反，且圖象均不過(guò)原點(diǎn)，故排除AD；在BC選項(xiàng)中，過(guò)原點(diǎn)的圖象為冪函數(shù)的圖象，且由圖象可知，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故排除B，所以C正確.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故，故，故選：A8.已知經(jīng)過(guò)圓錐SO的軸的截面是頂角為的等腰三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），且上、下兩部分幾何體的體積之比是1：7，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作出圓錐的軸截面，上部分小圓錐一定有內(nèi)切球，故只需下部分圓臺(tái)有內(nèi)切球即可，設(shè)圓臺(tái)的內(nèi)切球的球心，由上、下兩部分幾何體的體積之比是，可得截得的小圓錐與原圓錐的體積之比為，從而可得圓臺(tái)上下底面圓半徑之比為，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，則圓臺(tái)下底面半徑為，圓臺(tái)存在內(nèi)切球時(shí)，由切線長(zhǎng)定理可得圓臺(tái)母線長(zhǎng)，則可得圓錐母線，所以圓錐的軸截面等腰三角形底邊，在中，由余弦定理可得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.本學(xué)期某校舉行了有關(guān)垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圖中x的值為0.030B.被抽取的學(xué)生中成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為15C.估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90D.估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)【答案】AB【解析】對(duì)于A，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，故A正確，對(duì)于B，成績(jī)?cè)趨^(qū)間的頻率為，人數(shù)為，故B正確，對(duì)于C，眾數(shù)為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，平均成績(jī)，低于80分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為分，則，解得，平均數(shù)小于中位數(shù)，D錯(cuò)誤，故選：AB．10.已知向量，且，則（）A.B.C.向量與向量的夾角是D.向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，∴，，∴，解得，故，選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，故，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，向量與向量的夾角是，選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)，向量在向量上的投影向量，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知，設(shè)函數(shù)滿足，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，不一定是常數(shù)函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】由可得，聯(lián)立兩式可得，對(duì)于A,取，則，A正確，對(duì)于B，若時(shí)，，故，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，取，則，解得，故C正確，對(duì)于D，若且時(shí)，此時(shí)，則，故顯然滿足，若，則，此時(shí)，故成立，若，則，此時(shí)，故成立，故D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線______對(duì)稱．【答案】【解析】由于與互為反函數(shù)，所以與圖象關(guān)于對(duì)稱，故答案為：13.若某扇形的圓心角為，面積為，則該扇形的半徑是______．【答案】【解析】設(shè)扇形的面積為，則扇形面積，解得：.故答案為：.14.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，，若的面積為，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以，，由正弦定理，得，，若的面積為，則，解得，所以.故答案：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值、最小值及相應(yīng)的x的值．解：（1），故；由，令，，則，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）當(dāng)時(shí)，，則，即，即在區(qū)間上的最小值和最大值分別為0，3，當(dāng)，即時(shí)，有最小值0，當(dāng)，即時(shí)，有最大值3．16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，與底面所成的角為45°，為的中點(diǎn)．（1）求證：⊥平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小．解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，則為與平面所成的角，與平面所成的角為45°，所以，則，又為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，又?平面，平面，故⊥平面，平面，所以，平面，所以平面．（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，平面，故平?平面，所以，又，則即為所求，由（1）知：，而，則，故,,所以．17.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的