高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，所以.故選：D2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，故選：D.3.已知全集且，則集合中元素有（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.7個(gè)【答案】B【解析】依題意，，解不等式，得，則，所以，集合中的元素有4個(gè).故選：B4.已知集合滿足，則有（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.7個(gè)【答案】D【解析】集合滿足，則集合可視為集合與集合的每個(gè)真子集的并集，而集合的真子集個(gè)數(shù)為，所以有7個(gè).故選：D5.若和，則和的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選：C6.設(shè)，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，取，滿足，而，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取滿足，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由不等式性質(zhì)知，由，得，D正確.故選：D7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C.， D.【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是偶函數(shù)，又由冪函數(shù)的性質(zhì)知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閳D象不關(guān)于軸對(duì)稱，即不是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，是非奇非偶函數(shù)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：A.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t“為奇函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因函數(shù)的定義域是,故“為奇函數(shù)”是“”的充分條件；

反之,若,則函數(shù)不一定是奇函數(shù),“f(x)為奇函數(shù)”不是必要條件.應(yīng)選A.9.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由在區(qū)間上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn)，得且或且，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C10.，設(shè)取，，三個(gè)函數(shù)值中的最小值，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線，，，由取，，三個(gè)函數(shù)值中的最小值，得的圖象為下圖中實(shí)線構(gòu)成的折線圖，則的最大值即為的圖象最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值，觀察圖象知，的圖象最高點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，由，得，因此的圖象最高點(diǎn)是，所以的最大值為2.故選：B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】依題意，，解得，所以函數(shù)的定義域是.故答案：12.已知奇函數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】由奇函數(shù)滿足，得，所以.故答案為：13.已知，，且是的必要不充分條件，則的取值范圍是______【答案】【解析】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，則，又，，所以，故答案為：.14.已知，則的最大值是______，當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，等號(hào)成立.【答案】①.②.【解析】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：；15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)的增區(qū)間為；③不等式的解集是；④當(dāng)時(shí)，令，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①④【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于①，，函數(shù)偶函數(shù)，①正確；對(duì)于②，，函數(shù)的增區(qū)間為，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，不等式，則或，解得或，所以不等式的解集是，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，即，所以的最小值為，④正確.故所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④.故答案為：①④三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.求下列方程（組）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由得，，解得，故方程的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，方程無解，解集為，當(dāng)時(shí)，解方程得，方程解集為.（3）令，則方程可化為，解方程得，（舍），，故方程解集為.（4）由得，，解得,方程組的解為，，故方程組解集為.17.求下列不等式（組）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由，得到，所以或，故不等式的解集為或.（2）由，即，得到，所以，故不等式的解集為.（3）由，得到，等價(jià)于且，所以或，故不等式的解集為或.（4）由，得到，即，對(duì)，因?yàn)?，所以的解集為，故不等式組的解集為.18.已知關(guān)于的方程，.（1）當(dāng)時(shí)，若方程兩根為與，求下列各式的值：①;②;③;（2）若該方程的兩根同號(hào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，方程，，則，①；②；③.（2）由方程的兩根同號(hào)，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式及定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（3）令，求的解析式，并證明的圖像關(guān)于對(duì)稱.（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，則，得到，所以，定義域?yàn)?（2）解：函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為偶函數(shù).（3）證明：因?yàn)?，設(shè)是圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)也在圖象上，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，比較與的次小.解：（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為直線，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，故函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，，，當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)時(shí)，，，綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為直線，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且，∵，∴，故.21.設(shè)集合，對(duì)于集合A中的任意元素和及實(shí)數(shù)，定義：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；.若A的子集滿足：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則稱為A的完美子集.（1）集合，，分別判斷這兩個(gè)集合是否為A的完美子集，并說明理由；（2）集合，若不是A的完美子集，求的值.解：（1）是A的完美子集，不是A的完美子集，理由如下：對(duì)于，因?yàn)?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以是A的完美子集；對(duì)于，因?yàn)?，所以，令，所以存在無數(shù)組解使得，如當(dāng)時(shí)，，所以不是A的完美子集.（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椴皇茿的完美子集，所以存在，使得，即存在使得，解方程組得，由集合互異性可得且，故且，所以解得或，且由得，若，則有，所以存在無數(shù)組解使得，如當(dāng)時(shí)，，所以不是A的完美子集，符合題意；當(dāng)且時(shí)，則由得，所以由得，又得，故，不符合題意；綜上的值為.北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，所以.故選：D2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，故選：D.3.已知全集且，則集合中元素有（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.7個(gè)【答案】B【解析】依題意，，解不等式，得，則，所以，集合中的元素有4個(gè).故選：B4.已知集合滿足，則有（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.7個(gè)【答案】D【解析】集合滿足，則集合可視為集合與集合的每個(gè)真子集的并集，而集合的真子集個(gè)數(shù)為，所以有7個(gè).故選：D5.若和，則和的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選：C6.設(shè)，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，取，滿足，而，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取滿足，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由不等式性質(zhì)知，由，得，D正確.故選：D7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C.， D.【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是偶函數(shù)，又由冪函數(shù)的性質(zhì)知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閳D象不關(guān)于軸對(duì)稱，即不是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，是非奇非偶函數(shù)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：A.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則“為奇函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因函數(shù)的定義域是,故“為奇函數(shù)”是“”的充分條件；

反之,若,則函數(shù)不一定是奇函數(shù),“f(x)為奇函數(shù)”不是必要條件.應(yīng)選A.9.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由在區(qū)間上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn)，得且或且，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C10.，設(shè)取，，三個(gè)函數(shù)值中的最小值，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線，，，由取，，三個(gè)函數(shù)值中的最小值，得的圖象為下圖中實(shí)線構(gòu)成的折線圖，則的最大值即為的圖象最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值，觀察圖象知，的圖象最高點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，由，得，因此的圖象最高點(diǎn)是，所以的最大值為2.故選：B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】依題意，，解得，所以函數(shù)的定義域是.故答案：12.已知奇函數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】由奇函數(shù)滿足，得，所以.故答案為：13.已知，，且是的必要不充分條件，則的取值范圍是______【答案】【解析】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，則，又，，所以，故答案為：.14.已知，則的最大值是______，當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，等號(hào)成立.【答案】①.②.【解析】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：；15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)的增區(qū)間為；③不等式的解集是；④當(dāng)時(shí)，令，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①④【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于①，，函數(shù)偶函數(shù)，①正確；對(duì)于②，，函數(shù)的增區(qū)間為，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，不等式，則或，解得或，所以不等式的解集是，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，即，所以的最小值為，④正確.故所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④.故答案為：①④三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.求下列方程（組）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由得，，解得，故方程的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，方程無解，解集為，當(dāng)時(shí)，解方程得，方程解集為.（3）令，則方程可化為，解方程得，（舍），，故方程解集為.（4）由得，，解得,方程組的解為，，故方程組解集為.17.求下列不等式（組）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由，得到，所以或，故不等式的解集為或.（2）由，即，得到，所以，故不等式的解集為.（3）由，得到，等價(jià)于且，所以或，故不等式的解集為或.（4）由，得到，即，對(duì)，因?yàn)?，所以的解集為，故不等式組的解集為.18.已知關(guān)于的方程，.（1）當(dāng)時(shí)，若方程兩根為與，求下列各式的值：①;②;③;（2）若該方程的兩根同號(hào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，方程，，則，①；②；③.（2）由方程的兩根同號(hào)，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式及定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（3）令，求的解析式，并證明的圖像關(guān)于對(duì)稱.（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，則，得到，所以，定義域?yàn)?（2）解：函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為偶函數(shù).（3）證明：因?yàn)?，設(shè)是圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)也在圖象上，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，比較與的次小.解：（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為直線，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，故函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，，，當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)時(shí)，，，綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為直線，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且，∵，∴，故.21.設(shè)集合，對(duì)于集合A中的任意元素和及實(shí)數(shù)，定義：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；.若A的子集滿足：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則稱為