高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省衡陽市祁東縣2024-2025學年高一上學期1月期末考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，所以“”不能推出“”，“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象的每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮?shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，將函數(shù)的圖象的每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮瑱M坐標保持不變，可得函數(shù)的圖象，所以.故選：A.4.若對任意恒成立，且，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】由對任意恒成立，令，得，解得.故選：B.5.若矩形的周長為4，則的最小值為（）A.8 B.4 C.9 D.4.5【答案】D【解析】由矩形的周長為4，得，且，則，當且僅當，即時，等號成立.則的最小值為.故選：D.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得；則.故選：D.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵且，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，∴；∵且，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴；∵冪函數(shù)恒大于0，∴；∴.故選：C.8.已知函數(shù)恰有個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于函數(shù)，顯然為偶函數(shù)，不妨令，則，且當時，，當時，，且函數(shù)在上是遞增的，所以可作草圖如下，因為恰有個零點，所以方程有四個不同的解，即與的圖像有四個交點，所以或.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列判斷正確的是（）A.B.若一個扇形的圓心角為2，半徑也為2，則該扇形的弧長為4C.D.若一個扇形的圓心角為2，半徑也為2，則該扇形的面積為4【答案】BCD【解析】A項，由誘導公式，故A錯誤；BD項，扇形的圓心角為2，半徑也為2，則由扇形弧長公式可得弧長；由扇形面積公式可得，故BD正確；C項，，故C正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.的最小正周期為 D.的圖象關(guān)于點對稱【答案】ABD【解析】函數(shù)的定義域為，，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以奇函數(shù)，A正確；由可得，，所以函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，B正確；因為，所以是函數(shù)的周期，C錯誤；因為，函數(shù)的定義域為，，定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于原點對稱，所以的圖象關(guān)于點對稱，D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則的值可能為（）A.2 B. C. D.【答案】BC【解析】由于函數(shù)且在上單調(diào)遞減，設(shè)，當時，關(guān)于在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，即，解得，綜上可知當時，關(guān)于在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則在上，單調(diào)遞增，即，解得，與矛盾，因此這種情況不成立.由此可知，因此和符合題意.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.關(guān)于，這兩個函數(shù)，小鄭和小李有各自不同的判斷，小鄭認為這兩個函數(shù)都不是冪函數(shù)，小李認為是冪函數(shù).若小鄭和小李的判斷都是錯誤的，則的值為_____________.【答案】4【解析】由題意可知，不是冪函數(shù)，則一定是是冪函數(shù).所以，即.13.若集合，，則的取值范圍為_____________.【答案】【解析】，有，所以集合，又，所以，解得：.14.如圖，已知是半徑為的扇形，，是弧上的動點，過點作，垂足為，某地區(qū)欲建一個風景區(qū)，該風景區(qū)由和矩形組成，且，則該風景區(qū)面積的最大值為_____________.【答案】【解析】設(shè)，則，，則，則，設(shè)該風景區(qū)面積為，則，令，則，即函數(shù)對稱軸，即當時，面積取最大值，此時.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.解：（1）設(shè)的周期，在區(qū)間的長度為的，故，計算得：，故，，即，解得，，又因為，故，所以.（2）在上，，故，因此，即在上的值域.16.已知函數(shù)的定義域為，集合.（1）當時，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由有意義可得，解得且，所以函數(shù)的定義域為且，所以且，又，，故，所以且.（2）由（1）或，，當時，即時，，此時，當時，，由可得，或，解得，，所以的取值范圍為或.17.已知函數(shù).（1）證明：的圖像關(guān)于直線對稱.（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間.（3）若，求的值.解：（1），，，令，解得，令，則，即的圖像關(guān)于直線對稱.（2）令，解得，的單調(diào)遞減區(qū)間：.（3）由題意知，，∵，∴，∴，∴，∴.18.已知命題，.（1）寫出命題的否定；（2）判斷命題的真假，說明你的理由.（3）若，比較與大小.解：（1）命題的否定：，.（2）命題為真命題，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，所以命題為真命題.（3）設(shè)，所以比較與大小即可，由（2）可知當，，故時，，故，即，等式在，即時也成立，因此對于，.19.（1）求函數(shù)的值域.（2）已知.①求的最大值；②已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求的最小值.解：（1）因為，令，則，所以，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的值域為.（2）①因為，所以，根據(jù)方程左右兩側(cè)的結(jié)構(gòu)特點考慮構(gòu)造函數(shù)，則，因為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的最大值為，此時，，②由①知，，故，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取最小值，最小值為，所以當，即時，取最小值，最小值為.湖南省衡陽市祁東縣2024-2025學年高一上學期1月期末考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，所以“”不能推出“”，“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象的每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，將函數(shù)的圖象的每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，橫坐標保持不變，可得函數(shù)的圖象，所以.故選：A.4.若對任意恒成立，且，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】由對任意恒成立，令，得，解得.故選：B.5.若矩形的周長為4，則的最小值為（）A.8 B.4 C.9 D.4.5【答案】D【解析】由矩形的周長為4，得，且，則，當且僅當，即時，等號成立.則的最小值為.故選：D.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得；則.故選：D.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵且，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，∴；∵且，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴；∵冪函數(shù)恒大于0，∴；∴.故選：C.8.已知函數(shù)恰有個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于函數(shù)，顯然為偶函數(shù)，不妨令，則，且當時，，當時，，且函數(shù)在上是遞增的，所以可作草圖如下，因為恰有個零點，所以方程有四個不同的解，即與的圖像有四個交點，所以或.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列判斷正確的是（）A.B.若一個扇形的圓心角為2，半徑也為2，則該扇形的弧長為4C.D.若一個扇形的圓心角為2，半徑也為2，則該扇形的面積為4【答案】BCD【解析】A項，由誘導公式，故A錯誤；BD項，扇形的圓心角為2，半徑也為2，則由扇形弧長公式可得弧長；由扇形面積公式可得，故BD正確；C項，，故C正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.的最小正周期為 D.的圖象關(guān)于點對稱【答案】ABD【解析】函數(shù)的定義域為，，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以奇函數(shù)，A正確；由可得，，所以函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，B正確；因為，所以是函數(shù)的周期，C錯誤；因為，函數(shù)的定義域為，，定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于原點對稱，所以的圖象關(guān)于點對稱，D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則的值可能為（）A.2 B. C. D.【答案】BC【解析】由于函數(shù)且在上單調(diào)遞減，設(shè)，當時，關(guān)于在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，即，解得，綜上可知當時，關(guān)于在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則在上，單調(diào)遞增，即，解得，與矛盾，因此這種情況不成立.由此可知，因此和符合題意.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.關(guān)于，這兩個函數(shù)，小鄭和小李有各自不同的判斷，小鄭認為這兩個函數(shù)都不是冪函數(shù)，小李認為是冪函數(shù).若小鄭和小李的判斷都是錯誤的，則的值為_____________.【答案】4【解析】由題意可知，不是冪函數(shù)，則一定是是冪函數(shù).所以，即.13.若集合，，則的取值范圍為_____________.【答案】【解析】，有，所以集合，又，所以，解得：.14.如圖，已知是半徑為的扇形，，是弧上的動點，過點作，垂足為，某地區(qū)欲建一個風景區(qū)，該風景區(qū)由和矩形組成，且，則該風景區(qū)面積的最大值為_____________.【答案】【解析】設(shè)，則，，則，則，設(shè)該風景區(qū)面積為，則，令，則，即函數(shù)對稱軸，即當時，面積取最大值，此時.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.解：（1）設(shè)的周期，在區(qū)間的長度為的，故，計算得：，故，，即，解得，，又因為，故，所以.（2）在上，，故，因此，即在上的值域.16.已知函數(shù)的定義域為，集合.（1）當時，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由有意義可得，解得且，所以函數(shù)的定義域為且，所以且，又，，故，所以且.（2）由（1）或，，當時，即時，，此時，當時，，由可得，或，解得，，所以的取值范圍為或.17.已知函數(shù).（1）證明：的圖像關(guān)于直線對稱.（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間.（3）若，求的值.解：（1），，，令，解得，令，則，即的圖像關(guān)于直線對稱.（2）令，解得，的單調(diào)遞減區(qū)間：.（3）由題意知，，∵，∴，∴，∴，∴.18.已知命題，.（1）寫出命題的否定；（2）判斷命題的真假，說明你的理由.（3）若，比較與大小.解：（1）命題的否定：，.（2）命題為真命題，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，所以命題為真命題.（3）設(shè)，所以比較與大小即可，由（2）可知當，，故時，，故，即