高數(shù)學(xué)考試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.曲線\(y=x^{2}\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)=x^{3}\)，則\(f^\prime(2)\)等于（）A.4B.6C.8D.125.\(\intx^{2}dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^{3}+C\)B.\(3x^{3}+C\)C.\(\frac{1}{2}x^{2}+C\)D.\(2x^{2}+C\)6.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\([0,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)7.已知\(f(x)\)為奇函數(shù)，且\(f(3)=5\)，則\(f(-3)\)等于（）A.5B.-5C.0D.無(wú)法確定8.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}\)的值是（）A.0B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.不存在9.函數(shù)\(y=e^{x}\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\lnx\)B.\(y=-\lnx\)C.\(y=e^{-x}\)D.\(y=-e^{x}\)10.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)f(b)\lt0\)，則在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一點(diǎn)\(\xi\)，使得（）A.\(f(\xi)=0\)B.\(f^\prime(\xi)=0\)C.\(f^{\prime\prime}(\xi)=0\)D.以上都不對(duì)答案：1.A2.B3.B4.D5.A6.A7.B8.B9.A10.A多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\ln\frac{1-x}{1+x}\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{2}+1}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.函數(shù)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)\(f_{-}^\prime(x_0)\)和右導(dǎo)數(shù)\(f_{+}^\prime(x_0)\)都存在C.\(f_{-}^\prime(x_0)=f_{+}^\prime(x_0)\)D.函數(shù)在點(diǎn)\(x_0\)處有定義4.下列積分中，正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^{x}dx=e^{x}+C\)D.\(\intx^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)5.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)6.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的最大值可能在（）取得A.區(qū)間端點(diǎn)\(a\)處B.區(qū)間端點(diǎn)\(b\)處C.區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn)處D.區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處7.下列說(shuō)法正確的是（）A.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)B.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)C.函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0，該點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)D.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)8.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)為\(F(x)\)，則（）A.\(F^\prime(x)=f(x)\)B.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)C.\(f^\prime(x)=F(x)\)D.\(\intF(x)dx=f(x)+C\)9.對(duì)于函數(shù)\(y=x^{3}-3x\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.有兩個(gè)駐點(diǎn)B.有極大值點(diǎn)C.有極小值點(diǎn)D.沒(méi)有極值點(diǎn)10.下列關(guān)于極限的運(yùn)算性質(zhì)正確的有（）A.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)+\lim\limits_{x\toa}g(x)\)B.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)\cdot\lim\limits_{x\toa}g(x)\)C.\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\toa}f(x)}{\lim\limits_{x\toa}g(x)}(\lim\limits_{x\toa}g(x)\neq0)\)D.\(\lim\limits_{x\toa}kf(x)=k\lim\limits_{x\toa}f(x)\)（\(k\)為常數(shù)）答案：1.ABD2.BC3.BC4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.AC8.AB9.ABC10.ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^{2}+1\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增。（）2.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e\)。（）4.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的導(dǎo)數(shù)是\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。（）5.\(\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}\)。（）6.若\(f(x)\)為偶函數(shù)，則\(f^\prime(x)\)為奇函數(shù)。（）7.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）8.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。（）9.函數(shù)\(y=e^{-x}\)的圖像是單調(diào)遞減的。（）10.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^{3}-2x+1\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。\(y^\prime=(x^{3})^\prime-(2x)^\prime+(1)^\prime=3x^{2}-2\)。2.計(jì)算\(\int(2x+e^{x})dx\)。答案：根據(jù)積分運(yùn)算法則\(\int(f(x)+g(x))dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)。\(\int(2x+e^{x})dx=\int2xdx+\inte^{x}dx=x^{2}+e^{x}+C\)。3.求函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域。答案：對(duì)數(shù)函數(shù)\(\lnt\)中\(zhòng)(t\gt0\)，所以\(x+1\gt0\)，解得\(x\gt-1\)，定義域?yàn)閈((-1,+\infty)\)。4.簡(jiǎn)述函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。答案：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)?？蓪?dǎo)是連續(xù)的充分不必要條件，即若函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，則在此點(diǎn)必然連續(xù)；但函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，在此點(diǎn)不一定可導(dǎo)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^{2}-4x+3\)的單調(diào)性和極值。答案：先求導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=2x-4\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt2\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)遞減；當(dāng)\(x\gt2\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增。所以\(x=2\)為極小值點(diǎn)，極小值為\(2^{2}-4\times2+3=-1\)。2.討論定積分和不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將二者相連。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是一個(gè)數(shù)值，是函數(shù)在區(qū)間上的積累量，與積分上下限有關(guān)，計(jì)算后無(wú)常數(shù)\(C\)。3.討論函數(shù)極限與數(shù)列極限的異同。