6.盤點全國卷中的比較大小問題1.單調性再搭橋具體操作步驟如下：①底數相同，指數不同時，如和，利用指數函數的單調性；②指數相同，底數不同，如和利用冪函數單調性比較大??；③底數相同，真數不同，如和利用指數函數單調性比較大小；④底數、指數、真數都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定.⑤換底公式要記牢！例1．（2019全國1卷）已知，則A． B． C． D．解析：則．故選B．點評：送分題.例2．(2019年3卷)設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，則A．B．C．D．解析：是上的偶函數，．，又在(0，+∞)單調遞減，，，故選C．例3．(2016年3卷理科)已知,,,則 ()A． B． C． D．解析:因為,,故選A.例4．(2016年1卷理科)若，則 ()A.B.C.D.解析：對A： 由于，∴函數在上單調遞增，因此，A錯誤；對B：由于，∴函數在上單調遞減，∴，B錯誤；對C：要比較和，只需比較和，只需比較和，只需和構造函數，則，在上單調遞增，因此又由得，∴，C正確對D：要比較和，只需比較和而函數在上單調遞增，故又由得，∴，D錯誤，故選C．例5．(2017年1卷理科)設為正數,且,則 ()A． B． C． D．解析：令,則,,∴,則，,則,故選D．2．結合重要不等式基本不等式，糖水不等式以及一些重要的恒等關系等需注意.例6．（2018全國3卷）設，，則A． B．C． D．詳解：.,即，又，即，故選B.例7.（2020全國3卷）已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（）A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b解析：由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.例8.（2020新高考1卷）.已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A. B.C. D.解析：對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：ABD3．結構一致可同構例9．(2020年高考2卷理科)若，則 ()A． B． C． D．解析：由得：，令，為上的增函數，為上的減函數，為上的增函數，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定．故選：A．例10．(2020年高考1卷理科)若，則 ()A． B． C． D．解析：設，則為增函數，因為所以，所以，所以．，當時，，此時，有當時，，此時，有，所以C、D錯誤．故選：B．4.構造函數比較大小1.構造相同函數，比較不同函數值2.構造不同函數，比較相同函數值這類問題雖然可能幾個數的形式不一致，但它們的特別是不同的函數取了相同的函數值，所以實質在比較不同函數差值或者商的性質，當然，這種問題下，如果自變量取值靠近基本初等函數的麥克勞林級數展開點，利用泰勒展開來近似估計絕對是一個很好的方法!3.構造不同函數，比較不同函數值這個時候，不等式放縮就是首選之道了！下面的這些不等式放縮需要你的注意.4.先同構，再構造，再比較當題干呈現一個較復雜的等式或者不等式關系，并沒有前幾類那么明顯的數字時，往往可能現需要同構（變形）出一個函數之后再來比較大小.例11．已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．解析：方法1.，，由，，可得，又為上增函數，則，即，故選：B方法2.設，則，當時，，所以在上遞增，在上遞減.由于，，故選.例12．若，則（

）A． B．C． D．解析：設，則，當時，，所以在上遞增，在上遞減，因為，所以，，因為，所以；故.故選：A.注：在這里，我們需要特別注意函數在相關比較大小問題中的出鏡率，以及結合對數性質，所出現的型等等，比如可以看下例.例13．設，，，則（

）A． B． C． D．解析：設，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.而，，，因為，所以．故選：A．二．構造不同函數，比較相同函數值這類問題雖然可能幾個數的形式不一致，但它們的特別是不同的函數取了相同的函數值，所以實質在比較不同函數差值或者商的性質，當然，這種問題下，如果自變量取值靠近基本初等函數的麥克勞林級數展開點，利用泰勒展開來近似估計絕對是一個很好的方法!例14．（2022新高考1卷）設，則（

）A． B． C． D．解析：方法1.構造函數，作差（商）比較大小，即討論差（商）函數的性質.令，，，為了方便比較，做如下處理：，；，所以，所以，所以，，令，所以，所以，所以，所以，所以．方法2.構造函數，利用泰勒展開直接估值.構造函數.則可以看到：，由于較小，所以對上述三個函數在處進行二階泰勒展開：；（公眾號：凌晨講數學）；.在處，顯然，故.例15．設，，，，則（

）A． B． C． D．解析：方法1.（構造函數，泰勒展開估計）設，，，，注意到題干實質在比較：，且考慮到接近于0，故對上述函數在進行泰勒展開即：，代入到上式，顯然易得：，故選：B方法2.（構造函數，作差比大?。┮椎?設，則令有，故在上單調遞增.①因為，即，故，即，故，即.②設，則，設，則.設，則，故為增函數，故，即.故，當時，為增函數，故，故當時為增函數，故，故.③設，，易得當時，故，即.綜上三．構造不同函數，比較不同函數值這個時候，不等式放縮就是首選之道了！下面的這些不等式放縮需要你的注意.1.切線不等式：高中幾個重要的函數都具有凸凹性，這樣我們便可通過切線來構造不等式，具體的原理請見《高觀點：函數凸凹性》，這里只列舉一些重要的切線不等式：；1.2；將這兩個切線不等式進行合適的取值與加減項，又可得到更多的不等式：①②；③；2.高次不等式放縮2.1；2.2；2.3；2.4.3.分式不等式放縮3.13.2例16．已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．解：設，，令，解得.，，單調遞減，，，單調遞增.所以，即，當且僅當時取等號.所以.又，故，所以；設，，令，解得.，，單調遞增，，，單調遞減.所以，即，當且僅當時取等號.所以，故，又，所以，故.故選：B.例17.設，（e是自然對數的底數），則（

）A． B．C． D．解析：由于，故所以對也用帕德逼近，故.當題干呈現一個較復雜的等式或者不等式關系，并沒有前幾類那么明顯的數字時，往往可能現需要同構（變形）出一個函數之后再來比較大小.例18.已知且且且，則（）A. B. C. D.解析：因為，故，同理，令，則，當時，，當時，，故在為減函數，在為增函數，因為，故，即，而，故，同理，，，因為，故，所以.故選：D．例19.已知e為自然對數的底數，a，b均為大于1的實數，若，則（

）A． B． C． D．解析：由，可得，即，設，可得，因為，可得，又因為，所以，即，所以，當時，，可得函數在為單調遞增函數，所以，即.故選B.三．習題演練1．已知函數，記，則（

）A． B． C． D．解析：因為，所以；又因為，所以，又因為在上單調遞減，所以，故選：D．2．已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，若，，，則a,b,c的大小關系是（

）A． B． C． D．解析：令，由是定義在上的奇函數，可得是定義在上的偶函數，又因為時，，所以在上是減函數，所以是定義在上的增函數，構建，則，可知在內單調遞增，則，可得；構建，則，可知在內單調遞增，則，可得；由，可得，故，所以；設，則，所以在單調遞增，故，所以，即，所以，所以，故選：D3．已知定義在上的函數的導函數為，對于任意的實數都有，且時，．若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．解析：令，對于任意的實數都有，即為偶函數；；當時，，當時，為增函數；又，，即.故選：C.4．已知函數的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（

）A． B．C． D．解析：因為當時，所以，又因為，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無證據表明ACD一定正確.故選：B.5．已知正實數，滿足，則的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．解析：由題，構造函數，則，顯然在上單調遞增，所以，即，所以，當且僅當，時等號成立.所以的最大值為0.故選：A.6．已知，則（

）A． B． C． D．解析：設，則，所以在單調遞增，所以，即當時，有，所以．同理可得，所以，即．設，則0，所以在單調遞增，所以，即當時，有，所以．又因為，所以．綜上可知，．故選：B．7．已知實數，分別滿足，，且，則（

）A． B． C． D．解析：由，，得，，設，則，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，即，同理可證，所以，當時，可得，即，設，則，所以當時，f′x<0，單調遞減，當時，f′x>0，單調遞增，所以，即，整理得，即，所以.故選：C8．德國數學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，對，，且，總有，則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．解析：A選項，根據可得，在R上單調遞增，因為，所以，A正確；B選項，因為，，且，總有，所以函數圖象上凸，畫出函數圖象，由幾何意義可知，表示函數圖象上的各點處的切線斜率，顯然隨著的增大，切線斜率變小，且恒為正，因為，所以，B正確；C選項，，結合函數圖象可知，C錯誤，D正確.

故選：ABD9．已知函數，且，則（

）A． B．C． D．解析：，則，函數是定義在上的奇函數，在上單調遞減且下凸（類