高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)精選解三角形

?隹）卷?③

高考預(yù)測

“解三角形”是高考必考內(nèi)容，在選擇題、填空題中考查較多，有時(shí)也會(huì)

出現(xiàn)在解答題中.

對于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用；二是考查兩個(gè)定

理的綜合應(yīng)用，可能與三角變換、平面向量等知識綜合命題.

以實(shí)際生活為背景（如測量、航海、幾何天體運(yùn)行和物理學(xué)上的應(yīng)用等）考

查解三角形問題，此類問題在近幾年高考中雖未涉及，但深受高考命題者

的青睞，應(yīng)給予關(guān)注.

在高考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大多數(shù)為容易題、中檔題.

預(yù)測分值：5分?12分

必考指數(shù)：★★★★★

1.“正弦定理”與“余弦定理”的選用策略：

在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是詼個(gè)

定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息.

（1）如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；

（2）如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；

（3）以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

2.“邊化角”或“角化邊”的變換策略：

（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理"角化邊

（2）若式子中含有。、〃、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角〉時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定

理.

3.三角形面積的最值問題的解題策略：

<1）找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值；

（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.

逮題回顧

1.（2022?甲卷）已知AA8C中，點(diǎn)。在邊8C上，ZADB=120°,4）=2,

CD=2BD.當(dāng)江取得最小值時(shí)，BD=

AB----

2.（2022?上海）已知在AA8C中，ZA=-,AB=2,AC=3,則的外接

3

圓半徑為—.

3.（2023?上海）在AA8C中，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為“、8、c,其

中〃=2.

（1）若A+C=120。，a=2cf求邊長c;

(2)若A-C=15。，a=y/2csinAf求AASC的面積.

d.（2022?仝國）記A48C的內(nèi)角人，B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinA=3sin3,C=—>c=x/7.

3

（1）求a;

（2）求sinA.

5.（2022?上海）如圖，在同一平面上，AD=BC=6,43=20,。為AA中點(diǎn),

曲線6上任一點(diǎn)到。距離相等，角NA48=ZABC=I2O。，P,。關(guān)于0W對稱,

（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，求NPQA的大?。?/p>

（2）?在何位置，求五邊形MQA4P面積S的最大值.

6.（2022?天津）在AA4C中，角A,B,。所對的邊分別為a,〃，c.已知

a=瓜，b=2c,cos4=—.

4

（1）求c的值；

（2）求sin5的值;

（3）求sin（2A-4）的值.

7.（2022?浙江）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

3

4。=45c>cosC=—.

5

（I）求sinA的值；

（II）若〃=11,求AABC的面積.

8.（2022?北京）在AA8C中，sin2C=V3sinC.

（I）求NC;

（II）若〃=6,且AA8C的面積為6X/5,求AABC的周長.

9.（2022?乙卷）記AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(4-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2B,求C;

(2)證明：2a2=b2+c2.

10.(2022?新高考I)記A/WC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,〃，c,已

知cosAsin28

1+sinA1+cos25

(1)若。=空，求8;

3

(2)求之2的最小值.

c-

11.(2022?新高考H)記A43C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，人c，分

別以4,b,C為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S,Sa,S3.已知

Cs■D1

S|-$2+演=，sin8=§?

(1)求AA8C的面積；

(2)若sinAsinC=四，求b.

3

12.(2022?乙卷)記AA3C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明：〃2=從+。2;

(2)若a=5,cos/l=—,求AA3C的周長.

31

區(qū)域模擬

1.(2023?河北區(qū)一模)A48C中，角4,B,。所對的邊分別為a,〃，c,

且y/3(a2+c2-b2)=2Z>csinA.

(I)求角8的大小；

(II)若COSA=L求sin(2A-8)的值.

3

2.(2023?杭州二模)在AABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b，c，

且cosB+sin"+0

(1)求角5的大??；

(2)若a:c=3:5,且4C邊上的高為巨叵，求AABC的周長.

14

3.（2023?門頭溝區(qū)一模）已知在AA3C中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為

b,c,且屜cos4-asin8=0.。是AB的中點(diǎn)，AC=2,CD=2&.

（I）求NA的大??；

（II）求4的值.

4.（2023?沈河區(qū)校級三模）在&WC中，三個(gè)內(nèi)角4,B,。的對應(yīng)邊分別為

a,b,c,b2-a2=ac.

（1）證明：B=2Ai

（2）求cosC+cosC的取值范圍.

5.（2023?岳陽模擬）在AA8C中，a,b,c分別為角A,B,。的對邊，若

x/3sinC+cosC=Sing+SinC,且AA3c的內(nèi)切圓半徑r=2.求：

sinA

（1）角A的大?。?/p>

（2）A+c的最小值.

6.（2023?河南模擬）04c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,〃，c,已知

5〃sin4=%tanA,。是AC邊上一點(diǎn)，AD=2DC,BD=2.

（1）求cos5；

（2）求BABC的最大值.

7.（2023?常德模擬）如圖，在&妨C中，已知角A,B,。所對的邊分別為a,

b,c,角A的平分線交8C于點(diǎn)。，且4）=1,1+1=V3.

bc

（1）求的大??；

（2）若BDCD=L,求AABC的面積.

3

8.（2023?廣西模擬）在AA4C中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已

知42+02―/片+02—從

sinBsinA

（1）證明：A=13.

（2）若。為叱的中點(diǎn)，從①4）=4,②cosC=L③CO=2這三個(gè)條件中選

取兩個(gè)作為條件證明另外一個(gè)成立.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

9.（2023?河?xùn)|區(qū)一模）在三角形人AC中，角4,B,。所對的邊分別為”,

b,c.已知sin4=sin2笈，a=4,0=6.

（1）求cosB的值；

（2）求c的值；

（3）求sin（28+C）的值.

10.（2023?西寧二模）在AA8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

且x/3/;sinC=ccosB+c.

（1）求角8的大小;

（2）若b=3,。是邊AC上的一點(diǎn)，且CD=2AD,求線段的最大值.

11.（2023?亭湖區(qū)校級一模）已知銳角A46c中，角A,B,C所對的邊分別

11sin(A-B)_sin(A-C)

為a，h>

cosBcosC

⑴若角A等求角"

(2)若asinC=l，求卜和勺最大值

12.（2023?海淀區(qū)校級模擬）在中，現(xiàn)有下列四個(gè)條件：①cos2A+cos4=0;

②/+c2-〃2=-ac;③a=2G;?b=2.

（I）①②兩個(gè)條件可以同時(shí)成立嗎？請說明理由；

（2）請選擇上述四個(gè)條件中的三個(gè)，使AA8C有解，并求AABC的面積.

13.（2023?古冶區(qū)校級一模）已知銳角A48c中，AR3,且______.請從

下列個(gè)條件中任選兩個(gè)填充在橫線上，并求匹的值.

sinC

①的面積為36；

②tan3=3x/5;

③AC=3反

注：如果選擇不同條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

14.（2023?鄭州模擬）在AABO中，角A,B,C的對切分別為a,/小c，若

〃sin(A)=asin(A+C)?

3

(I)求角4的值；

(II)若3a=2c+勸，求9的值以及sin3.

c

15.(2023?海安市校級模擬)在AA8C中，。是8c上的點(diǎn)，AD平分44C,

AA3D面積是AAPC面積的2倍.

(1)求包巴

sinC

(2)若AD=1,￡>C=—,求AA8C的面積.

2

16.(2023?西城區(qū)校級模擬)在中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,

b,c.已矢口Z?sinA=GacosB.

(1)求角8的大??；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得A43c

存在且唯一確定，求AV3C的面積.

條件①：a=4,Z?=3;

條件②：c-a=l,b=出；

條件③：c=3,cosC=—.

14

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.(2023?濮陽模擬)在AA8C中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,

a2cosB+abcosA-c2=a2-b2.

(1)求8;

(2)若a=2,c>l,延長AB到。，使得8O=2c,當(dāng)且取得最大值時(shí)，求c.

AC

18.(2023?天津一模)在AABC中，內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、〃、c,

已知2sinC=sinA+cosAttuiB.

(1)求角8的大小；

(2)設(shè)〃=2,c=3,求人和sin(2A-B)的值.

考前押題

1.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是"中國

十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓其地處岳陽古城西門城墻之上,

緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年（215年），歷代

屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年（1880年）重建時(shí)的形制與格局.因北宋

滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.自古

有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù).小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部

水平的直線AC,如圖，測得ZZMC=30。，NO8c=45。，AB=14米，則岳陽樓

的高度OT約為（）（x/2?1.414,右。1.732）

A.18米B.19米C.20米D.21米

2.在AA8C中，Z?sin2A=>/3?sinB.

（I）求Z4;

（H）若A48c的面積為3百，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選

擇一個(gè)作為己知，使存在且唯一確定，求。的值.

條件①：sinC=冬且；條件②：2=21叵；條件③：cosC=

7c47

注：如果選擇的條件不符合要求，第（〃）問得0分：如果選擇多個(gè)符合要求的

條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

3.如圖，在AABC中，4C=4>/2,。=工，點(diǎn)。在邊8c上，cosZADB=~.

63

（I）求4）的長；

（n）若AA3。的面積為2&，求的長.

A

4.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為4,b,c,且alan5=2/?sinA.

(D求角8的大??；

(2)若8c=4)=二，求AABC的面積.

4

5.如圖，在AABC中，D,E在BC上,質(zhì))=2,DE=EC=\,ZBAD=ZCAE.

(1)求――的值;

sinNABC

(2)求AABC面積的取值范圍.

1.【答案】x/3-l.

【解答】解：設(shè)BD=x,CD=2x,

2222

在三角形AC。中，&=4X+4-2-2X-2COS60°,可得：b=4x-4x+4t

在二角形旗/)中，色=/+4-2?x?2-cosl20。，可得：c~=x2+2x+4,

要使得如最小，即今最小，

ABC

222

b_4t-4x+4_4(A+2x+4)-12x12_49工+1

c2x2+2x+4x1+2x+4x1+2x+4

其中x+14—--..2石,止匕時(shí)!.4—26，

x+1小

當(dāng)且僅當(dāng)(x+l)2=3時(shí)，即x=G-l或x=-G-H舍去)，即久=6一1時(shí)取等號,

故答案為：6-1.

2.【答案】叵.

3

【解答】解：在AA3C中，ZA=-,AB=2,AC=3,

3

利用余弦定理8C?=AC?+一2AB?AC?cosA,整理得8C=萬，

所以其=2R,解得△=叵.

sinA3

故答案為：叵.

3

3.【答案】(1)空;(2)3-75

3

【解答】解：(1)*.A+C=120°,且a=2c

sinA=2sinC=2sin(l20°-A)=百cosA+sinA,

「.cosA=0,

/.A=90°,C=30°,4=60。，

?.b=2,

273

c=-----;

3

(2)a=\/2csinA,

則sinA=\/2sinCsinA,

sinA>0,

..sinC=—,

2

?.A-C=15°,

.??C為銳角，

/.C=45°,A=60。，4=75。，

,67—-2I8

sin60°sin75°6+巫)

.?“二目二3夜g

x/2+V6

?Q=3-.

22V2+V62

4.【答案】(1)3.(2)通.

14

【解答】解:(1)sinA=3sinB,

由正弦定理可得，〃=勖，

222

???由余弦定理可得，c=a+b-2abcosCt即7=96+6一3必，解得人=1,

(2)*a=3,C=^,c=,

.73

..asinCxo

sinA=--------=——芳-=-----.

cV714

5.【答案】(1)NP08的大小為arcsin*;

(2)P點(diǎn)在劣弧CM中點(diǎn)或劣弧OM的中點(diǎn)位置時(shí)，S的最大值為28g.

【解答】解：(1)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，由題意可得08=10,BC=6,ZABC=120°,

OP2=OB2+BC2-2OB-BCcosZAZ^C=36+100-2x6x10x(——)=196,

所以―在△曲中，由正弦定理得缶二缶

所以身解得sinZ.POB

sin/POB

所以ZPOB的大小為arcsin—;

(2)如圖，連結(jié)Q\,PB,OQ,OP,

曲線CMD上任意一點(diǎn)到。距離相等，

■tOP=OQ=OM=OC=\4,

Q關(guān)于OW對稱，

??.P點(diǎn)在劣弧CM中點(diǎn)或劣弧DM的中點(diǎn)位置，5語=5"?！骸?/p>

貝|JZAOQ=/8O尸,

則五邊形面積S=2。必做+Sw)

=*OQ(Msi嗚-a)+goQOMsina|

=196sina+140cosa

=28A/74sin(cr+^>),其中ianp=；,

當(dāng)sin(a+0)=1時(shí)，S五邊形MQABP取最大值28^/74,

???五邊形MQABP面積S的最大值為28>/74.

6.【答案】(1)c=l;

(2)sinB=;

4

(3)sin(2A—B)的值.

8

【解答】解(1)因?yàn)椤?幾,b=2c,cosA=--,

4

b1+c2-a'4c2+c2-61

由余弦定理可得cosA

2bc4

解得：c=I;

(2)cosA=--,AE(0,7T),所以sinA=Jl-,

44

由人=2c,可得sin4=2sinC,

由正弦定理可得，L=上，即第=',

sinAsinC,15sinC

4

可得sinC=*

所以sin3=2sinC=2x^^=^^；

84

(3)因?yàn)閏osA=」，sinA=^^~,

44

所以sin2A=2sinAcosA=2x(」)x^^=-^^>cos2A=2cos2A-\=2x--1=--,

448168

sinB=，可得cos8=，

44

所以sin(2A_8)=sin2AcosA-cos24sinB=4一(一令乂^^=^^,

所以sin(2A—4)的值為回

8

7.【答案】(I)4；

(II)22.

【解答】解：(I)因?yàn)閏osC=—>0>所以CG(0,—),sinC=Jl-cos2c=—,

525

由正弦定理可得：=上，

sinAsinC

即有sinA-竺妊，sinC-五g

cc455

(II)因?yàn)?=,

4

所以AvC,故Ae(0，)，

2

又因?yàn)閟inA=—,所以cosA=H色，

55

所以sinB=sin[不一(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC-cosAsinC="";

25

由正弦定理可得：—=5>/5,

sinAsinCsinB

所以〃=5\[5sinA=5.

所以SSHC=—?/?sinC=—x5xllx—=22.

"伙225

8.【答案】(I)工；(II)6+6>/3.

6

【解答】解：(I)1.sin2C=>/3sinC,

/.2sinCcosC=A/3sinC,

又sinC/O,/.2cosC=\/3?

cosC=—,'.?()<Cv萬,

2

/.C=-;

6

(II)?.?A$C的面積為6G,

—tzZ?sinC=6\/3,

2

乂〃=6,C=—,

6

:.—x?x6x-=6\/3,

22

a=4G,

又8SC=T^

73^(4X/3)2+62-C2

2-2x4>/3x6

c=2>/3,

:.a+b+c=6+6\/3,

.?.AA6C的周長為6+66.

9.【答案】(1)2；(2)證明過程見解析.

8

【解答】解：(1)lilsinCsin(A-B)=sin￡?sin(C-A),

又A=28,sinCsinB=sinBsin(C-A),

「sinAHO,/.sinC=sin(C-A)?BPC=C-/A(舍去)或C+C-A=/r,

A=2B

聯(lián)立“2C-A=i，解得C=L;

g

A+B+C=乃

證明：(2)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

得sinCsinAcos8-sinCssAsin8=sinBsinCcosA-sin8coscsinA，

由正弦定理可得accos8-Z?ccosA=Z?ccosA-出?cosC，

I+T人,q*Tfri77r40#+c*—-,力+-G.6C+3

由余弦JE理可得：ac----------------=2bc-------------------ab-----------------,

2ac2bc2ab

整理可得：〃2=//+/.

10.【答案】⑴13=-.

6

(2)4x/2-5.

【解答】解：(1)?/c°"=‘in28,?+cos2A=2cos2B工0,cos8Ho.

1+sinA1+cos2/3

cosA2sinBcosBsinB

??=~―，

1+sinA2cos-BcosB

化為：cos4cosB=sinAsinB+sinB?

;.cos(BIA)=sinli，

/.-cosC=sinB,C=——

3

.1.sinB=—,

2

\0<B<—,B=—.

36

(2)由(1)可得：—cosC=sinB>0,.\cosC<0,Ce(—,開)，

2

「.C為鈍角，B,A都為銳角，B=C--.

2

九

sinA=sin(B+C)=sin(2C--)=-cos2C?

a2+Ifsin2A+sin2Hcos22C+a>s2C(\-2sin2C)2+(\-sin2C)4

2+4.vmC-5.y//rC2+4sin:C-5..2V274-5=4V2-5

wrC.W/J'Csin’CshrC

，當(dāng)且僅當(dāng)sinC=J=時(shí)取等號?

的最小值為4a-5.

11.【答案】(1)立；(2)

82

【解答】解：(1)S)=—d2sin60°=—

24

S,="sin60。=旦-

~24

—c2sin600=-c2?

24

,/S「S,+S廣與2一鳥2

'-4442

222

解得:a-b+c=2t

?.,sin￡?=-,t72-Z>2+c2=2>0>BPcosB>0,

3

2V2

..cosBD=-----，

3

a2+c2-b22V2

cosBD=--------------=------,

2ac3

解得：ac=^^->

4

c1.z,V2

Zo

.?.AAHC的面積為也.

8

（2）由正弦定理得：

sin8sinAsinC

/?sinAhsinC

a=----->c=------,

sinBsinB

由(1)得,

4

bs\nA/?sinC3\[2

ac=------------=----

sinBsinB4

已知，sinB=-,sinAsinC=—?

33

解得：b=-.

2

12.【答案】(1)見解析.

(2)14.

【解答】(1)證明：AA8C中，sinCs\n(A-B)=sin?sin(C-A),

所以sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sin伏sinCeosA-cosCsinA),

所以sinAsinBcosC+sinAcosAsinC=2cosAsinAsinC,

即sinA(sin4cosC+cosBsinC)=2cosAsinZ^sinC，

所以sinAsin(8+C)=2cosAsinBsinC,

由正弦定理得片=2bccosA,

由余弦定理得〃=b-+c2-2bccosA,

所以以=3lc2.

(2)當(dāng)a=5,cosA="時(shí)，/?2+c2=2x52=50,2bc=——=m=31,

31cos425

5T

所以(8+c)2=從+°2+2^=50+31=81,解得力+c=9,

所以AA8C的周長為a+Z?+c=5+9=14.

區(qū)域模擬

1.【答案】（I）f；

(II)4夜懣.

18

【解答】解：(I)由余弦定理/=/+/-勿“。08,貝1」/+。2-6=2〃CCOSB,

又6(a?+d-/)=23csinA,所以2\/5accos3=2/>c、sinA,BP>/3t/cosB=bsinA?

由正弦定理可得V5$inAcosB=sinBsinA,因?yàn)閟inA>0,

所以V5ccsA=sinR,則lanA=>/5,又0v區(qū)v”，所以△=工：

3

(II)因?yàn)閏osA=’,0vA<生，所以sin4=J1-cos2A=冬區(qū)，

333

所以sin2A=2sinAcosA=2x』xa^.=3Zcos2A=2cos?A-l=--,

3399

?m?一O—?R4&1764&+7右

/TT以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=----x-+—x——=----------.

929218

2.【答案】(1)至；

3

(2)15.

【解答】解：(1)因?yàn)閟inA+C=sin江~~—=sin(---)=cos—,

22222

所以由cos13+sin4+C=0得cosB+cos—=0?

22

所以2cos20+cosg-1=0,解得cos0=1或cosO=-l,

22222

因?yàn)?v3v24，

所以oU,

22

W11cos—>0,ttcos—=—,

222

貝心力，解得八包；

233

(2)因?yàn)閏:a=5:3,令c=5m(m>0),

則a=3m，

由三角形面積公式可得Lesin4=，則15〃=7ac=7x15〃P，故Z?=7〃/,

2214

由余弦定理可得從=片+。2_為℃0$8,則49"J=49"/，解得切=],

從而a=3,c=5,b=l,

故AABC的周長為a+〃+c=15.

3.【答案】(I)A，；

3

(II)2>/13.

【解答】解：(I)因?yàn)?/?cos人-“sin4=0,

由正弦定理得：\/3sinBcosA—sinAsinB=0，

因?yàn)閟inB>0,所以\/5cosA-sinA=0,得tanA=G，

因?yàn)锳e(0,;r),所以A=1;

(H)在AACO中，由余弦定理得：\2=4+AD1-2ADx2cos-,

3

2

BPAD-2AD-S=0f解得：AD=4(負(fù)值舍去)，則A/3=8,

在AAAC中，由余弦定理得：BC2=4+64-2x2x8cos-=52,

3

所以BC=2a，所以a=2而.

4.【答案】(1)證明見解析；

⑵(0呼).

【解答】證明：(1)依題意b2-a2=ac,由余弦定理得

a2+c2-2?ccosB-a2=c2-2tzecosB=ac,

c-2ctcosB=a?由正弦定理得sinC-2sinAcos4=sinA,

sin(A4-13)-2sinAcosB=sinA,sinAcosB+cosAsinB-2sinAcos=sinA,

sin(B-A)=sinA,由于0vAv；r,所以sinA>0,貝ljsin(5—A)>0,

由于，所以_萬<“_人<乃，則0<A-Av乃，

<-A<0

所以8-4=4或A-A+A=;r(舍去)，

所以B=2A;

解：(2)由于8=2A,所以4為銳角，即OvAv工，

2

而0<A+8v4,B|JO<3A<^-,O<A<-,

3

cosC+cosA=-cos(A+B)+cosA=sinAsincosAcosB+cosA=sinAsin2A-cosAcos2A+cosA

=2sin2AcosA-cosA。-2sin2A)+cosA=4sin2AcosA=4(1—cos?A)cosA=^cos3A+4cosA

令E=cosAed,l)J(E)=-4t3+4/(—?r<1)?

ra)=-i2/+4,

所以/(/)在區(qū)間(1,y)±/”)>0,/(/)遞增;

在區(qū)間(g,i)上r(n<o,/⑺遞減，

1113

/(2)=-4X8+4X2=2，/(，)="4+4=()，

所以0</(/),,,

所以cosC+cosA的取值范圍是(0,^^).

5.【答案】(1)A=上；

3

(2)8G.

【解答】解：(1)在AABC中，"，〃，c分別為角A,B,。的對邊，已知

GsinC+cosC=sin心底

sinA

則\/3sinCsinA+sin4cosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

又sinC>0,

貝II\/3sin4-cosA=l,

即sin(A--)=—,

62

666

則人一工=三，

66

即A=

3

(2)已知AABC的內(nèi)切圓半徑尸=2,

則山叱=—x2x(a+Z?+c)=—bcs\nA，

22

即a=^-bc-b-ct

4

由余弦定理a2=b2+c2-2/JCCOSA可得：［—be-ib+c)F=(b+c)2-3bc,

4

貝lj—bc=—S+c)—3,

162

又反,,(Q,

2

當(dāng)且僅當(dāng)b=c?時(shí)取等號，

即*3+0)-3,,53+。尸,

即瓜b+c)2-32(Z?+0+64x/3..0，

、2

即b+c..8\/3屬tb+q,—j=>

V3

又「AAAC的內(nèi)切圓半徑r=2,A=-

3

2L

：.b+c>---x2=4\/5,

Jt

tan—

6

h+c..8>/3，

即〃+c的最小值為8百.

6.【答案】(1)(2)—.

58

【解答】解:(1)由正弦定理及5bsinA=%tan8知,5sinBsinA=3sinAtanB>

因?yàn)閟inA>0,所以5sin4=3tan4,

sinB3

所以cosB=一

tanB5

(2)因?yàn)锳D=2DC所以

…+”。=由沁叫

又BD=2,

所以BD=(-RA+-BC)2=-BA+-BABC+-BC=-c2+-ca-+-az=4整理

339999959

t#5c2+12flr+20fl2=180,

所以Ilac=180-(5?+20a2)?180-2瓜.回i=180-20ac,

所以生，竺，當(dāng)且僅當(dāng)=,即c=2〃=士&時(shí)，等號成立,

82

~334597

所以,BC=accosB=_ac,、—x—=——?

5588

故BAIC的最大值為幺.

8

7.【答案】（1）Z.BAD=—;

6

（2）近.

3

【解答】解：（1）設(shè)ZBAE>=，，則ZZi4C=，，則N84C=2〃,

由SgAD+SASD=^AAtfC,

所以-csin<9+-Z?sin0=-cb-2sinOcos夕，化簡得c+〃=2Z?ccos<9，

222

2cos6^=—+—=>/3,解得：cosO=^->

bc2

又。€（o,C）,e=￡,即NBAO=2.

266

（2）在AAa）中，由余弦定理有也）2=/+1_瘋.，①

在AAZX?中，由余弦定理有a>2=〃+i-G》,②

在AA3C中，由余弦定理有（80+8）2=/=加+°2-反，③

①②③聯(lián)立得2BDCD=瓜b+c）-hc-2f

又BDCD=L,43（b+c）-bc=-,

33

又l+_L=b，即（力+0=瘋3代入上式可解得譏?=W,

bc3

.c1,..14V3

L4D乙J

8.【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

【解答】（1）證明：因?yàn)?/+~2,

sinBsinA

由余弦定理可得竺—=2金,

sinBsinA

^bcosA=acosBf又由正弦定理上=，_,得cos人=cosA,

sinBsinAsinBsinA

角A,8為AA4C中內(nèi)角，所以A=3.

（2）AA8C中，A=B,。為4c的中點(diǎn)，如圖所示，

①②n③，

已知4)=4,cosC=-,求證8=2.

4

工叫一小-AC2+CD2-AD24CD2+CD2-161

證明：AC=2CD,AAC。中，cosC=----------------------=---------------------=一，

2ACCD4CD24

解得CD=2.

①③=②，

已知4)=4,CD=2,求證cosC='.

4

ACCA

證明：AC=2CD=4,所以A4CO中，cosC=^^~^=16+4-16=J

2ACCD2x4x24

②③n①，

已知cosC=L,8=2,求證：4)=4.

4

證明：AC=2CD=4,

在AACQ中，由余弓玄定理，yAD2=AC2+CD2-2ACCDCOSC=16+4-2X4X2X-=16,

4

所以4)=4.

(2)c=6;

⑶一述.

27

【解答】解：(1)在AA5C中,由已知得sin八=2sin8cos4,

由正弦定理得a=2/?cos8,而a=4,b=6,

所以cosB=-.

3

(2)在AA8C中，由余弦定理得804="、。2-'=2.,

2ac3

即3c*-8c-60=0,而c>(),解得c=6,

所以c=6.

(3)在A4BC中,Be(0,TT),cosB=->0,

3

:.Be(0,^)>有sinB=,

貝ljsin2A=2sin/3cos4=^^，cos2B=cos2B-sin2B=--,

99

由(2)知，l?=c=6,即ZB=NC,

所以sin(24+C)—sin28cosR+sinBcos2B——x-+乂(——)—

933927

1°.【答案】⑴8g

(2)l+x/3.

【解答】解：(1)因?yàn)?3bsinC=ccosB+c，由正弦定理得

\/3sinBsinC=sinCeosB+sinC,

又CeQ、兀),所以sinCwO,

所以Gsin8=cosB+l,BP-73sinB-cosB=1,sin(B——)=—,

62

又Bw(O,乃)，

所以嶗;

ABAC

(2)在AA3C中，山正弦定理得=2>/3,

.冗

sinCsinZ.ABCsin-

3

所以A8=2GsinC=2x/5sin(