高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版期末達標(biāo)測試卷B卷

【滿分：150分】

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.在等差數(shù)列｛%｝中，?3=5,4=3,則。9=()

A.lB.0C.-1D.-2

2.已知函數(shù)/(》)=；/+x2

_qx,/'(l)=0,貝U實數(shù)°=()

A.4B.3C.2D.1

3.設(shè)為正項遞增的等比數(shù)列｛%｝的前n項和,且%=4,%+%=I。，則跖=()

A.63B.—C.127D.也或127

44

4.已知函數(shù)y=/(x)的定義域為(a,6),導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)

歹=/(力在(/6)內(nèi)的極小值有()

C.3個D.4個

5.已知正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若邑=2邑-S2+6,4=1，則%=()

A.16B.32C.27D.81

6.某單位用分期付款方式為職工購買40套住房，總房價1150萬元.約定：2021年7月1日先付

款150萬元，以后每月1日都交付50萬元,并加付此前欠款利息，月利率1%,當(dāng)付清全部房款

時，各次付款的總和為()

A.1205萬元B.1255萬元C.1305萬元D.1360萬元

7.已知數(shù)列｛叫滿足%=1,。用=2%+l(〃eN*),記數(shù)列7—后一、的前〃項和為7；，

〔(%+2)(%+i+2),

若對于任意〃eN*,不等式女〉7；恒成立，則實數(shù)上的取值范圍為()

A.一，+8B.—,+coC.—,+ooD.—,+co

0J(2，JL3J(3，J

8.已知函數(shù)/(x)和g(x)都是定義域為R的函數(shù)，滿足f(x)g(x)>0,且/(x)g'(x)〉/'(x)g(x)

恒成立，那么當(dāng)a<x<6時，一定成立的是()

A./(b)g(x)〉/(x)g(Z?)B./(x)g(x)>/(tz)g(Z?)

C./(x)g(Z?)>/(b)g(x)D./(x)g(a)>/(o)g(x)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知S“為等差數(shù)列｛叫的前〃項和，且%=-7,S2=-12,則下列結(jié)論正確的是()

A.%=2〃-9B.｛%｝為遞減數(shù)列C.+a6=0D.S7=aA

10.已知d為等差數(shù)列｛%｝的公差，S”為數(shù)列｛見｝的前〃項和.若｛%｝為遞減數(shù)列,則下列結(jié)論正

確的為()

A.數(shù)列｛SJ為遞減數(shù)列

B.數(shù)列是等差數(shù)列

C.若前10項中，偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為9:8,且E°=-170,則公差為—2

D.若見〉0,516<0,則\〉風(fēng)

11.下列大小關(guān)系正確的是()

A.ool-l<lnl.OlB.lnl.01>—

e101

C.21nl.01>VL04-1D-21nO.99>V(k96-l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知/(x)=2/_3x-Inx,則/(x)的單調(diào)增區(qū)間為.

13.若曲線了=(x+a>e，有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則。的取值范圍是.

14.在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元,用于自

己開設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉,上市后供不應(yīng)求,據(jù)測算每月

獲得的利潤是該月月初投入資金的20%,每月月底需繳納房租600元和水電費400元,余款作

為資金全部用于再進貨,如此繼續(xù).預(yù)計2020年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤為元.

(取1.2"=7.5,1,212=9)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足出+。4=20，%=8.

(1)求｛%｝的通項公式；

-1

(2)aAa2-a2a3---F(-1)"anan+l.

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=e*-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從

左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

17.(15分)如圖所示，現(xiàn)有一塊邊長為1.2m的正方形鐵板，如果從鐵板的四個角各截去一

個邊長相等的小正方形，然后做成一個長方體形的無蓋容器，則容器的容積「n?是截下的小

正方形邊長xm的函數(shù).

(1)寫出函數(shù)的解析式；

(2)為了使容器的容積最大，截去的小正方形邊長應(yīng)為多少？

18.(17分)設(shè)函數(shù)/(x)=xei+foc,曲線y=/(x)在(2,/(2))處的切線方程為y=(e-l)x+4.

(1)求實數(shù)a,6的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

19.(17分)已知/(x)=xlnx-g加/一x,加eR.若/(x)有兩個極值點不，x2,且花＜々.求

證：x/2〉e2(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

答案以及解析

1.答案：A

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知名+%=2&，

所以。9=2&—43=2x3—5=1.

故選：A.

2.答案：B

解析：因為/,

所以⑴=l+2-a=3-a=0,

則a=3,

故選:B.

3.答案:C

解析：依題意設(shè)等比數(shù)列｛a'｝的公比為q(q>l),

法一：由％q+q，=I。，=4,得2q2-5q+2=0,貝U4=2或q(舍去),

1X1-2

則％=烏=1，S7=()=127；

q71-2

法二：2+a3g=10,貝|)4/-10彳+4=0,貝!14=2或0=，(舍去),

q2

51lx(l-27)

q=-=1>S,=」----^=127，

q71-2

故選:c.

4.答案:A

解析：由極小值的定義，極小值點是導(dǎo)函數(shù)/'(x)先負后正的變號零點，由圖看出這樣的x只

有一個，所以選A.

5.答案：C

解析：等比數(shù)列｛對｝的前〃項和為S“，

因為Sq=2s3-S2+6,則-S3=S3-S2+6,

所以%=%+6，

因為出=1,所以/=q+6,q〉0，

所以q=3或q=-2舍，

所以的=1x3，=27.

故選:C.

6.答案：B

解析：由題意知,還的次數(shù)為(1150-150)+50=20次,每次付款本金均為50萬元,

利息依次為1000x1%,950x1%,???,50x1%構(gòu)成了一個等差數(shù)列,

1000+50.［八二萬*

則所還欠款利息總額為(1000+950+…+50)x1%二-------x20nx11%n/=105萬兀,

2

故各次付款的總和為1150+105=1255萬元.

故選：B.

7.答案：C

解析：依題意。什1+1=2(4+1),

當(dāng)〃=1時，%+1=2,

所以數(shù)列｛%+1｝是首項為2,

公比為2的等比數(shù)列，%+1=2",即%=2"-1,

-,,+1-

(a?+2)(tz?+1+2)(2"+1)(2+1)2"+12"+口］，

*9.111111

"2+122+122+123+12"+12H+1+1

111

=------:---<一,

32用+13

因不等式左>7；恒成立，

故左的取值范圍是B，+8).

故選：C.

8.答案：C

解析：由/(x)g'(x)>/'(x)g(x)可得/(x)g<x)—/［x)g(x)>0,令/(x)=3曾，則

/(X)

F(x)=j(x)/'(x)〉0,所以F(x)在R上單調(diào)遞增.

若a<x<6,則外a)<2x)<E(b),所以幽■〈劭■<3.,因為/(x)g(x)〉O,所以/(x),

/(?)/(x)/3)

g(x)恒為正或恒為負，所以尸伍)-/(%)<0,

所以嘿_震=g(a)/jf⑷<0,/⑷/(幻〉0,所以雙4/⑴—8⑴/⑷<0,所

/(?)/(x)/(a)/(x)

以/(x)g(a)</(a)g(x)，故D不正確；

因為尸⑴―E(b)<o,所以嘿_黑=g(叫":9/⑴<0，/(x)/3)〉0,所以

/(X)/3)/(x)/3)

g(x)f(b)-g(b)f(x)<0,即/(x)g(b)〉/(b)g(x),故C正確，A不正確；

對于B,若/(x)恒為正，且/(x)單調(diào)遞減，則由a<x,可得0</(x)</(a),若g(x)恒為正,

且g(x)單調(diào)遞增,則由x<6,可得0<g(x)<g(Z?),則有/(x)g(x)</(a)g(Z?),故B不正確.

故選C.

9.答案：ACD

解析：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為其因為%=-7,S2=-12,

所以出=邑—%=-12-(―7)=-5,解得d=1,

所以a“=?1+(?-l)tZ=-7+2(〃-1)=2〃一9,故A正確;

因為d=2>0,所以｛4｝為遞增數(shù)歹U,故B錯誤；

由%=-3,%=3,有%+4=0，故C正確；

7x6

S7=7x(-7)+-^-x2=-7,故D正確.

故選：ACD.

10.答案：BCD

解析：對于A,因為數(shù)列｛%｝是遞減的等差數(shù)歹U,所以d<0，

不妨舉例數(shù)列｛a“｝為4,3,2,1,0,—i，—2,-3,…

則E=4,$2=7,S3=9,這三項不構(gòu)成遞減數(shù)列，故A錯誤;

對于B,S“_叫+7dd),是關(guān)于〃的一次函數(shù),

——-------=—n+%一5)

nn2

因此是等差數(shù)列，故B正確;

n

對于C,數(shù)列｛〃〃｝前10項中，奇數(shù)項的和為Q+%+%+%+。9=5%，

偶數(shù)項的和生+。4+。6+。8+。10=5。6，

所以。6：4=9:8,設(shè)。6=9x,Q5=8x,貝!)5。5+5?6=-170,解得工二一2,

所以公差d=&-%=%=-2,故C正確；

對于D,百5=15(%+空)=15〉0,則氏〉0,

兒=16(。；卬6)=8Q+旬)<0,則為<W<0，

所以S9=$8+為<及，故D正確.

故選：BCD.

11.答案：BCD

解析:A中，記/(x)=e*-x-1，則/(x)=e'l,易知在(0,+功上函數(shù)/(x)單調(diào)遞增,

所以/(0.01)〉/(0)=0,即e°m〉1.01，mg(x)=lnx—x+1,貝Ug'(x)=L—1,

X

易知在(l,+oo)上g(x)單調(diào)遞減所以g(1.01)<g⑴=0,即lnl.01<0.01，

綜上，故A錯誤；

B中，記/(x)=xlnx-x,則f\x)=Inx,易知在(1,+co)上/(x)單調(diào)遞增,所以/(1.01)>/(I),即

l.Ollnl.Ol-整理得lnl.01〉」-,故B正確；

101

CD中,記/(x)=21n(x+l)+l-J4x+1，

mil__2___2_2[j4x+l-(x+J)]

、八瓦丁(X+I)V47ZT，

當(dāng)0<x<2時，(x+l)2_(4x+l)=x2—2x(。可得/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

所以有/(0.01)>/(0)=0,即21nl.01-1+而疝>0，故C正確,

當(dāng)-Lx<0時，(x+l)2-(4x+l)=——2x〉0,可得f\x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

4

所以有/(—0.01)>/(0)=0,即21no.99—1+血礪>0，故D正確?

故選：BCD.

12.答案：(L+oo)

解析：函數(shù)/(X)=2/_3x-1WC的定義域為(0,+00),求導(dǎo)得/G)=4x-3-工=時x+DD,

XX

由/'(X)〉0,得X>1,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+00).

故答案為：(1,+CO).

13.答案:(-oo,-4)IJ(0,+oo)

解析：設(shè)/(x)=y=(x+a)e￡,則/(x)=(x+a+l)e^,

設(shè)切點為(x0,(x0+a)e*。)，

xv

因此切線方程為y~(x0+a)e°=(x0+a+l)e°(x-x0),

又?.,切線過原點(0,0),.(xo+a)e“。Mxo+a+De%?(-/),整理得x；+ax()-a=0,又切線

有兩條，，關(guān)于天的方程x；+%=0有兩不等實根，故A=/+4a〉0,解得a<-4或

a>0.

14.答案:40000

解析：設(shè)一月月底小王手中有現(xiàn)款為4=(1+20%)x10000-1000=11000元，

〃月月底小王手中有現(xiàn)款為an,〃+1月月底小王手中有現(xiàn)款為an+x,

則%+i=1.2%—1000,即4用—5000=1.2(%—5000),

所以數(shù)列｛4-5000｝是以6000為首項，1.2為公比的等比數(shù)列，

n

g-5000=6000x1.2",即al2=6000xl.2+5000=50000元.

年利潤為50000-10000=40000元.

故答案為：40000.

15.答案：(1)%=2"

解析：(1)已知數(shù)列｛%｝是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)公比為q(q〉l),

依題意有=20，解得q=2,q=2,或q=32,q=-(舍)，

axq=8,2

所以%=2〃，所以數(shù)列｛%｝的通項公式為%=2〃.

w-1

(2)axa2-a2a3H----1-(-l)

=23-25+27-29+---+(—1)〃T?22w+1

16.答案：(1)a=l

(2)證明見解析

解析：(1)f'(x)=ex-a,g'(x)=a--.

x

當(dāng)a<0時，/，(x)>0恒成立，/(x)在R上無最小值，不符合題意a>0.

令/'(x)=0,得x=lna,令g'(x)=O,Mx=—.

-a

易知/(x)min=fOna)=a-aina,g(x)min=g^=l+lna,

a—1

:,a-a\na=l+]na,即Ina二---①.

a+1

丫一1

令〃(x)=Inx----(x>0),

x+1

mi7,/、12%2+1八

則%(x)=---------=------->0,

X(x+1)2x(x+1)2

A(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則h(x)最多有一個零點.

.?.方程①有且僅有一解，為a=l,即為所求.

(2)由(1)知，f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,當(dāng)x<0時，/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時，

/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0cx<1時，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時，g(x)單調(diào)遞增.

不妨設(shè)直線了=6與y=/(x)的圖象的兩交點的橫坐標(biāo)分別為X],x2,與y=g(x)的圖象的兩

交點的橫坐標(biāo)分別為％，七，且X]<Z<工3.

貝!Je"-Xj=e*2-x2=x2-Inx2=x3-Inx3,

x2

e'-xl=x2-lnx2=e^-Inx2.

00

易知再e(-8,0),x2e(0,1),則In々e(-,0)，

又/(x)在(-*0)上單調(diào)遞減，

X2

xl=lnx2,同理％=In鼻，x3=e.

X2

又e*-x2=x2-Inx2)lnx2+e=2x2.

%2

Xj+x3=Inx2+e=2X2.,x2,七成等差數(shù)列.

17.答案：(1)V=(1.2-2X)2X,0<x<0.6

(2)0.2m

解析：(1)根據(jù)題意可知，容器底面的邊長為(1.2-2x)m,高為xm,

于是「=(1.2-2xyx,

又因為顯然x的長度必須小于原有正方形邊長的一半，所以0<x<0.6,

所以「=(1.2-2x>x,0<x<0.6.

(2)由題意有K=2(1.2—2x)x(—2)x+(1.2—2x)2=12(x—0.6)(x—0.2).

令片>0,可解得x<0.2.

因此可知「在(0,0.2］上單調(diào)遞增，在［0.2,0.6)上單調(diào)遞減.

故廠在x=0.2時取得極大值，而且在此時取得最大值.

即截去的正方形邊長為0.2m時，容器的容積最大.

分析：當(dāng)截去的正方形邊長較短時，容器的底面積就會較大，高較小；反之，當(dāng)截去的正方

形邊長較長時，容器的底面積就會較小，高較大.但是容器的容積等于底面積乘以高，因此，

為了使得容器的容積最大，必須尋找合適的x值.

18.答案：(1)b=e,a=2

(2)/(x)在(-00,+00)上單調(diào)遞增

解析：(1)因為y=/(x)在x=2處的切線方程為y=(e-l)x+4,

.?./<2)=e-1，〃2)=2e+2,

2ea-2+2b=2e+2,即b+e。-=e+l.①

又?."'(x)=e〃T—xe^+b,

:.f'(2)=ea-2-2ea--+b=e-l,BP/j-e0-2=e-1,②

聯(lián)立①②，解得b=e,a=2.

(2)由(1)可知/(x)=xe~+ex,

/'(x)=e2r-xe2-x+e,

令g(x)=/'(x),則g'(x)=-e2-x-(e2-x-x-e2-x)=(x—2)e2r

令g'(x)=0,得x=2,

當(dāng)x>2時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x<2時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

.?.當(dāng)x=2時，g(x)取最小值，

22

g(x)mjn=g(2)=(l-2)e-+e=e-l,

.?.r?in=g(2)=e-l>0,

.-.VXGR,有八x)>0,.?./(>)在(-oo,+oo)上單調(diào)遞增.

19.答案：證明見解析

解析：證明：方法一：由題意得/'(X)=lnx-加x,且XI,%是方程/'(X)=0的兩個不相等的

、Inx

實根，所以加%1=山西，mx=lnx.4*g(x)=---,則8(再)=8(/)-

22X

因為g，(x)=E^,所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+00)上單調(diào)遞減,

X

又不<X2，所以0<Xi<e<、2，所以±->e.令〃(x)=g