2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編

平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（非選擇題）

一、填空題

1.（2024北京北師大附中高一下期末）己知點(diǎn)A,3,C是半徑為3的圓上三點(diǎn)，3c=2,點(diǎn)。是BC的垂

直平分線上任意一點(diǎn)，則AOCB的最小值為.

2.（2024北京石景山高一下期末）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形

的邊長(zhǎng)為1,則c?-6）=.

3.（2024北京順義高一下期末）在長(zhǎng)方形ABCD中，43=2百，AD=1,點(diǎn)尸滿足AP=；A2+AD,則

網(wǎng)=，PAPC=.

4.（2024北京通州高一下期末）在正方形ABC。中，E是DC邊上一點(diǎn),且。E=2EC,點(diǎn)F為AE的延

長(zhǎng)線上一點(diǎn)，寫出可以使得A歹=XA8+〃AD成立的％,〃的一組數(shù)據(jù)（/,〃）為.

5.（2024北京東城高一下期末）趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作注時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦

圖”.下圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中45=ED=2,點(diǎn)P,Q分別是正方形ABCD和正方形EFGH上

②阿卜2M

③設(shè)尸8與RE的夾角為。，貝han。的值為3；

@FP-EQ的最大值為12.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

6.（2024北京東城高一下期末）已知向量。=（x+l,2）,6=（2,-3）,若￡與〃垂直，則實(shí)數(shù)尤的值

為.

7.（2024北京房山高一下期末）已知向量。=（3,4）,ab=o,且忖=1,則向量。的坐標(biāo)為.

8.（2024北京朝陽(yáng)高一下期末）已知向量〃，6在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量c滿足同=1，且

a-c=bc.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則（a-6〉（a+6）=,a-c=.

9.（2024北京朝陽(yáng)高一下期末）在A45C中，點(diǎn)。，E滿足BD=OC，AEL4C-若

DE=-AC--AB,則4=

62-------

10.（2024北京第八中學(xué)高一下期末）已知向量￡=（-1,2）力=（皿1）,若向量a+6與a垂直，則

m=.

二、解答題

11.（2024北京豐臺(tái)高一下期末）設(shè)平面向量a=（1,0）,由=2,且|a+b|=3.

⑴求的值；

（2）判斷a與6是否平行，并說(shuō)明理由；

（3）若（笳+分（Z+吩=12,求實(shí)數(shù)2的值.

12.（2024北京通州高一下期末）已知向量右=（一L0）,b=（2,-l）.

（1）求|a+2b|；

（2）右AJB=O+6，BC=2a—b，CD=—a>求證：A,C,O二點(diǎn)共線.

13.（2024北京懷柔高一下期末）已知向量。=（2,2）,》=（1,加）

⑴若m=2,求及卜+川的值；

⑵若2a+6與。平行，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

⑶若4與6的夾角為45,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

14.（2024北京海淀高一下期末）已知〃維向量。=（44，，%），給定{1,2,3-1},定義變換處;選

取於{0,1,.〃-1},再選取一個(gè)實(shí)數(shù)無(wú)，對(duì)a的坐標(biāo)進(jìn)行如下改變：若此時(shí)i+左4〃，則將4+1，砧，??，％同

時(shí)加上x(chóng).其余坐標(biāo)不變；若此時(shí)i+上〉”，則將4+1，"i+2，-?4及4a2,""^i+k—n同時(shí)加上X,其余坐標(biāo)不

變.若a經(jīng)過(guò)有限次變換敕（每次變換所取的。尤的值可能不同）后，最終得到的向量（/獷2，E）滿足

4j=???=%則稱。為左階可等向量.例如，向量（1,3,2）經(jīng)過(guò)兩次變換外可得：

(1,3,2)—芻身-6(2,3,3)t4T>(2,2,2),所以(1,3,2)是2階可等向量.

(1)判斷(1,2,3)是否是2階可等向量？說(shuō)明理由；

(2)若取1,2,3,4的一個(gè)排序得到的向量(%,%,%，%)是2階可等向量，求生+%；

⑶若任取4M2，的一個(gè)排序得到的〃維向量均為左階可等向量.則稱(％,4,…，/)為左階強(qiáng)可等向

量.求證:向量(L2,3,4,5,6,7)是5階強(qiáng)可等向量.

15.(2024北京昌平高一下期末)已知向量a=(3,-1),6=(1,〃。.

⑴若a_L(〃?a-6),求實(shí)數(shù)加的值；

⑵若加=-2,求”與〃夾角的大小.

16.(2024北京大興高一下期末)已知：=31-2七/=4e；+\,其中斗=(1,0)總=(0,1).

⑴求a)，\a+b|；

⑵求a+6與a-B夾角。的余弦值.

17.(2024北京東城高一下期末)如圖，設(shè)3,Oy是平面內(nèi)相交成60。角的兩條數(shù)軸，q,e；分別是與x

軸、,軸正方向同向的單位向量.若向量OP=xq+ye?,則把有序數(shù)對(duì)a,y)叫做向量。尸在坐標(biāo)系中

的坐標(biāo).設(shè)OP=2q+3e2，

⑴求IOP|的模長(zhǎng)；

(2)設(shè)。。=6+%,若。P//OQ,求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(3)若。4=中］+*；,OB=x2el+y2e2,有同學(xué)認(rèn)為“Q4，02”的充要條件是“占超+%%=°”，你認(rèn)為是

否正確？若正確，請(qǐng)給出證明，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(2024北京順義高一下期末)對(duì)于數(shù)集乂={-1,左},其中0＜玉＜x,,n＞2.定義

向量集y={a|a=(s，t)，seX/eX}.若對(duì)于任意qeY,存在出?丫，使得％0=。，則稱X具有性質(zhì)P.

⑴已知數(shù)集Xj={-1,1,2},請(qǐng)你寫出數(shù)集X］對(duì)應(yīng)的向量集匕，X1是否具有性質(zhì)P?

(2)若x＞2,且乂2={-1,1,2國(guó)具有性質(zhì)產(chǎn)，求x的值；

(3)若X具有性質(zhì)P,求證：leX,且當(dāng)斗＞1時(shí)，%=1.

參考答案

1.-6

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】

以圓心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的垂直平分線所在直線作為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

A（a,Z＞）,D（O,c）,

根據(jù)題意得8（1,-20）,々-1,一2啦），AD^（-a,c-b）,CB=（-2,0）,

所以4O-C8=2a，

因?yàn)?34a43,所以當(dāng)。=-3時(shí)，ADC8取得最小值為-6,

故答案為：—6.

2.-1

【分析】建立如圖所示坐標(biāo)系，由圖可得c及的坐標(biāo)表示，后由數(shù)量積的坐標(biāo)形式下的計(jì)算公式可得

答案.

【詳解】由圖及網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,

可得E（0,l）,F（2,2）,G（2,3）,“（3,0）.

貝吐=￡F=（2,1）,a-b=GH={l-3）.

貝|e.（a_6）=2_3=-I.

3.2-3

【分析】如圖，以A為原點(diǎn)，所在的直線分別為尤D軸建立平面直坐標(biāo)系，然后結(jié)合已知條件可求

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得答案.

【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，⑦所在的直線分別為羽〉軸建立平面直坐標(biāo)系,

則A(0,0),B(2^,0),C(2V3,l),￡>(0,l),

所以AB=(2相,0),AD=(0,1),

因?yàn)锳P=gA3+AD,所以AP=：AB+AD=g(2括,0)+(0/)=(若,1),

所以卜尸|=61=2,P("l),

所以PA=(-^3,-1),PC=(73,0),

所以PAPC=-3.

故答案為：2,-3

4.(2,3)(答案不唯一)

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出AE，再結(jié)合向量的共線即可求得答案.

2

故。石=](AC—AD),

r\1Q1Qr\

貝AE=AD+DEuAO+jAC-ADh,AD+iAe)AD+YAB+ADblAB+AD,

又點(diǎn)廠為AE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，故A"=fAE,(f>l),

2

可取f=3,貝｝|AF=3(§A2+AD)=2AB+3AD,

故使得AF=AAB+〃AD成立的2,〃的一組數(shù)據(jù)(4〃)為(2,3),

故答案為：(2,3).

5.②③

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷①，利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合不等式的性質(zhì)

判斷②，利用向量夾角的坐標(biāo)求法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷③，舉反例判斷④即可.

【詳解】因?yàn)锳D=EE>=2,正方形ABCD和正方形屏6〃，

所以皿=4,由勾股定理得五￡=26，故HE=2卡,CH=2,

CE=4=2DE,故得。是CE的中點(diǎn)，且作CTJ.E",

由等面積公式得2X4=2A/?XCT,

解得CT=±E,由勾股定理得ET=8叵，

所以E(0,0),F(0,2V5),C(W，￥0,D(警,平)，

對(duì)于①，故EF=(0,26),CD=(-半，一當(dāng))，

故C?EF=(一竿)x2君+0=一4,故①錯(cuò)誤，

對(duì)于②，設(shè)Q(x?),因?yàn)?。是正方形跳G〃上的動(dòng)點(diǎn)，

故xe[o,2問(wèn),>e[o,2目，Jfn%2e[0,20],y1e[0,20],

故f+9?[o,40],舊+/e[o,2Vw],

由題意得EQ=(x,y),故歸03+/平,2啊,

故歸中2亞成立，可得②正確，

對(duì)于③，作ASLGF,由等面積公式得2x4=2若xAS,

解得45=延，由勾股定理得尸5=偵，故65=座,

555

故4亭,華)，而AG=2AB,故8是AG的中點(diǎn)，

而G(26,26)，故8(述,當(dāng)叵)，所以FE=(0,-2正)，

而尸8與FE的夾角為e.

0+（一2遙）＞＜（一￥）

41A/10

故cos。=rr2氐2立一加一10

J（一2府X,（一竽/+（￡

而6e[0,兀],故sinB>0,可得+sin*=l

_3回

解得sin。=亞(負(fù)根舍去)，得至！JtanO=^=今=3,故③正確,

10COS。V10

lo-

對(duì)于④，假設(shè)。運(yùn)動(dòng)到H(26,0),尸運(yùn)動(dòng)到

此時(shí)。(2/,0),，故叮=(

EQ=（2技0）,故FPEQ=0+半x2非=16>12,

故尸尸的最大值不為12,則④錯(cuò)誤.

故答案為：②③

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合等面積法求出各個(gè)點(diǎn)的

坐標(biāo)，然后把動(dòng)點(diǎn)視作特殊定點(diǎn)，利用向量積的坐標(biāo)運(yùn)算求值，否定給定的命題即可.

6.2

【分析】根據(jù)。與b垂直，數(shù)量積求解參數(shù)x的值.

【詳解】由a=(x+L2),6=(2,—3),若&與6垂直，貝12(x+l)—2x3=0,解得x=2.

故答案為：2.

【分析】設(shè)向量6的坐標(biāo)為(x,y),由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、模的計(jì)算公式列式即可求解.

44

3x+4y=0x二——x=—

3,或番5

【詳解】設(shè)向量石的坐標(biāo)為(％y),由題意,,解得

M+y2=i3

y-5

所以向量b的坐標(biāo)為

8.02也,或-2后

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系得到a、6的坐標(biāo)可得(。-6卜(。+可；設(shè)4=(內(nèi))，根據(jù)同=1,且

a-c=bc.建立關(guān)于％y的方程組求出x，y可得C的坐標(biāo)，再由a.c的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則。=。,3),。=(3,1),

所以"6)?+6)=(-2,2).(4,4)=-8+8=0；

設(shè)c=(x,y),則x*12+y2=1,

且a-c=b”，所以且x+3y=3x+y,

A/2A/2V2_V|

z__r

所以a?c=+=2A/J,或。，c=一^^—.

故答案為：①0;②20，或-2vL

9.2

3

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.

【詳解】在VABC中，向量AB,AC不共線，由8O=OC，荏=2祝，

DE=AE-AD=AAC--(AC+AB)=--AB,^DE=-AC--AB,

22262

117

因此所以

263

2

故答案為：—

10.7

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.

【詳解】由向量〃=(-1,2),。=(辦1),可得a+b=(-l+九2+1)=(加-1,3)

因?yàn)閍+Z?與〃垂直，可得+=(加一l)x(—l)+3x2=0,解得機(jī)=7.

故答案為：7.

11.(1)2

(2)平行，理由見(jiàn)解析

(3)2

【分析】⑴由已知，得(a+6)2=9,即卜(+2a為+好=9,代入山=2,即可得到的值；

(2)法1,設(shè)a與B的夾角為。，由cos6=l,可得。=0,則a與〃平行；法2,由|a+b|V|a|+|b|,當(dāng)且

僅當(dāng)a與〃共線時(shí)等號(hào)成立，又|a+b|=3,|a|+|6|=3,所以°與B平行；

(3)法［,由(2)及已知條件得：b=2a<由(Xa+b)?(a+6)=12,可得3(彳+2)=12,即可求得之的

值；法2,由(2a+b)-(a+b)=12,得XJ+而必+。力+d=12，貝”+24+2+4=12,即可求得4的值.

【詳解】(1)因?yàn)椤?(1,0),所以

因?yàn)閨°+切=3,由=2,所以(a+》)2=9,

所以1+2a.ZJ+『=9，所以+2。力+好=9,

所以l+2a/+4=9，所以a/=2.

(2)平行,理由如下：

解法1：設(shè)￡與匕的夾角為。，cose=HL=J；=i,

\a\-\b\1x2

因?yàn)?且0,兀］,所以。=0,則°與。平行.

解法2：因?yàn)閨。+方區(qū)向+由,當(dāng)且僅當(dāng)￡與人共線時(shí)等號(hào)成立，

又因?yàn)閨a+6|=3,|〃|+|6|=3,所以a與6共線，即a與6平行.

(3)解法1：由(2)及已知條件得：b=2a，

因?yàn)?4。+b),(a+6)=12,|?|=1,

所以(2a+2a)-(a+2a)=3(4+2)J=3(2+2)=12，

所以2=2.

解法2：因?yàn)?Xa+b).(a+6)=12,

所以+Aa-b+a-b+b~=12<

因?yàn)镮a1=1,Ib|=2,ab=2>

所以4+24+2+4=12,所以；1=2.

12.⑴而

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模公式，即可求解；

(2)結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】⑴解:a=(-1,0),ft=(2,-1),

則a+2b=（-1,0）+（4,-2）=（3,-2）,

故Ia+26|=79+4=A/13；

（2）證明：AB=a+b，BC=2a-b-

貝1JAC=AB+8C=a+Z?+2a-》=3a;

CD=-a=--AC,

3

所以CO〃AC,

所以A,C,。三點(diǎn)共線.

13.（l）a-b=6>卜+6卜5

（2）m=l

（3）m=0

【分析】（1）直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解a.6,先求出a+6的坐標(biāo)，再求其模;

（2）先求出2a+6的坐標(biāo)，再由兩向量平行列方程求解；

（3）利用向量的夾角公式直接列方程求解即可.

【詳解】（1）當(dāng)機(jī)=2時(shí)，6=（1,2）,

所以a-6=2xl+2x2=6,a+b=（3,4）,

所以1+々=,32+42=5；

（2）因?yàn)椤?（2,2）,〃=（1,機(jī)），所以=（5,4+加），

因?yàn)?a+B與人平行，所以5m=4+機(jī)，解得機(jī)=1；

（3）因?yàn)閍與人的夾角為45，a=（2,2）,6=（1,根）,

所以8@‘曰=岳2+2m

2后xJl+療2，

所以4+4刊=4jl+??，解得〃z=0.

14.（1）是2階可等向量，理由見(jiàn)解析;

（2）5；

（3）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)知的定義即可求解,

（2）根據(jù)n的定義即可求解，（4+砥）一（4+%）=（01+生+*）-（02+。4+彳）=（。1+?3）-（。2+。4），即可結(jié)

合（4,%,%,%）是2階可等向量求解，

（3）根據(jù)（4,%是上階可等向量，等價(jià)于（q+MK+y,,%+y）是％階可等向量，即可根據(jù)變換化

求證.

【詳解】（1）（123）是2階可等向量.

例如經(jīng)過(guò)兩次變換必可得：（123）片2＞（2,3,3）曰1＞（2,2,2）

（2）設(shè)（％,%%%）進(jìn)行一次變換死后得（4"，4，4），

當(dāng)，=0時(shí)，（4,4）=（/+羽。2+%，/，。4）

當(dāng)，=1時(shí)，（4,4，［，4）=（4，。2+匹〃3+匹。4）

當(dāng)，=2時(shí)，（4，4,4,%）=（4，。2,4+%,。4+%）

當(dāng)1=3時(shí)，（4,4,4&）=（《+羽々2，%。4+%）

綜上，我們得到

（4+4）—（4+4）=（烏+/+%）—（/+%+%）=（4+/）一（％+%）.

因?yàn)椋?,。2，。3，。4）是2階可等向量，即％=t2a

所以（4+4）一（4+。4）=（4+23）—（，2+乙）=。.

1rL,,?+&+Q?+CLA1+2+3+4

所以q+/=4+?=-24----=---------=5

（3）任?。↙2,,7）的一個(gè)排序，記為1=出也，,&）.

注意到，（%,%.,%）是左階可等向量，等價(jià)于（q+xw+y，…,4+y）是％階可等向量.

變換化即對(duì)連續(xù)五個(gè)維度的坐標(biāo)（首尾也看成連續(xù)）同時(shí)加上x(chóng),

相當(dāng)于對(duì)剩余兩個(gè)連續(xù)維度的坐標(biāo)同時(shí)加上一尤.

對(duì)b2,b3-,b4,b5-b6,h依次加上-x,相當(dāng)于對(duì)々單獨(dú)加上x(chóng)；

對(duì)",用；々,%；2,4依次加上T，相當(dāng)于對(duì)％單獨(dú)加上x(chóng)；

基于上述分析，相當(dāng)于可以對(duì)4,與，“辦分別單獨(dú)加上-偽，-&，，由.

所以6為5階可等向量，（1,2,,7）為5階強(qiáng)可等向量.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新型定義，首先要了解定義的特性，抽象特性和計(jì)算特性，抽象特性是將集合可

近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計(jì)算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過(guò)找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識(shí)求解.

15.⑴3

11

⑵5

【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算得到〃然后根據(jù)垂直列方程，解方程即可；

（2）利用數(shù)量積的公式求夾角即可.

【詳解】（1）ma—b=（3m—l,—2m）,

因?yàn)镼J_（ma一。），所以。,（加〃-Z?）=3（3m=0,

3

解得加=打.

(2)若m=-2,貝！=

因?yàn)椴凡稪?+(-1/=,|/?|=^12+(-2)2=y[5,a.b=5，

/r八a,b5V2

所以。叫叫=陋=>^=三

因?yàn)镃OS(Q@￡[0,7l],所以COSk,/?)=￡.

16.⑴。/=10,卜+0=5近

(2)-2而

25

【分析】(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得。=(3,-2)力=(4,1),即可由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及模長(zhǎng)根式求解,

(2)根據(jù)夾角根式即可求解.

【詳解】(1)由a=3卜一2。2/=4。+?2,G=(1,0),?2=(0,1)可得

a=(3,-2)*=(4,1),Q+Z?=(7,_1)

所以Q?Z?=12—2=10,卜+囚=J7?+(-if=5A/2

(2)a—b=(-1,-3),卜=J(—if+(_3/=^5,

4_(a+6),(a_6)_a_b_13_17_-26

故=卜+7一4=5也x5=5也義屈=N

17.(1)|O尸|=M

3

(2)m=-

(3)充要條件為占占%尤2%=0

【分析】(1)利用向量的線性運(yùn)算兩邊平方可求|0尸|；

(2)設(shè)O尸=/lOQ,可得2q+3e2=X(e；+g),可求實(shí)數(shù)，"的值；

(3)由。4_LO5，可得(%,+%62>(%2,+、2?2)=0，運(yùn)算可知不正確.

【詳解】⑴因?yàn)镺P=2q+34，

....2-21

2

所以兩邊平方得(OP)?=(2^+3e2)=4e/+9e/+126?1-e2=13+12x-=19,

ULU____

故io尸l=M；

(2)因OP〃OQ,由共線定理，存在唯一的實(shí)數(shù)力,有OP=4OQ

.-14二2

貝U2,+3與=%(,+小)，故L,

3=Am

所以吟3；

(3)不正確

證明：因?yàn)椤?_LO2，所以0403=0，即(x?+/02)-(34+=0,

11

則有xxx2e~+y1y2e2"+x1y2eI-e^+x^y^-e2=V2+yly2+-xly2+-x2yl=0

所以“0A_L03”的充要條件是“%電+%%=0”,

所以“OA_L03”的充要條件是“芯/+%%=?！笔遣徽_的.

18.(l)J；={(-1,-1),(-U),(-1,2),(1,-1)