2025年初升高暑期數(shù)學(xué)講義專題11函數(shù)的單調(diào)性與最值重難

點突破(含答案)專題11函數(shù)的單調(diào)性與最值

一、考情分析

二'經(jīng)驗分享

【知識點一、函數(shù)的單調(diào)性】

1.函數(shù)單調(diào)性的定義

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為/：

①如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值此A2,當(dāng)時，都有

那么就說函數(shù)f(X)在區(qū)間。上是增函數(shù)；

②如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值此及，當(dāng)用＜及時，都有

那么就說函數(shù)f(X)在區(qū)間。上是減函數(shù).

名師解讀：對函數(shù)單調(diào)，性的理解:

(1)定義中的至有三個特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②屬于同一個區(qū)間；

③有大小，一般令兄＜及.

(2)增、減函數(shù)的定義實現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化：若了(%)是

增函數(shù)，則/■(X)＜/(%2)=玉＜々；若/(X)是減函數(shù)，貝I/(不)＜/(%)=玉＞為2-

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)bf(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)*f(x)在這一區(qū)間具有

(嚴(yán)格的)區(qū)間。叫做尸f(X)的.

名師解讀：對函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理解

(1)一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“U”連接，而應(yīng)該用“和”連

接.

(2)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，體現(xiàn)在函數(shù)的定義域或其子區(qū)間上，所以函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集.

(3)函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，在某一點上不存在單調(diào)性.

Ix是有理數(shù)

(4)并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性.如函數(shù)/("='曰就不具有單調(diào)性.

0,x是無理數(shù)

名師解讀：常見園數(shù)的單調(diào)忤

函數(shù)類型單調(diào)性

k>0在R上單調(diào)遞增

一次函數(shù)y=kx+b(kw0)

k<0在R上單調(diào)遞減

kk>Q單調(diào)減區(qū)間是(-8,0)和(0,+8)

反比例函數(shù)y二—(左w。)

X

k<0單調(diào)增區(qū)間是(-8,0)和(0,+8)

bb

a>0單調(diào)減區(qū)間是(-CO,--),單調(diào)增區(qū)間是［一+CO)

二次函數(shù)2a2a

y=ax12+bx+c(aw0)bb

a<0單調(diào)減區(qū)間是［-丁,+8),單調(diào)增區(qū)間是(-8,一二)

2a2a

【知識點二'函數(shù)的最大值與最小值】

1.最大值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)例滿足：

(1)對于任意的xe/,都有；(2)存在/e/,使得.

那么，我們稱例是函數(shù)y=/(%)的最大值.函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點的縱坐標(biāo).

2.最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù))滿足：

(1)對于任意的xe/,都有；(2)存在/e心使得.

那么，我們稱)是函數(shù)丁=/(光)的最小值.函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點的縱坐標(biāo).

名師解讀：一畫數(shù)的最侑與單調(diào)忤的關(guān)系

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,加上是增函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是減函數(shù)，則函數(shù)

y=/(x)，X6(。,<?)在％=/?處有最大值/0).

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,加上是減函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是增函數(shù)，則函數(shù)

y=/（x）,xe（a,c）在x=Z?處有最小值了（。）.

如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間句上是增（減）函數(shù)，則在區(qū)間句的左、右端點處分

別取得最小（大）值和最大（?。┲?

三、題型分析

（-）證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性

例1.（1）、（2021.貴州.高二學(xué)業(yè)考試）定義在區(qū)間［-2,2］上的函數(shù)Ax）的圖象如圖所示，

則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

C.[-2,0]D.[-1,2]

（2）、（2020?上海高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，在（-8,0）是增函數(shù)的是（）

3

32

A.y=xB.y=xC.y=-D

X-y=x^

（3）.（2020?貴陽市清鎮(zhèn)養(yǎng)正學(xué)校高一月考）函數(shù)/（x）=f—3x的單調(diào)遞增區(qū)間為

（）

A.1一|'，+00］B.（3,+oo）

C?D.（-3收）

【變式訓(xùn)練1-1】、（2022?江蘇高一）下列函數(shù)在（-”,0）單調(diào)遞減的是（）

1

A.y=——B.y=x27

x

C.y=-YD.y=x

【變式訓(xùn)練1-2】?（2022?江蘇,高一）（多選題）下列函數(shù)中，在（2,+8）上單調(diào)遞增的是

()

A./(x)=|x-3|B./(x)=x+—

x+3,x<3

C./(x)=x3+2xD.〃x)=

2x-3,x>3

【變式訓(xùn)練1-3】、（2021彳余州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一期中）（多

選題）下列函數(shù)中，在（。,+與上為增函數(shù)的是（）

A./（x）=l-3xB./（x）=+2

x

C./(x)=-x2+1D./(x)=2y/x

Q

例2.（1）（2020廣東新會陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）根據(jù)定義證明函數(shù)7'（無）=%+2在區(qū)間

X

[3,+8）上單調(diào)遞增.

3

（2）.（2020?巴南區(qū)?重慶市實驗中學(xué)高一月考）已知函數(shù)=X,XW（O,+8）.

（1）判斷并證明了（X）在（0,+8）上的單調(diào)性；

⑵解不等式/-->2.

13+XJ

【變式訓(xùn)練2-1】、（2021?四川甘孜?高一期末）判斷并證明〃x）=T-在（0,+e）的單調(diào)

X+1

性.

2r-3

【變式訓(xùn)練2-2】.（2021?浙江高一期末）已知函數(shù)/（x）=------

x+1

（1）判斷函數(shù)/（無）在［0,+8）上的單調(diào)性，并用定義證明其結(jié)論；

（2）求函數(shù)Ax）在區(qū)間［2,9］上的值域.

（二）函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

例3.（1）、（2022?江蘇高一）設(shè)是定義在區(qū)間［-2,2］上的嚴(yán)格增函數(shù).若

/（2a2-l）＞/（a+2）,則a的取值范圍是.

⑵、（2022?甘肅慶陽.高一期末）若函數(shù)y=在R上單調(diào)遞增，且

/（2〃L3）則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.B.（-l,+oo）C.D.（-oo,l）

（3）、（2022?江蘇?高一）如圖是函數(shù)y=的圖象，則函數(shù)y=在下列區(qū)間單調(diào)遞

減的是（）

A.[-6,-4]B.[T,T]C.[-1,2]D.[2,5]

【變式訓(xùn)練3-1】.（2021?云南麗江市?高一期末）函數(shù)/（x）=—￡+2（1—機口+3在區(qū)間

(-8,4]上單調(diào)遞增，則加的取值范圍是()

A.[-3,+8)B.[3,+co)

C.~,5]D.(-oo,-3]

【變式訓(xùn)練3-2】?（2020?北培區(qū)?重慶市朝陽中學(xué)高一期中）已知函數(shù)/（%）是定義在

［—3,3］上的減函數(shù)，且/（2x-l）＞/（1）,則實數(shù)x的取值范圍為.

【變式訓(xùn)練3-3］.（2022,陜西,銅川陽光中學(xué)高一期末）若函數(shù)/。）=7以2+（m一i）x+i在區(qū)

間（9』］上為減函數(shù)，則實數(shù)小的取值范圍為.

例4.（2021?浙江湖州市?湖州中學(xué)高一月考）若函數(shù)矍'在區(qū)間［0』上的最大

值為上，則實數(shù)加=（）

2

A.3B.-C.2D.°或3

22

【變式訓(xùn)練4-1】.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=/（x）滿足：對任意的和々eR總

有/卬―/（々）＞0則不等式外加2+1）〉于Qm）的解集為.

國一又2

（三）分段函數(shù)的單調(diào)性與最值

例5.⑴、(2021.廣東.汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高一期中)已知函數(shù)〃x)=2「

lx—2ax,x21

滿足V占，尤?eR且占H超,有'”皂7皿>0,則實數(shù)。的取值范圍是.(用集

再一％2

合或區(qū)間表示)

（3〃—l）x+3〃,x<1

(2),(2020?江蘇常州市?常州高級中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/(%)二

—f%>1

在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)〃的取值范圍是()

C.

D.

2x+3

(3)、(2022?全國?高三專題練習(xí))(多選題)已知函數(shù)/(%)=上三,則下列敘述正確的是

x+4

()

A./(x)的值域為(-oo,-4)U(~4,+00)B./(幻在區(qū)間(-oo,-4)上單調(diào)遞增

C./(%)+/(—8—x)=4D.若Xw{乂％>—4,xwz},貝4/(%)的最小值

為-3

(3-<2)x-5,x<1

【變式訓(xùn)練5-1】,(2020?江西高一期中)已知函數(shù)/(x)=2a是H上的增

------,%>1

函數(shù)，則〃的取值范圍是.

【變式訓(xùn)練5-2】、(2021.廣東.江門市廣雅中學(xué)高一期中)已知函數(shù)

(?-3)x+5,x<l

fM=\2a1是(-8,+8)上的減函數(shù)，則〃的取值范圍是(

——,%>1

A.(0,3)B.(0,3]C.(0,2)D.(0,2]

/、—X+QX.X<1

【變式訓(xùn)練5-3】、(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=?滿足對任意

實數(shù)占都有5)>o成立,則實數(shù)。的取值范圍是()

X.一Xy

~7"

A.(-8,2]B.(1,2)C.[2,6)D.2,-

(四)求函數(shù)的最大值與最小值

4

例6.(2020?重慶市第七中學(xué)校高一月考)函數(shù)/'(x)=x+—,xe[l,2]()

x

A.有最大值5,無最小值B.有最小值4,無最大值

C.有最大值5,最小值4D.無最大值和最小值

【變式訓(xùn)練6-1】?(2020?重慶市松樹橋中學(xué)校高一月考)若函數(shù)/(x)=x+士

(1<%<3)的最大值為最小值為加,則772=.

【變式訓(xùn)練6-2】?（2021?云南省云天化中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)/（x）=x+2jG的最

大值為.

例7.（2021?全國高一課時練習(xí)）（2021.福建省德化第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)

?、—1

/（X）=——1

X+1

⑴試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1,口）上的單調(diào)性，并證明；

（2）求函數(shù)以x）在區(qū)間［2,+8）上的值域.

【變式訓(xùn)練7-1】?（2021?云南省昆明市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）已知awO,函數(shù)

、x-a

/（無）=-----

ax

⑴指出“X）在（0,+8）上的單調(diào)性（不需說明理由）；

二專題11函數(shù)的單調(diào)性與最值

一、考情分析

單調(diào)性的定義

/、---------單調(diào)性一

--------------L單調(diào)性的應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性

------------r求最大值

I----------------值域一

------------L求最小值

二'經(jīng)驗分享

【知識點一、函數(shù)的單調(diào)性】

1.函數(shù)單調(diào)性的定義

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為/：

①如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值&A2,當(dāng)MVX2時，都有

那么就說函數(shù)f(X)在區(qū)間。上是增函數(shù)；

②如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值檢當(dāng)用＜及時，都有

那么就說函數(shù)在區(qū)間。上是減函數(shù).

名師解讀：對函數(shù)單調(diào)性的理解:

(1)定義中的X1,及有三個特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②屬于同一個區(qū)間；

③有大小，一般令M06.

(2)增、減函數(shù)的定義實現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化：若/(X)是

增函數(shù)，則/(玉)＜/(%2)=玉＜X2；若A%)是戒函數(shù)，貝U/(石)＜/(%2)=%＞為2-

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有

(嚴(yán)格的)區(qū)間。叫做片f(x)的.

名師解讀：對函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理解

(1)一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“U”連接，而應(yīng)該用“和”連

接.

(2)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，體現(xiàn)在函數(shù)的定義域或其子區(qū)間上，所以函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集.

(3)函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，在某一點上不存在單調(diào)性.

1%是有理數(shù)

(4)并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性.如函數(shù)/?(%)='十皿.就不具有單調(diào)性.

0,x是無理數(shù)

名師解讀：常見函數(shù)的單謂件

函數(shù)類型單調(diào)性

k>0在R上單調(diào)遞增

一次函數(shù)y=kx+b(kw0)

k<0在R上單調(diào)遞減

k>0單調(diào)減區(qū)間是(-8,0)和(0,+8)

反比例函數(shù)y="(左力0)

k<0單調(diào)增區(qū)間是(-8,0)和(0,+?)

bb

a>0單調(diào)減區(qū)間是(-叱-T)，單調(diào)增區(qū)間是［-丁,+8)

二次函數(shù)2a2a

y=ax2+bx+c(aw0)bb

a<Q單調(diào)減區(qū)間是［-丁,+8),單調(diào)增區(qū)間是(-00,一二)

2a2a

【知識點二、函數(shù)的最大值與最小值】

1.最大值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)例滿足：

(1)對于任意的xe/,都有；(2)存在使得.

那么，我們稱例是函數(shù)y=/(x)的最大值.函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點的縱坐標(biāo).

2.最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)。滿足：

(1)對于任意的xe/,都有；(2)存在/e/,使得.

那么，我們稱〃是函數(shù)y=/(x)的最小值.函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點的縱坐標(biāo).

名師解讀：一函數(shù)的最值與單調(diào)件的關(guān)系

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,加上是增函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是減函數(shù)，則函數(shù)

y=/(x),xe(a,c)在％=b處有最大值/(0).

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,加上是減函數(shù)，在區(qū)間出,c)上是增函數(shù)，則函數(shù)

y=f(x),xe(a,c)在x=b處有最小值.

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間3,功上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間3,口的左、右端點處分

別取得最小(大)值和最大(小)值.

三、題型分析

（-）證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性

例1.（1）、（2021?貴州?高二學(xué)業(yè)考試）定義在區(qū)間［-2,2］上的函數(shù)"X）的圖象如圖所示,

則/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)圖象直接確定單調(diào)遞減區(qū)間即可.

【詳解】

由題圖知:在［-1,1］上的單調(diào)遞戒，在（-2,-1）,（1,2）上/⑺的單調(diào)遞增，

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為［-1,1］.

故選：B

（2）、（2020?上海高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，在（-8,0）是增函數(shù)的是（）

13

A.y=x3B.y=x2C.y=—D._2

x）v一人r

【答案】A

【分析】

分別判斷各選項函數(shù)所對應(yīng)的單調(diào)增區(qū)間，可得答案.

【詳解】

對于A,丁=兀3在（一亂0）是增函數(shù)，正確；

對于B,y=必在（ye,。）是減函數(shù)，錯誤；

對于C,y=:在（—8,0）是減函數(shù)，錯誤；

對于D,y=必在（-8,0）上沒有意義，錯誤；

故選：A

⑶.（2020?貴陽市清鎮(zhèn)養(yǎng)正學(xué)校高一月考）函數(shù)/口卜％2—3無的單調(diào)遞增區(qū)間為

A.-3,+00

B.(3,+oo)

I2

c.*

【答案】c

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間.

【詳解】

3

二次函數(shù)/（同二％2—3匕圖像開口向上，對稱軸為x=5

所以函數(shù)/（x）=f—3］的單增區(qū)間為

故選：C.

【變式訓(xùn)練1-1】、（2022.江蘇高一）下列函數(shù)在（一應(yīng)0）單調(diào)遞減的是（

1,

A.y=——B.y=x

x

C.y=-x2D.y=X

【答案】B

【解析】

【分析】

逐個判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.

【詳解】

對于A,函數(shù)y=在區(qū)間（-”,0）上是增函數(shù)，故A不正確；

對于B,函數(shù)＞=/在區(qū)間（-”,0）上是減函數(shù)，故B正確；

對于C,函數(shù)y=-V在（-8,0）上是增函數(shù)，故C不正確；

對于D,函數(shù)V=無在（-8,0）上是增函數(shù)，故D不正確.

故選：B.

【變式訓(xùn)練1-2】.（2022.江蘇.高一）（多選題）下列函數(shù)中，在（2,+8）上單調(diào)遞增的是

A./(x)=|x-3|B.〃%)=尤」

八/、a/xfx+3,x<3

C.小）=一2"D.〃x）=）_3,G3

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出結(jié)論.

【詳解】

對于A選項,〃x）=|x-3|=]

所以，函數(shù)/（切=歸-3|在（2,3）上單調(diào)遞減，在[3,內(nèi)）上單調(diào)遞增，故A錯誤；

對于B選項，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/（無）=》+/在（2,+8）上單調(diào)遞增，故B正

確；

對于C選項，因為函數(shù)>=/、、=2彳在在（2,+8）上均為增函數(shù)，

故函數(shù)〃力=彳3+2彳在（2,+8）上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D選項，對于函數(shù)=/月=]+3=?，/'⑶=5,

則后]>〃3）,故函數(shù)=]在（2*）上不是增函數(shù)，故D錯誤.

y2y[2—，無23

故選：BC.

【變式訓(xùn)練1-3】、（2021.徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一期中）（多

選題）下列函數(shù)中，在（。,+8）上為增函數(shù)的是（

A.f（x）-l-3xB./（尤）=-工+2

x

C.f（x）=—x2+1D.于（x）=2A/X

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)判斷即可；

【詳解】

解：對于A：/（%）=1-3尤在定義域R上單調(diào)遞減，故A錯誤；

對于B：/（元）=-1+2在（0,—）上單調(diào)遞增，故B正確；

對于C：〃力=-爐+1在（0,+8）上單調(diào)遞減,在（一8,0）上單調(diào)遞增，故C錯誤;

對于D：/（x）=2?在定義域[0,+8）上單調(diào)遞增，故D正確；

故選:BD

9

例2.（1）（2020?廣東?新會陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）根據(jù)定義證明函數(shù)了。）=尤」在區(qū)間

[3,+8）上單調(diào)遞增.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

利用單調(diào)性的定義，按照取值、作差、化簡、定號、得結(jié)論的步驟，即可得證

【詳解】

證明：目3,+8）,且不<馬，

（9、/9、

則/（無1）-/（々）=1七十-—X2+~

(占-x2)(l——)=(X]-x2)^^--

_

x2>%1>3,x^x2>9,貝IJ占馬9>0,

xt<x2,—x2<0,

即/(%)<八%),

9

二.函數(shù)/（%）=%+=在區(qū)間B+8）上單調(diào)遞增.

⑵.（2020?巴南區(qū)?重慶市實驗中學(xué)高一月考）已知函數(shù)/（x）=?！猉,尤e（0,+8）.

X

（1）判斷并證明;'（X）在（。,+8）上的單調(diào)性；

X

（2）解不等式/門-一-、>2.

【答案】（1）單調(diào)遞減，證明見解析；（2）（-1,1）.

【分析】

（1）根據(jù)定義法證明函數(shù)/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減即可；（2）首先找到/'（1）=2,然

1-X

后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式f＞2化簡得到。＜￡＜1,最后求解不等式即可

、3+x

【詳解】

設(shè)Vxi，%滿足0＜再＜%2,

/(%)一/(%2)=~~~X\----

'石7I九2、

-(x1-x2)=(x2-x1)+1

/

,/0<玉<%2,

3

?*.X7—Xy>0,--F1>0,

XxX2

-，'/(%)-/(%2)>。，

■■/(石)>/(%)，

/(x)在(O,+8)上單調(diào)遞減.

(2)令/(m)=2,解得加=1或-3,

..m>0,

m=l,

[>2=川)

???/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且了

、3+x

解得一1V%vl,

即不等式解集為（—1,1）.

【變式訓(xùn)練2-1】、（2021,四川甘孜?高一期末）判斷并證明$在（。,+8）的單調(diào)

性.

【答案】函數(shù)〃x）在（0,+巧單調(diào)遞增

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可

【詳解】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義：

任取0＜網(wǎng)＜々，所以

占2(k+l)-/2(婷+1)-x2_(%1-X)(Xj+x)

22222

22(X：+lj(尤2?+1)(%1+1)(%2+1)

(^+1)(%2+1)

因為。＜玉＜尤2,所以為一3＜。，所以『a)-f(x2)＜°

所以原函數(shù)單調(diào)遞增。

2r-3

【變式訓(xùn)練2-2】.(2021?浙江高一期末)已知函數(shù)［(x)=N-

x+1

(1)判斷函數(shù)/(元)在［0,+8)上的單調(diào)性，并用定義證明其結(jié)論；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［2,9］上的值域.

13

【答案】⑴函數(shù)/(X)在［0,+8)上是增函數(shù)，證明見解析；(2)

【分析】

(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域.

【詳解】

(1)函數(shù)〃x)在［0,+8)上是增函數(shù).

證明：任取芯e［0,+℃),且玉<馬，

f(x\_f(x\_2石—3_2%-3_(2周-3)(。+1)_(29-3)()+1)

M17

八2廣菁+i%+1—(玉+1)(々+1)(%2+1)(%］+1)

5(玉-x2)

(菁+1)(工2+1)’

Q玉一工2<0,+1)(%2+1)>0,

；./(%)—/(%2)<。，即/(再)</(蒼)，

???函數(shù)/'(X)在［0,+8)上是增函數(shù)；

(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間［2,9］上是增函數(shù)，

又八2)=箋〃9)=2x9-3_3

9+12

13

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間［2,9］上的值域為

【點睛】

用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：(1)取值，設(shè)石，龍2^。，且玉；(2)作差，求

/(%)—/(%)；(3)變形，(合并同類項、通分、分解因式、配方等)向有利于判斷差值

符號的方向變形；（4）定號，判斷/（%）-/（9）的正負(fù)符號，當(dāng)符號不確定時應(yīng)分類討

論；（5）下結(jié)論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論.

（二）函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

例3.（1）、（2022.江蘇.高一）設(shè)是定義在區(qū)間［-2,2］上的嚴(yán)格增函數(shù).若

f（2?2-l）>/（o+2）,則a的取值范圍是.

【答案】［-^,-1）.

【解析】

【分析】

2cr—1>a+2

根據(jù)題意，列出不等式組-2V2/_1V2,即可求解.

-2<a+2<2

【詳解】

由題意，函數(shù)〃x）是定義在區(qū)間［-2,2］上的嚴(yán)格增函數(shù)，

—1>a+2

因為+可得一2V2〃_142,解得一通

-2<a+2<22

所以實數(shù)a的取值范圍是［-4,-1）.

故答案為：［-^,-1）.

（2）、（2022?甘肅慶陽.高一期末）若函數(shù)y=〃x）在R上單調(diào)遞增，且

〃2〃L3）>"T〃），則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.（-oo.-l）B.（-l,+oo）C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由單調(diào)性可直接得到2m-3>-m,解不等式即可求得結(jié)果.

【詳解】

,."（尤）在R上單調(diào)遞增，/（2m-3）>y（-m）,:.2m-3>-m,解得：機>1,

，實數(shù)旭的取值范圍為（1,+s）.

故選：C.

⑶、(2022?江蘇?高一)如圖是函數(shù)y=〃x)的圖象，則函數(shù)y=在下列區(qū)間單調(diào)遞

減的是()

A.[—6,—4]B.[Y,—1]C.[—1,2]D.[2,5]

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用函數(shù)圖像與函數(shù)單調(diào)性的對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合圖像即得解

【詳解】

結(jié)合圖像易知，

函數(shù)/(X)在區(qū)間[y-1]、[2,5]上單調(diào)遞減,

故選:BD

【變式訓(xùn)練3-1】.(2021?云南麗江市?高一期末)函數(shù)/(x)=—爐+2(1)x+3在區(qū)間

(-8,4]上單調(diào)遞增，則加的取值范圍是()

A.[-3,+8)B.[3,+co)

C.(-<?,5]D.(-oo,-3]

【答案】D

【分析】

先求出拋物線的對稱軸x=—=1—加,而拋物線的開口向下，且在區(qū)間(—,4]

上單調(diào)遞增，所以1-從而可求出冽的取值范圍

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=—必+2(1—m)x+3的圖像的對稱軸為x=—處迎=1—加，

-2

因為函數(shù)/(%)=-%2+2(1—m)x+3在區(qū)間(—,4]上單調(diào)遞增,

所以1一7”之4,解得加〈一3,

所以m的取值范圍為（7）,-3］,

故選：D

【變式訓(xùn)練3-2】.（2020,北培區(qū)?重慶市朝陽中學(xué)高一期中）已知函數(shù)/（九）是定義在

［—3,3］上的減函數(shù)，且/（2x—則實數(shù)％的取值范圍為.

【答案】［-1,1）

【分析】

利用函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式即可.

【詳解】

因為函數(shù)/（%）是定義在［—3,3］上的減函數(shù)，且/（2x—1）>/⑴，

所以—3W2x—1<1,故—1WX<1.

故答案為：［-M）.

【變式訓(xùn)練3-3】.（2022?陜西?銅川陽光中學(xué)高一期末）若函數(shù)/。）=徵？+（%-1）尤+1在區(qū)

間（F』］上為減函數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍為.

【答案】。］

【解析】

【分析】

分類討論，mwO時根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

“7=0時，/（X）=一尤+1滿足題意；

m>0

根wO時，,m-1,解得。<根工：,

-----213

、2m

綜上〃ze［O,g］,

故答案為：［°，3?

例4.（2021?浙江湖州市?湖州中學(xué)高一月考）若函數(shù)=￥*在區(qū)間［0』上的最大

值為3,則實數(shù)加=（）

2

A.3B.-C.2D.2或3

22

【答案】B

【分析】

函數(shù)/(%)化為/'(x)=2+'^,討論加=2,相>2和相<2時函數(shù)的單調(diào)性，運用

單調(diào)性可得最小值，解方程即可得到所求值.

【詳解】

函數(shù)/=即/?(x)=2+^^,XG［0,1］,

X+1JC+1

當(dāng)m=2時，/(x)=2不成立；

當(dāng)根—2>0,即加>2時，"％)在［?！贿f減，可得/(。)為最大值，

即/10)=上［=：，解得機=:成立；

當(dāng)加—2<0,即加<2時，〃X)在［0』遞增，可得”1)為最大值，

OI-T7S

即/>。)=方一=5,解得加=3不成立；

綜上可得機=2.

2

故選：B

【變式訓(xùn)練4-1】.(2021,全國高一課時練習(xí))函數(shù)y=/(x)滿足：對任意的石,々6尺總

/(X)-/(X2)c,

有二:二;>0.則不等式/(m2+1)>f(2m)的解集為.

【答案】{"?|根W1}

【分析】

由條件可得函數(shù)y=f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，然后可解出答案.

【詳解】

因為對任意的%,％6氏總有/>0

所以函數(shù)y=/(X)是R上的單調(diào)增函數(shù)，

從而由f(m2+1)>/(2%)得〃/+1>,解得“2/1.

故答案為：{mI根,1}

（三）分段函數(shù)的單調(diào)性與最值

ax—1,x<\

例5.（1）、（2021.廣東.汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高一期中）已知函數(shù)〃x）=

x2-lax,x>l

滿足V冷尤?eR且占有"）＞0,則實數(shù)。的取值范圍是

.（用集

玉一“2

合或區(qū)間表示）

【答案】|0,|

【解析】

【分析】

由條件可知函數(shù)是增函數(shù)，可得分段函數(shù)兩段都是增函數(shù)，且x=l時，滿足2a,

由不等式組求解即可.

【詳解】

因為對且％片馬都有"飛）一"々）＞o成立,

玉一%2

所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.

a>0

2

所以。41,解得0<a<—

。一1W1—2。

2

故答案為：（0,-].

（3〃—l）x+3〃,x<1

（2）.（2020?江蘇常州市?常州高級中學(xué)高一期中）已知函數(shù)/'（%）=

一九2+1,X21

在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是（

￡11

A.B.C.—00—

146?33

1

D.

:嗚3*

【答案】B

【分析】

根據(jù)函數(shù)/（%）為R上的減函數(shù)可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式組，由此可解得實數(shù)。的取值

范圍.

【詳解】

由題意可知，y=（3a—l）x+3a在上為減函數(shù)，則3。一1＜0,

函數(shù)y=—/+1在［1,+8）上為減函數(shù)，且有（3a—l）+3a?0,

3〃一1<0-g11

所以，《解傳—<a<—.

6〃一12063

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是，二

63

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：在利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)時，除了分析每支函數(shù)的單調(diào)性外，還應(yīng)由

間斷點處函數(shù)值的大小關(guān)系得出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解.

2丫+3

（3）、（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選題）已知函數(shù)則下列敘述正確的是

x+4

A.f（x）的值域為（-°o,T）U（-4,y）B./（x）在區(qū)間（fo,T）上單調(diào)遞增

C./（x）+/（-8-x）=4D.若xe{x|x>-4,xeZ},貝（］/（尤）的最小值

為-3

【答案】BCD

【解析】

【分析】

將函數(shù)轉(zhuǎn)化為了。）=型史=2（1+4）5=2一_二，再逐項判斷.

x+4x+4x+4

【詳解】

7薪、2x+32（x+4）-5-5

函數(shù)/（x）=----=」------=2-----,

x+4x+4x+4

A.Ax）的值域為（F,2）U（2,??）,故錯誤;

B.Ax）在區(qū)間（f,T）上單調(diào)遞增，故正確；

C./（%）+〃一8-同=型?+空?=4,故正確；

x+4x+4

D.因為%￡{%|X>-4,%￡Z},則