專題23全等三角形旋轉(zhuǎn)法

一、單選題

1.如圖所示，且=ABC為直角三角形，ZACB=90°,已知3c=2,AC=5,則四邊

形ABCD的面積為（）

A

Bc

“2535

A.一B.15C.——D.20

22

2.如圖，點P是等邊三角形A3c內(nèi)一點，且PA=6,PB=8,尸。=10,若將△AP3繞著點5逆時針旋轉(zhuǎn)

后得到△CQ5,則/AP3的度數(shù).（）

-------------C

A.90°B.120°C.150°D.165°

3.如圖，在四邊形/物中，ZADC=ZABC=^O°,AB=BC=5,BD=7,則RtZ\49C的周長為（）

韋D，

B

A.572B.7夜C.972D.1272

4.如圖，。是正ABC內(nèi)一點，OA=3,03=4OC=5.將線段30以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°

得到線段50',下列結(jié)論錯誤的是（）

A

二

A.點。與。，的距離為4B.ZAOB=150°

C.S四邊形A0B0，=6+4下）D.S/\AOB+=3+4^3

5.如圖，正方形/以a中，點儀尸分別在線段6a切上運動，且滿足NE4尸=45°,AE、/尸分別與劭相

交于點4N,下列說法中：①BE+DF=EF；②點A到線段"的距離一定等于正方形的邊長；③BE=2,DF

=3,則S△/⑦=15；④若AB=6梃,BM=3,則筋-5.其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

6.如圖，在△49C中，點題"分別是/G況'上一點，AM=BN,ZC=60°,若48=9,BM=7,貝|仞V的

長度可以是（）

A.2B.7C.16D.17

7.如圖，在邊長為4的正方形463中，對角線AGBD交于點、0,E在.BD上,連接陽作藥」應(yīng)交四

于點E交AC于點、G,連接CF交加于點〃，延長應(yīng)交助于點瓶連接題則下列結(jié)論：①點￡到陽

3

%的距離相寄②―③加二分；④若小2,則如=“正確的有（）個.

ZMD

因

BC

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

8.如圖，已知點尸是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接PA、PB、PC.若叢=4,PB=2,ZAPS=135°,

則PC的長為

9.如圖，等邊中，ZAOB=115。,NBOC=125。,則以線段OA,OB,OC為邊構(gòu)成的三角形的各角的度

數(shù)分別為.

10.如圖，在直角坐標(biāo)系中，B(0,3)、C(4,0)、D(0,2),AB與CD交于點、P,若/加仁45°,則/

點坐標(biāo)為.

11.如圖，尸為等邊三角形ABC內(nèi)一點，且點這到三個頂點4B、C的距離分別為6、8、10,貝kABC的

面積為______________.

12.如圖，點C為線段的中點，￡為直線AB上方的一點，且滿足CE=CB,連接AE,以AE為腰，A

為直角頂點作等腰放△ADE,連接CD,當(dāng)CO最大，且最大值為應(yīng)+1時，則AB.

三、解答題

13.已知，如圖1,四邊形ABC。是正方形，E,歹分別在邊BC、CO上，且ZE4F=45。，我們把這種模

型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法.

（1）在圖1中，連接所，為了證明結(jié)論"=”，小亮將AW尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后解答了

這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程;

⑵如圖2,當(dāng)一爾繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與。尸、3E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

14.如圖，菱形46（小中，E、尸分別是邊切上的兩個動點（不與菱形的頂點重合），且滿足上龍,

ZA=60°.

DD

E

F

備用圖

(1)寫出圖中一對全等三角形：.

(2)求證：△購是等邊三角形；

(3)若菱形4?3的邊長為2,設(shè)△〃陽的周長為如則m的取值范圍為一(直接寫出答案);

(4)連接/C分別與邊龐、外交于點欣兒且/儂'=15。，試說明：MN2+CN2=AM2

15.如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+/ADC=180°,點E,F分別在四邊形ABCD的邊BC,CD上,

ZEAF=|ZBAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.

A

(1)思路梳理

將4ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AADG,使AB與AD重合，由NB+NADC=180°,得NFDG=180°,即點F,D,

G三點共線，易證4AFG絲AAFE,故EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系為_；

(2)類比引申

如圖2,在圖1的條件下，若點E,F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB,DC延長線上，ZEAF=y

ZBAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

(3)聯(lián)想拓展

如圖3,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D,E均在邊BC上，且/DAE=45°，若BD=1,EC=2,直接寫

出DE的長為

16.如圖所示，已知為等腰直角三角形，ABAC=90°,E,6是回邊上的點，且ZE4F=45。.求證:

BEr+CF-=EF-.

A

17.問題解決：如圖1,尸是等邊ABC內(nèi)一點，且PA=3,PB=4,PC=5,若將AR4c繞點A逆時針旋

轉(zhuǎn)后，得到尸AB,則點尸與P'之間的距離為尸P=,ZAPB=度.

B

圖1

類比探究：如圖2,點尸是正方形ABCD內(nèi)一點，PA=l,PB=2,PC=3.你能求出/APB的度數(shù)嗎？

寫出完整的解答過程.

圖2

遷移運用：如圖3,若點尸是正方形ABCD外一點，PA=5,PB=2,ZAP3=45。，則PC=.（直接

寫出答案）

18.已知：ZkABC中，CA=CB,ZACB=90°,D為AABC外一點，且滿足/ADB=90°

⑴如圖所示,求證：DA+DB=72DC

A

D

⑵如圖所示，猜想DA.DB.DC之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

A

(3)如圖所示，過C作CHXBD于H,BD=6,AD=3,貝UCH=」

19.(1)問題背景：如圖1,正方形A65中，尸在直線切上，￡在直線比1上.若尸=45°,求證：BE

+FAEF；

(2)遷移應(yīng)用：如圖2,將正方形/及力的一部分沿面翻折，使/點的對應(yīng)點￡在8c上，且/〃的對應(yīng)邊

EM交CD于F點、.若龐=3,EC=2,求哥1的長；

(3)聯(lián)系拓展：如圖3,正方形切中，E、。在切上，尸在a'上，若EF=EA,/FQA=/FEA.若/CFQ

=34°,則小°.

圖1圖2圖3

20.(1)問題引入：如圖1,點尸是正方形/成/邊切上一點，連接/凡將，./如繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90°

與,/%重合(〃與6重合，戶與G重合，此時點G,B,C在一條直線上)，/劭戶的平分線交寬于點￡,

連接研判斷線段廝與面之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)知識遷移：如圖2,在四邊形力6切中，/ADG/8=180°,AB=AD,E,尸分別是邊6C,3延長線

上的點，連接力反AF,且/BAD=2/EAF,試寫出線段豳EF,如之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)實踐創(chuàng)新：如圖3,在四邊形被力中，/被7=90°,AC平分NDAB,點￡在力6上，連接陽CE,

且/DAB=/DCE=60°，若DE=a,AD=b,AE=c,求助的長.(用含a,b,c的式子表示)

21.如圖，4犯9為矩形，AB=46,42=4,EF為ABCD內(nèi)兩點,求(AF+DF+FE+CE+BE)的最小值.

AB

22.心AABC中，//%=90。，AC=BC,點￡為外一點，且/儂=45。.求證：AELBE.

23.如圖，在△/6C中，AB=AC=2“.N物C=120°,點、D,￡都在邊上，NDAE=60°,若BD=2CE,

求龐的長.

Bn

24.(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,4？=ND=90。，E、/分別是邊BC、CD上的點，且

ZEAF=^ZBAD.求證：EF=BE+FD；

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊3CCD上的點，且

EF=BE+FD;求證：ZEAF=^ZBAD,

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、b分別是邊BC、CD延長線上的點,

且NE4尸=40。，ZBAD=80°,寫出砂、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

25.如圖，菱形48切與菱形旗◎'的頂點8重合,頂點/在射線/C上運動，且N3CD=NBGF=120。，對

角線劭相交于點0.

(1)如圖1.當(dāng)點尸與點。重合時，直接寫出黑的值為

FD

(2)當(dāng)頂點尸運動到如圖2的位置時，連接CG,CGLBG,且CG=3C,試探究CG與郎的數(shù)量關(guān)系,

說明理由，并直接寫出直線CG與如所夾銳角的度數(shù)；

(3)如圖3,取點戶為力。的中點，若氏E、戶三點共線，且當(dāng)6F=2時，請直接寫出族的長.

A

⑴如圖1,若。是ABC內(nèi)一點，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連AD,BE,求證：AD=BE；

⑵若。是一ABC外一點，將線段C。繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,且AE=AB,連結(jié)被猜想：線段CD

和滿足什么數(shù)量關(guān)系？請在圖2中畫出符合要求的圖形(一種即可)，并在你所畫圖形的基礎(chǔ)上完成證

明;

(3)如圖，若。是斜邊A3的中點，M為BC下方一點、,且OM=身叵，CM=1,ZBMC=45°,則=

2

27.1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點4B,C,求

平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該

點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇

填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④

處填寫該三角形的某個頂點)

當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將繞，點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到一AP'C,連接PP,

由PC=PC,NPCP'=60。，可知△尸W為①三角形,故PP=PC,又P4=R4,故

PA+PB+PC=PA1+PB+PP1>AB,

由②可知,當(dāng)B,P,P',/在同一條直線上時，24+尸3+尸。取最小值，如圖2,最小值為此時

的產(chǎn)點為