專題07相似三角形中的重要模型手拉手模型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，

是中考的?？碱}型。手拉手模型相似是手拉手模型當(dāng)中相對(duì)于手拉手全等模型較難的一種模型，在實(shí)際的

應(yīng)用和解題當(dāng)中出現(xiàn)時(shí)，對(duì)于同學(xué)們來說，都比較困難。而深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯

著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）。

手拉手相似證明題一般思路方法:

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等;

②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形;

③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等;

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。

模型1.“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）

【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小（這個(gè)頂點(diǎn)

不變），我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形

的旋轉(zhuǎn)相似三角形。

1）手拉手相似模型（任意三角形）

條件:如圖，ZBAC=ZDAE=a,些=絲=左；結(jié)論：△ABD^AACE；-=k-

ABACBD

2）手拉手相似模型（直角三角形）

條件:如圖，ZAOB=ZCOD=90°,—=—=(即△CODS/VIOB)；

OAOB

結(jié)論：△AOC-ABOD；Q=k，SARrn=-ABxCD.

ACABCD2

3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）

A

A

B

條件加為等邊三角形ABC和。EP的中點(diǎn)；結(jié)論：4BMEs^CMF；-=Jj-

CF

條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABDS^ACE.

例1.（2022?山西?壽陽(yáng)縣九年級(jí)期末）問題情境：如圖1所示，在她8。中，D、E分別是A3、AC上的點(diǎn),

DE//BC,在圖1中將石繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2,然后將5。、CE分別延長(zhǎng)至M、N,

使。ENqCE,得到圖3,請(qǐng)解答下列問題:

圖2

M

圖4

⑴猜想證明：若AB=AC,請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖2中，8。與CE的數(shù)量關(guān)系是.

②在圖3中，猜想OMAN與回54c的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

（2）拓展應(yīng)用：其他條件不變，若按上述操作方法，得到圖4,請(qǐng)你繼續(xù)探究：與SBAC

的數(shù)量關(guān)系？AM與AN的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想.

例2.（2022?新鄉(xiāng)中考模擬）在△A8C中，CA=CB=m,在中，DA=DE=^m,請(qǐng)?zhí)剿鹘獯鹣铝?/p>

2

問題.

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,若/ACB=/AOE=90°,點(diǎn)。，E分別在CA,A8上，則C。與8E的數(shù)量關(guān)

系是,直線CD與BE的夾角為；

【類比探究】（2）如圖2,若/ACB=NAZ）E=120°,將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則C。

與BE之間是否滿足（1）中的數(shù)量關(guān)系？說明理由.

【拓展延伸】（3）在（1）的條件下，若加=2,將△4瓦（繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B,E,。三點(diǎn)共線.請(qǐng)

直接寫出C。的長(zhǎng).

例3.（2022?山東?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在R/BABC中，0BAC=90°,AB=AC,。為斜邊

BC上一點(diǎn)、（不與點(diǎn)B,C重合），將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,則線段3。與CE

的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;

【探究證明】如圖2,在R/E1A2C和R/EL4OE中，EBAC=0DAE=9O°,AB^AC,AD=AE,將0AOE繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C,D,E在同一條直線上時(shí)，8。與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；

【拓展延伸】如圖3,在RZ08C。中，MCZ）=90。，BC=2CD=4,過點(diǎn)C作CAE1B。于A.將0AC￡>繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.設(shè)旋轉(zhuǎn)角回C4E為。（00<?<360。），當(dāng)C,D,E在同一條直線上時(shí)，

畫出圖形，并求出線段8E的長(zhǎng)度.

例4.（2022?山東?東營(yíng)市一模）【提出問題】

（1）如圖1,在等邊EIABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)2、C）,連結(jié)AM,以AM為邊作等

邊0AMN,連結(jié)CN.求證：0ABe=0ACN.

【類比探究】（2）如圖2,在等邊0ABe中，點(diǎn)/是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C）,其它條件不

變，（1）中結(jié)論她2C=EIACN還成立嗎？請(qǐng)說明理由.

【拓展延伸】（3）如圖3,在等腰0ABe中，8A=BC,點(diǎn)M是8C上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)8、C）,連結(jié)

AM,以AM為邊作等腰0AMM使頂角0AMN=0A3C.連結(jié)CN.試探究EL4BC與0ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

例5.（2022?長(zhǎng)垣市一模）在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，ZCDE=ZBAC=a,CD=ED,

連接BE,EC.（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若a=60°,則/E3A=,4。與班的數(shù)量關(guān)系是

（2）類比探究：如圖②，當(dāng)a=90。時(shí)，請(qǐng)寫出/EBA的度數(shù)及與EB的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

圖①圖②圖③

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)E為正方形48CQ的邊A8上的三等分點(diǎn)，以DE為邊在OE上方作正方形

OEBG,點(diǎn)。為正方形。EFG的中心，若OA=近,請(qǐng)直接寫出線段斯的長(zhǎng)度.

例6.（2022?成都市,九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放

（點(diǎn)、E、A、。在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)鹿=Z）G且3ELDG.

小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助解答：

（1）將正方形A￡FG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1）,還能得到BE=DG嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)

說明理由；

（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD,將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖

2）,試問當(dāng)NE4G與NSW的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，BE=DG；

AJ7ADO

⑶把背景中的正方形分別改寫成矩形皿G和矩形ABC"且彩=法=屋AE=2a,AB=2b（如

圖3）,連接DE,3G.試求DEj3G?的值（用a,b表示）.

圖3

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.如圖，在△ABC與△AOE中，ZACB=ZAED=90°,ZABC=AADE,連接3D、CE,若AC：BC=3：

4,則8D：。￡為（）

B

,D

E

LA

A.5：3B.4：3C.V5：2D.2：V3

2.如圖，△ABCs△ADE,ZBAC=ZDAE=90°,AB與。E交于點(diǎn)0,AB=4,AC=3,尸是。E的中點(diǎn)，

連接BD,BF,若點(diǎn)E是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①AAODSAFOB,（2）AB0D^AE0A,③/

FDB+ZFBE=9Q°,@BF=1A￡,其中正確的是（）

A.①②B.③④C.②③D.②③④

3、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,線段CE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且CE=3,連接BE,以BE為邊

作正方形3EFG,M為AB邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段FM的長(zhǎng)最小時(shí)，tan/ECB=

4.(2022?虹口區(qū)期中)如圖，在AABC和AAOE中，ZBAD=ZCAE,ZABC=AADE.

(1)求證：△ABCsLADE；(2)判斷△AB。與△ACE是否相似？并證明.

\

RC.

5.(2023,浙江?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))在0ABe中，AB=AC,&BAC=a，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接

PB,將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段產(chǎn)連接。3,DC.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，求證：E4=OC；

(2)如圖2,當(dāng)a=120。時(shí)，猜想必和。C的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

(3)當(dāng)a=120。時(shí)，若48=6,BP=屈,請(qǐng)直接寫出,點(diǎn)D到CP的距離.

7B^—----------—

圖1圖2備用圖

6.(2022?重慶,九年級(jí)課時(shí)練習(xí))觀察猜想

NA

A,A

N

M

圖1圖2圖3

⑴如圖1，在等邊AABC中，點(diǎn)M是邊8c上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）,連接AM,以4W為邊作等邊AAMN,

連接CN,則ZABC與ZACN的數(shù)量關(guān)系是.

⑵類比探究：如圖2,在等邊人鉆。中，點(diǎn)M是8c延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C）,（1）中其它條件不

變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由.

⑶拓展延伸:如圖3,在等腰中，BA=BC,點(diǎn)M是邊3C上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)2、C）,連接AM,

以AM為邊作等腰AAMN,使頂角ZAAW=N/RC.連按CN.試探究ZABC與ZACN的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

7.（2022?江蘇?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在R/0A8C中，回54c=90。，AB=AC,。為斜邊8C

上一點(diǎn)（不與點(diǎn)2,C重合），將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,則線段與CE的數(shù)

量關(guān)系是.，位置關(guān)系是.

【探究證明】如圖2,在R/0A8C和R/EL4DE中，0BAC=0DA￡=9O°,AB=AC,AD=AE,將0ADE繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C,D,E在同一條直線上時(shí)，8。與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由;

【拓展延伸】如圖3,在R/EIBCn中，SBC￡）=90°,BC=2CD=4,過點(diǎn)C作CAM。于A.將0ACO繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)￡.設(shè)旋轉(zhuǎn)角回C4E為a（00<?<360。），當(dāng)C,D,E在同一條直線上時(shí),

畫出圖形，并求出線段8E的長(zhǎng)度.

8.（2022?山東?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AMC和AADE是有公共頂點(diǎn)直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

點(diǎn)P為射線BO,CE的交點(diǎn).

D

D

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,若44BC和AADE是等腰直角三角形，求證：CP1BD；

（2）如圖2,若NA￡>E=NABC=30。，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由.（3）在（1）的條件下,

AB=4,AD=3,若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/E4c=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫出PB的長(zhǎng)度

40AT）1

9.（2023?廣東?深圳市九年級(jí)期中）（1）如圖1,R/EL48c與RZ0ADE,a4DE=ElABC=90o,—=—=-,

BCDE2

連接加>,CE.求證：—=^.（2）如圖2,四邊形A8CD,SBAD=SBCD=90°,>—連接BC,

CE5AD2

BC、AC,CD之間有何數(shù)量關(guān)系？

圖1圖2圖3

小明在完成本題中，如圖3,使用了"旋轉(zhuǎn)放縮”的技巧，即將S4BC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，并放大2倍,

點(diǎn)2對(duì)應(yīng)點(diǎn)D.點(diǎn)C落點(diǎn)為點(diǎn)E,連接。E,請(qǐng)你根據(jù)以上思路直接寫出BC,AC,CD之間的關(guān)系.

AD「寂1

（3）拓展:如圖4,矩形ABCD,E為線段AD上一點(diǎn)，以CE為邊,在其右側(cè)作矩形CEFG,

BCEF2

48=5,連接BE,BF.求臺(tái)石+^臺(tái)廠的最小值.

圖4

10.（2023?綿陽(yáng)市?九年級(jí)專題練習(xí)）在I3ABC中，AB=AC,回8AC=a，點(diǎn)P是回ABC外一點(diǎn)，連接BP,將

線段8尸繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段尸，連接CD,AP.

觀察猜想：

（1）如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，F(xiàn)7的值為，直線。與AP所成的較小角的度數(shù)為°;

AP

CD

類比探究：（2）如圖2,當(dāng)。=90。時(shí)，求出片的值及直線。與AP所成的較小角的度數(shù)；

AP

拓展應(yīng)用：（3）如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)E,尸分別為AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段FE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A,

D,尸三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)、G,CD交AB于點(diǎn)H.若0）=2+后，求的長(zhǎng).

11.（2023,湖北?九年級(jí)專題練習(xí)）在AABC和AADE中，BA=BC,DA=DE,且/ASC=/ADE=a,

點(diǎn)E在AABC的內(nèi)部，連接EC,EB,EA^BD,并且NACE+/ABE=90。.

B

BB

D

圖①w用圖

【觀察猜想】（1）如圖①，當(dāng)々=60°時(shí)，線段2。與CE的數(shù)量關(guān)系為,線段EA,EB,EC

的數(shù)量關(guān)系為

【探究證明】（2）如圖②，當(dāng)。=90。時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立,

請(qǐng)說明理由；

【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段8上時(shí)，若BC=2小,請(qǐng)直接寫出ABDE的面積.

12.（2023??廣西一模）如圖，△ACB和ADCE均為等腰直角三角形,

ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,DC=EC.現(xiàn)將△￡＞由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

（1）如圖1,若ARE三點(diǎn)共線，AD=^5,求點(diǎn)B到直線CE的距離；

（2）如圖2,連接4瓦8。，點(diǎn)尸為線段的中點(diǎn)，連接CF,求證：AELCF-

（3）如圖3,若點(diǎn)G在線段A3上，且AC=8,AG=7夜，在AACG內(nèi)部有一點(diǎn)。，請(qǐng)直接寫出

—0C+亞OA+巫0G的最小值.

22

13.（2022?南山區(qū)校級(jí)一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABC。的邊

和4。上，連接CE填空：①線段CB與。G的數(shù)量關(guān)系為；②直線CB與。G所夾銳角的

度數(shù)為.（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）

中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說明.（3）【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角

三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=10,。為AC的中點(diǎn).若點(diǎn)。在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE,

14、某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究:

圖1