第12講線段的垂直平分線的性質內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升【知識點1線段垂直平分線的定義及性質】1.定義：過線段的中點且與線段垂直的直線是這條線段的垂直平分線。如圖，若點C是AB的中點且PC⊥AB，則直線l是線段AB的垂直平分線。2.性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=BC，點P在l上.求證PA=PB.證明：當點P與點C不重合時，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.【知識點2線段垂直平分線的判定】方法①：根據(jù)定義證明一條直線經(jīng)過線段的中點且與線段垂直。方法②：到線段兩端點距離相等的點一定在這條線段的垂直平分線上。證明一個點到線段的兩個端點的距離相等。【知識點3作已知線段的垂直平分線】已知：線段AB，求作：線段AB的垂直平分線．作法：①以線段AB兩個端點為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧在線段的兩側別分交于C、D，如圖。②連接CD，過CD的直線即為線段的垂直平分線。如圖所示：【題型1利用線段垂直平分線的性質求線段長度】【例1】如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，交BC于點D，交AC于點E，AB=4cm，AC=5cm，BC=6cm，則△ABDA．9cm B．10cm C．11cm【答案】B【分析】本題考查垂直平分線的性質，根據(jù)DE是AC的垂直平分線得DC=DA，繼而得到AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC，可得答案．解題的關鍵是掌握：垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DC=DA，∵AB=4cm，AC=5cm，∴AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC=4+6=10cm∴△ABD周長為10cm故選：B．【變式11】如圖，DE垂直平分AC，△ABD的周長是8.5cm，AC=3cm，則△ABC的周長是（A．8.5cm B．9.5cm C．10.5cm【答案】D【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質定理，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質定理，可得AD=CD，從而得到BC=BD+AD，再由△ABD的周長為8.5cm，可得到AB+BC=8.5【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，∴BC=BD+CD=BD+AD，∵△ABD的周長為15cm∴AB+BD+AD=8.5cm∴AB+BC=8.5∵AC=3cm∴AB+BC+AC=8.5+3=11.5cm故選：D．【變式12】如圖，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，則△AEG的周長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，由線段垂直平分線的性質可得AE=BE，AG=CG，再由三角形的周長公式計算即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解此題的關鍵．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，∴AE=BE，AG=CG，∴△AEG的周長為AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=7，故選：C．【變式13】如圖，ΔABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD=DE．若△ABC周長為13cm，AC=6cm，DC=【答案】3.5【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和判定，先根據(jù)線段垂直平分線的性質和判定得AB=AE=CE，再根據(jù)△ABC的周長為13cm，AC=6cm，求出【詳解】解：∵EF是AC的垂直平分線，∴AE=CE．∵AD⊥BC,BD=DE，∴AD是BE的垂直平分線，∴AB=AE，∴AB=AE=CE．∵△ABC的周長為13cm，AC=6∴AB+BC=13?6=7(cm∴AB+CE+BD+DE=7cm則2CE+2DE=7，∴CE+DE=3.5cm即CD=3.5cm故答案為：3.5．【題型2利用線段垂直平分線的性質求角度】【例2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，分別以點A、B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN交BC于點D，連接AD．若∠B=13°，則∠DAC的大小為（A．26° B．64° C．74° D．77°【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，由作圖可知：MN平分AB，由線段垂直平分線的性質得出∠B=∠DAB=13°，最后由三角形內角和定理即可得出答案．【詳解】解：由作圖可知：MN平分AB，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=13°，∴∠DAC=180°?∠C?∠A?∠DAB=64°，故選：B【變式21】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50°．通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以求得∠DAEA．20° B．25° C．30°【答案】B【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理等知識點，熟練掌握線段垂直平分線的性質、角平分線的定義是解答本題的關鍵．由題可得，直線DF是線段AB的垂直平分線，AE為∠DAC的平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質、角平分線的定義以及三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：由題可得∶直線DF是線段AB的垂直平分線，AE為∠DAC的平分線，∴AD=BD,∴∠B=∠BAD=40°，∵∠B=40°，∠C=50°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=90°，∴∠DAC=∠BAC?∠BAD=50°∴∠DAE=1故答案為：B．【變式22】如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF、若∠A=60°，∠ACF=48°，則∠ABC的度數(shù)為．【答案】48°/48度【分析】由角平分線的定義可得∠ABD=∠BCD，由垂直平分線的性質可得BF=CF，從而得到∠FBC=∠FCB，進而得到∠ABD=∠FBC=∠FCB，由三角形內角和定理進行計算即可得到答案．本題主要考查了垂直平分線的性質、三角形內角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠FBC=∠FCB，∴∠ABD=∠FBC=∠FCB，∵∠A+∠ACF+∠ABD+∠CBD+∠BCF=180°，∠A=60°，∠ACF=48°，∴∠ABD=∠CBD=∠BCF=24°，∴∠ABC=2∠ABD=48°，故答案為：48°．【變式23】如圖，在△ABC中，∠A=70°，OD、OE分別是AB、AC的垂直平分線，則∠OCB的度數(shù)是．【答案】20°/20度【分析】本題考查了三角形的內角和定理，線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的性質．連接OA、OB，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得：OA=OB，OA=OC，推出OB=OC，∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，得到∠OBC=∠OCB，由∠A=70°，可得∠OBA+∠OCA=70°，∠ABC+∠ACB=180°?∠A=140°，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OA、OB，∵OD、OE分別是AB、AC的垂直平分線，∴OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠A=70°，即∠OAB+∠OAC=70°，∴∠OBA+∠OCA=70°，∠ABC+∠ACB=180°?∠A=140°，∴∠OCB=1故答案為：20°．【題型3作已知線段的垂直平分線】【例3】如圖，兩條筆直的小路AC與BD相交于點C，點A、C處分別為楓葉林景區(qū)和花卉景區(qū)，現(xiàn)打算在∠ACD內部修建一處觀景臺P，使得觀景臺P到AC的距離與觀景臺P到CD的距離相等．且AP=CP，請你找出觀景臺P的位置．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析．【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，作角平分線和線段的垂直平分線，涉及角平分線的性質和線段的垂直平分線的性質，正確理解題意是解題的關鍵．作線段AC的垂直平分線，∠ACD的平分線，交點即為所求．【詳解】解：如圖，作線段AC的垂直平分線，作∠ACD的平分線，與AC的垂直平分線交于點P，點P即為所求．∵觀景臺P到AC的距離與觀景臺P到CD的距離相等，∴點P在∠ACD的角平分線上，∵AP=CP，∴點P在線段AC的垂直平分線上，∴∠ACD的角平分線于線段AC的垂直平分線上的交點即為點P．【變式31】尺規(guī)作圖：求作點P，使點P到點M，N的距離相等，同時到∠AOB的兩邊OA,OB的距離也相等．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的判定定理，垂直平分線的判定應用，作線段的垂直平分線，作角平分線．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．由點P到點M和點N的距離相等，可知點P在線段MN的垂直平分線上，由點P到∠AOB兩邊的距離相等，可知點P在∠AOB的平分線上，即點P為線段MN的垂直平分線與∠AOB的平分線的交點，如圖作線段的垂直平分線與角平分線即可．【詳解】解：如圖：點P即為所求．【變式32】如圖，直線DE與∠AOB的兩邊OA，OB相交于(1)將線段DE平移，使D點與O點重合；(2)過D，E分別作OA，(3)在OB邊上求一點F，使MF最短．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)作圖見解析【分析】（1）如圖，作∠HOP=∠ODE，并在射線OP上截取OG=DE，則OG即為所求；（2）根據(jù)垂線的作法分別過點D、E作OA，DE的垂線，兩垂線相交于（3）過點M作OB的垂線，垂足為點F，則垂線段MF即為所求；本題考查了平移作圖，過一點作已知直線的垂線，垂線段最短，掌握基本作圖方法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，線段OG即為所求；（2）解：如圖所示，直線DM、EM即為所求；（3）解：如圖所示，線段MF即為所求．【變式33】請用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，按要求作圖（寫出必要的文字說明，保留作圖痕跡）．(1)已知△ABC，∠BAC是鈍角，AC<AB<BC，①在圖1中求作點P，使得：點P在邊BC上，且PA+PC=BC；②在圖2中求作△AMN，使得：點M、N在邊BC上，且△AMN的周長等于BC的長；(2)如圖3，已知線段BC，求作Rt△DEF，使得：直角邊DF在線段BC上，且Rt△DEF的周長等于【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖：作垂線，作一線段等于已知線段，作線段的垂直平分線，掌握這些基本作圖是解題的關鍵．（1）①作線段AB的垂直平分線，則PA+PC=PB+PC=BC；②分別作邊AB,AC的垂直平分線與BC交點為M,N，則C△AMN（2）在BC上取點D，過點D作BC的垂線，在垂線上取點E使DE=DB，連接EC，作EC的垂直平分線交BC于點F，則DE+EF+DF=DB+DF+CF=BC，則Rt△DEF【詳解】（1）解：①解：如圖，點P即為所求：②如圖，△AMN即為所求：（2）解：如圖，Rt△DEF【題型4線段垂直平分線的判定的運用】【例4】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線l1交AB于點M，交BC于點D，AC的垂直平分線l2交AC于點N，交BC于點E，l1與l2相交于點(1)求BC的長；(2)試判斷點O是否在邊BC的垂直平分線上，并說明理由．【答案】(1)BC=10(2)點O在邊BC的垂直平分線上，理由見解析【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質得到DB=DA，同理EA=EC，于是得到結論；（2）連接AO，BO，CO，根據(jù)線段垂直平分線的性質與判定即可得到結論．【詳解】（1）∵l1垂直平分∴DB=DA，同理EA=EC，∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10；（2）點O在邊BC的垂直平分線上，理由：連接AO，BO，CO，∵l1與l2是AB∴AO=BO，CO=AO，∴OB=OC，∴點O在邊BC的垂直平分線上．【變式41】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在線段BC上，且∠GDF=∠ADF，連接EG．求證：(1)AD=BF；(2)EG垂直平分DF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查平行線的性質，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的判定和性質．熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．（1）由平行線的性質可得出∠ADE=∠BFE，再根據(jù)點E是AB的中點，即得出AE=BE，由對頂角相等得出∠AED=∠BEF，即證明△AED≌△BEFAAS，得出AD=BF（2）由△AED≌△BEF，得出ED=EF．根據(jù)題意又易證GF=GD，結合EG=EG，可證△GFE≌△GDESSS，即得出∠GEF=∠GED=90°，即EG⊥DF【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，即AD∥CF，∴∠ADE=∠BFE．∵點E是AB的中點，∴AE=BE．又∵∠AED=∠BEF，∴△AED≌△BEFAAS∴AD=BF；（2）證明：∵△AED≌△BEF，∴ED=EF．∵∠ADE=∠BFE，∴∠GFD=∠GDF，∴GF=GD．又∵EG=EG，∴△GFE≌△GDESSS∴∠GEF=∠GED=90°，即EG⊥DF．∴EG垂直平分DF．【變式42】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別在邊AB、BC上，AC=AD,DF⊥AB，AE=AF，且EF⊥BC(1)求證：CE=DF；(2)連接CF，如果∠ACF=∠ABF．求證：點F在BC的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定，熟記全等三角形的判定定理與性質定理是解題的關鍵．（1）利用HL證明Rt△ACE≌（2）根據(jù)直角三角形的性質求出∠BFD=∠ECF，利用ASA證明△FCE≌△BFD，根據(jù)全等三角形的性質求出FC=FB，結合EF⊥BC即可得證．【詳解】（1）證明：∵DF⊥AB,∠ACB=90°，∴△ADF、△ACE是直角三角形，在Rt△ACE和RtAE=AFAC=AD∴Rt△ACE≌∴CE=DF；（2）∵EF⊥BC，∴∠CEF=90°,∠BDF=90°，∴∠BFD+∠ABF=90°，又∵∠ACB=∠ACF+∠ECF=90°,∠ACF=∠ABF，∴∠BFD=∠ECF，在△FCE和△BFD中，∠ECF=∠BFDCE=DF∴△FCE≌△BFDASA∴FC=FB，又∵EF⊥BC，∴點F在BC的垂直平分線上．【變式43】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BD=DF．(1)求證：CF=EB．(2)連接CE，求證：AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)CF=2【分析】本題考查了直角三角形全等的判定與性質，角平分線的性質，解題關鍵是在圖形中找到正確的全等三角形以及熟悉以上性質與判定．（1）利用角平分線的性質可得DC=DE，再利用“HL”證明Rt△DCF≌Rt△DEB（2）利用“HL”證明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，所以點A在CE的垂直平分線上，根據(jù)DC=DE，可得點D（3）設CF=BE=x，則AE=AB?BE=10?x=AC=AF+FC=6+x，即可建立方程求解．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB于點E，∴∠DEB=90°，又AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和RtDF=DBDC=DE∴Rt△DCF≌∴CF=EB．（2）證明：連接CE，如圖，在Rt△ACD和RtAD=ADDC=DE∴Rt△ACD≌∴AC=AE∴點A在CE的垂直平分線上，∵DC=DE，∴點D在CE的垂直平分線上，∴AD垂直平分CE；（3）解：設CF=BE=x，∵AB=10，AF=6，∴AE=AB?BE=10?x，AC=AF+FC=6+x，∵AE=AC，∴10?x=6+x，解得：x=2，∴CF=2．【題型5線段垂直平分線的性質與判定綜合】【例5】已知：如圖，AB=AC，DB=DC，點E在AD上，求證：【答案】見解析【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質和判定，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等和到線段的兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的判定定理可知AD是線段BC的垂直平分線，根據(jù)線段的垂直平分線的性質可知EB=EC．【詳解】解：∵AB=AC∴點A在BC的垂直平分線上，∵DB=DC，∴點D在BC的垂直平分線上，∴AD是線段BC的垂直平分線，∵點E在AD上，∴EB=EC．【變式51】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BD=DC．線段AC的垂直平分線交AD于點E，交AC于點F，連接BE．試問：線段AE與BE的長相等嗎？請說明理由．【答案】相等，理由見解析【分析】本題考查中垂線的判定和性質，連接CE，中垂線的性質，推出AE=CE,BE=CE，即可得出結論．【詳解】解：相等，理由如下：連接CE，∵AD⊥BC,BD=CD，∴AD垂直平分CB，∴,BE=CE，∵線段AC的垂直平分線交AD于點E，∴AE=CE，∴AE=BE．【變式52】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，點D為線段CE的中點，∠CAD=20°，∠ACB=70°．求證：BE=AC．【答案】見解析【分析】首先證明AD是線段EC的垂直平分線，即可得出AE=AC，根據(jù)AB的垂直平分線EF，即可得出AE=BE,即可證明．【詳解】證明：連接AE，∵∠ACB=70°，∠DAC=20°，∴∠ADC=180°?∠DAC?∠ACB=180°?20°?70°=90°，∴AD⊥EC．∵點D為線段CE的中點，∴DE=DC，∴AD垂直平分線段CE，∴AE=AC，∵EF垂直平分AB，∴AE=BE，∴BE=AC．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質與判定，熟練掌握垂直平分線的性質是解決問題的關鍵．【變式53】如圖，在△ABC中，直線l垂直平分邊BC，分別交AC，BC于點D，E．(1)若AB=9，△ABD的周長為19，求AC的長度；(2)若∠ADB=90°，求∠ACB的度數(shù)；(3)已知點P在線段DE上，且點P在邊AC的垂直平分線上，連接PC，試判斷點P是否在邊AB的垂直平分線上，若在，請證明；若不在，請說明理由．【答案】(1)AC=10(2)∠ACB=45°(3)點P在邊AB的垂直平分線上，理由見解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質，等腰直角三角形的性質，三角形的周長公式，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．（1）由線段垂直平分線的性質得BD=CD，再根據(jù)△ABD的周長為19、AB=9得BD+AD=10，所以CD+AD=10，即AC=10；（2）由∠ADB=90°得∠BDC=90°，由線段垂直平分線的性質得BD=CD，所以∠ACB=∠DBC=45°；（3）由線段垂直平分線的性質得PB=PC，PA=PC，所以PA=PB，即可得解．【詳解】（1）解：∵直線l垂直平分邊BC，∴BD=CD，∵△ABD的周長為19，∴AB+BD+AD=19，∵AB=9，∴BD+AD=10，∴CD+AD=10，∴AC=10；（2）解：∵∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∵直線l垂直平分邊BC，∴BD=CD，∴∠ACB=∠DBC=45°；（3）解：點P在邊AB的垂直平分線上，理由如下：連接PA、PB，∵直線l垂直平分邊BC，點P在直線l上，∴PB=PC，∵點P在邊AC的垂直平分線上，∴PA=PC，∴PA=PB，∴點P在邊AB的垂直平分線上．【題型6線段垂直平分線的性質與角平分線的性質綜合】【例6】如圖，點A，B分別在∠MON的邊OM，ON上，∠MON的平分線OC與AB的垂直平分線CD交于點C，CE⊥OM于點E，CF⊥ON于點F．(1)求證：AE=BF；(2)若OB=8，OE=6，求OA的長．【答案】(1)見解析(2)OA=4【分析】本題考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相關知識．（1）連接AC，BC，由線段垂直平分線的性質可得AC=BC，根據(jù)角平分線的性質可得CE=CF，∠CEA=∠CFB=90°，證明Rt△CEA≌（2）根據(jù)角平分線的性質可得CE=CF，∠CEO=∠CFO=90°，證明Rt△CEO≌Rt△CFO，得到OE=OF=6，推出BF=2即可求解．【詳解】（1）證明：連接AC，BC，∵CD垂直平分AB，∴AC=BC，∵CE⊥OM，CF⊥ON，OC平分∠MON，∴CE=CF，∠CEA=∠CFB=90°，∴Rt△CEA≌∴AE=BF；（2）∵CE⊥OM，CF⊥ON，OC平分∠MON，∴CE=CF，∠CEO=∠CFO=90°，∵OC=OC，∴Rt△CEO≌∴OE=OF=6，∴BF=OB?OF=8?6=2，由（1）知，AE=BF=2，∴OA=OE?AE=6?2=4．【變式61】在△ABC中，DE垂直平分AC，連接CE，CE平分∠ACB．(1)若∠CEB=46°，求∠B的度數(shù)．(2)若BC=4，△ABC的周長比△EBC的周長多8，△EBC的面積為6，則三角形AEC的面積為多少？【答案】(1)111°(2)12【分析】本題考查了垂直平分線的性質，角平分線的性質，熟知相關性質是解題的關鍵．（1）利用垂直平分線的性質得到∠A=23°，再得到∠ACB=46°，利用三角形內角和即可解答；（2）過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，根據(jù)題意求得AC,EF的長即可解答．【詳解】（1）解：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠A=∠ACE，∵∠BEC=46°，∴∠A=∠ACE=46°×∵CE為角平分線∴∠ACB=2∠ACE=46°∴∠B=180°?∠A?∠ACB=180°?46°?23°=111°；（2）解：如圖，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F∵EF⊥BC，DE⊥AC，CE為角分平線，∴EF=DE，∴S△EBC=∴EF=DE=3，∵C△ABC=AB+AC+BC，C△EBC=EB+EC+BC∴AC=8∴S△AEC=∴△AEC的面積為12．【變式62】如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，過點A作AF∥BC交CD于F，延長AB、DC交于點E．(1)求證：AC平分∠EAF；(2)求證：∠FAD=∠E；(3)若∠EAD=90°,AE=5，△AEC的面積為154，求CF【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質得到BA=BC，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠BAC=∠BCA，根據(jù)平行線的性質得到∠CAF=∠BCA，等量代換證明結論；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質得到DA=DC，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠DAC=∠DCA，再根據(jù)三角形的外角性質證明即可；（3）首先推導出CF⊥AF，過點C作CM⊥AE，垂足為M，依據(jù)△AEC的面積為154，求得CM=32，結合AC平分∠EAF，CM⊥AE,CF⊥AF【詳解】（1）證明：∵在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵過點A作AF∥BC交CD于F，∴∠CAF=∠BCA，∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF；（2）證明：∵在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一個外角，∴∠DCA=∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF，∵∠CAF=∠EAC，∴∠FAD=∠E；（3）解：過點C作CM⊥AE，垂足為M，如圖，∵∠EAD=90°，∴∠E+∠ADE=90°，又∵FAD=∠E，∴∠FAD+∠ADE=90°，∴∠AFD=90°，∴CF⊥AF，∵△AEC的面積為154∴12又∵AE=5，∴CM=3∵AC平分∠EAF,CM⊥AE,CF⊥AF，∴CF=CM=3【變式63】如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB上點，連接CD，∠ACD的平分線交AB于點E，并延長至點F，使得EF=AF，且∠EAF=∠ECB．(1)求證：CD⊥AB．(2)如圖2，若EG⊥AC，點H為CD上一點，連接AH，K為AH中點，且EK⊥AH，求證：AG=DH．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線定義設∠ACE=∠DCE=α，則∠ECD=α+∠1，根據(jù)EF=AF得∠EAF=∠3=α+∠2，再根據(jù)∠EAF=∠ECB得∠1=∠2，然后根據(jù)∠2+∠B=90°得∠1+∠B=90°，據(jù)此即可得出結論；（2）連接HE，先根據(jù)角平分線的性質得EG=ED，再證明EK是線段AH的垂直平分線，則AE=HE，然后可依據(jù)HL判定Rt△AEG和Rt【詳解】（1）證明：如圖1，∵CE平分∠ACD，∴設∠ACE=∠DCE=α，∴∠ECB=∠DCE+∠1=α+∠1，∵EF=AF，∴∠EAF=∠3又∵∠3=∠ACE+∠2=α+∠2∴∠EAF=α+∠2，∴∠EAF=∠ECB，∴α+∠1=α+∠2∴∠1=∠2，在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°∴∠1+∠B=90°，在△BCD中，∠CDB=180°?∠1+∠B∴CD⊥AB；（2）證明：連接HE，如圖：∵CE平分∠ACD，EG⊥AC,CD⊥AB，∴EG=ED，∵點K為AH中點，且EF⊥AK，∴EK為AH的垂直平分線，∴AE=HE，在Rt△AEG和RtAE=HEEG=ED∴Rt△AEG≌∴AG=DH．1．如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC、AC于點D、E，連接BE．若BE平分∠ABC，且∠A=72°，則∠CED的度數(shù)為（

）A．72° B．64° C．54° D．36°【答案】C【分析】本題考查中垂線的性質，與角平分線有關的三角形的內角和問題，根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ABC+∠C的度數(shù)，中垂線的性質，角平分線的定義，推出∠ABC=2∠C，進而求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠CED的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠A=72°，∴∠ABC+∠C=180°?72°=108°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵BC的垂直平分線分別交BC、AC于點D、E，∴∠EDC=90°,BE=CE，∴∠CBE=∠C，∴∠ABE=∠CBE=∠C，∴∠ABC=2∠C，∴∠ABC+∠C=3∠C=108°，∴∠C=36°，∴∠CED=90°?∠C=54°；故選C．2．如圖，△ABC中，∠ABC的平分線BD和AC邊的垂直平分線DE交于點D，DM⊥BA的延長線于點M，DN⊥BC于點N．若AM=2,BC=7，則AB的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．連接AD、CD，由BD是∠ABC的平分線，可得DM=DN，BM=BN，由線段垂直平分線的性質的得到AD=CD，進而由“HL”可證Rt△DMA≌Rt△DNC，可得AM=CN=2【詳解】解：連接AD、CD，如圖所示，∴DM=DN，BM=BN，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，在Rt△DMA和Rt△DNC∴Rt∴AM=CN=2，∴BM=BN=BC?CN=BC?AM=7?2=5，∴AB=BM?AM=BN?AM=5?2=3，故選：C．3．在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點M，P，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點N，A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14【答案】D【分析】本題考查了垂直平分線的性質．根據(jù)線段垂直平分線的性質可得：AP=BP，AQ=QC，分兩種情況：當點P在點Q左側時，當點P在點【詳解】解：當點P在點Q左側時，如圖所示：由垂直平分線性質可知AP=BP，∴C△AQP當點P在點Q的右側時，如圖所示：由垂直平分線性質可知AP=BP，∴C=BP+CP+PQ+PQ=BC+2PQ=10+4=14；綜上所述，△AQP的周長為10或14，故選：D．4．如圖，線段AB，DE的垂直平分線交于點C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，則∠EBD的度數(shù)為（

）A．168° B．158° C．128° D．118°【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是依據(jù)全等三角形的對應角相等，以及三角形內角和定理得出結論．【詳解】解：如下圖所示，連接CE，∵CM是AB的垂直平分線，CN是DE的垂直平分線，∴CA=CB，CE=CD，∴∠ABC=∠CAB，∠CED=∠CDE，∵∠ABC=∠EDC=72°，∴∠ABC=∠EDC=∠CAB=∠DEC=72°，在△ABC中，∠ACB=180°?∠ABC?∠BAC=180°?72°?72°=36°，在△EDC中，∠ECD=180°?∠CED?∠CDE=180°?72°?72°=36°，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACB?∠ECB=∠ECD?∠ECB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，CA=CB∠ACE=∠BCD∴△ACE≌∴∠AEC=∠BDC，設∠AEC=∠BDC=α，則∠BDE=∠CDE?∠BDC=72°?α，∠CEB=∠AEB?∠AEC=92°?α，∴∠BED=∠DEC?∠CEB=72°?92°?α在△BDE中，∠EBD=180°?∠BED?∠EDB=180°?72°?α故選：C．5．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若AC=4，AB=10，則△ACD的周長為【答案】14【分析】本題考查中垂線的性質，根據(jù)中垂線的性質，推出△ACD的周長等于AB+AC，即可得出結果．【詳解】解：由作圖可知：MN垂直平分BC，∴BD=CD，∴△ACD的周長為:AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=4+10=14；故答案為：14．6．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線DE分別與邊AB，AC交于D，E兩點，邊BC的垂直平分線FG分別與邊BC，AC交于F，G兩點，連接BE，BG．若△BEG的周長為32，AC=22，則GE的長為．【答案】5【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質得到EA=EB，GB=GC，然后根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB邊的垂直平分線，F(xiàn)G是BC邊的垂直平分線，∴EA=EB，GB=GC，∵△BEG的周長為32，∴GB+EB+GE=32，∴EA+GC+GE=32，即AG+GE+GC+GE=AC+2GE=32，∵AC=22，∴GE=32?22故答案為：5．7．如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點F，若BC恰好平分∠ABF．則下列結論中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中線；③ED=FD；④AB=AE+BF．其中正確的有【答案】①②③④【分析】本題主要考查全等三角形的性質與判定、平行線的性質及角平分線的性質，熟練掌握全等三角形的性質與判定、平行線的性質及角平分線的性質是解題的關鍵．由角平分線的定義及平行線的性質可得∠ADB=90°，然后可證△ADC≌△ADBASA【詳解】解：∵AD平分∠BAC，BC恰好平分∠ABF，∴∠CAD=∠BAD=1∵BF∥∴∠CAB+∠ABF=180°，∴∠DAB+∠ABD=90°，即∠ADB=90°，∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高，故①正確；∵∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ADC≌∴AC=AB，DB=DC，即AD是△ABC的中線，故②正確；∵BF∥∴∠CED=∠F，∵∠CDE=∠BDF，∴△DEC≌∴EC=BF，ED=FD，故③正確；∵AC=AB，EC=BF，AC=AE+CE，∴AB=AE+BF，故④正確；故答案為：①②③④．8．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分線ME交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線NF交BC于點N，交AC于點F，求∠MAN的度數(shù)．【答案】80°【分析】本題考查了三角形的內角和定理、線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握基本知識是解題的關鍵．根據(jù)三角形的內角和定理可求出∠B+∠C=180°?130°=50°，根據(jù)線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質可得∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，于是可得∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=50°，進而求解．【詳解】解：∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°?130°=50°．∵ME是線段AB的垂直平分線，NF是線段AC的垂直平分線，∴MA=MB，NA=NC，∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，∴∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=50°，∴∠MAN=130°?50°=80°．9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C,BD平分∠ABC,DE⊥AB（E在AB之間），DF⊥BC，已知BD=5,DE=3,CF=4，求【答案】12【分析】本題考查了角平分線上點到角兩邊距離相等的性質，考查了角平分線平分角的性質，考查了三角形周長的計算，本題中求證DE=DF是解題的關鍵．根據(jù)角平分線的性質可證∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等即可求得DE=DF，即可解題．【詳解】解：∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∵BD=5,DE=3,CF=4，∴BD=CD=5，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF=3，∴△DFC的周長=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．10．如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD=DE，連接AE．(1)若∠BAE=40°，求∠C的度數(shù)；(2)若△ABC的周長為14cm,AC=6cm【答案】(1)35°(2)4cm【分析】本題考查中垂線的判定和性質，三角形的外角：（1）先證明AD是BE的垂直平分線，等邊對等角求出∠AEB的度數(shù)，再結合三角形的外交以及中垂線的性質，等邊對等角求出∠C的度數(shù)即可；（2）先求出AB+BC的長，再根據(jù)線段的轉化，得到2DC=8cm，進而求出DC【詳解】（1）解：∵AD⊥BC,BD=DE，∴AD是BE的垂直平分線，∴AB=AE，∵∠BAE=40°，∴∠B=∠AEB=1∴∠C+∠EAC=70°，∵EF垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠C=∠EAC=35°，∴∠C的度數(shù)為35°；（2）∵△ABC的周長為14cm∴AB+BC=14?6=8cm∴AB+BD+DC=8cm∴AE+DE+DC=8cm∴EC+DE+DC=8cm∴2DC=8cm∴DC=4cm∴DC的長為4cm11．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AN垂直平分BC，交BC于點N，點M是CD中點．(1)證明：AM是線段CD的垂直平分線；(2)若∠MAN=70°，求∠BAD的度數(shù)．【答案】(1)證明過程見詳解(2)140°【分析】本題主要考查垂直平分線的判定和性質，三線合一等知識，掌握以上知識是關鍵．（1）根據(jù)垂直平分線的性質，結合題意得到AC=AD，即△ACD是等腰三角形，由“三線合一”得到AM⊥CD，由此即可求解；（2）根據(jù)垂直平分線的性質得到∠BAN=∠CAN,∠DAM=∠CAM，則∠CAN+∠CAM=∠MAN=70°，所以有∠BAN+∠DAM=∠CAN+∠CAM=70°，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵AN垂直平分BC，∴∠ANB=∠ANC=90°,BN=CN,AB=AC，∴AC=AD，即△ACD是等腰三角形，∵點M是CD中點，∴AM⊥CD，∴AM是線段CD的垂直平分線；（2）解：∵AN垂直平分BC，AM是線段CD的垂直平分線，AB=AC=AD∴∠BAN=∠CAN,∠DAM=∠CAM，∵∠CAN+∠CAM=∠MAN=70°，∴∠BAN+∠DAM=∠CAN+∠CAM=70°，∴∠BAD=140°．12．如圖，AB=CD，連接AC，BC，BD，線段AC的垂直平分線與線段BD的垂直平分線交于點E，連接【答案】見解析【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質等知識，證明△ABE≌△CDE，推出∠ABE=∠CDE，可得結論．【詳解】解：連接AE，因為AC，BD的垂直平分線相交于點所以AE=CE，又因為AB=CD，所以△ABE≌△CDESSS所以∠ABE=∠CDE．13．如圖，在△ABC中，∠C=25°．(1)在BC上求作一點D，連接AD，使得線段AD最短；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，李明作點D關于AC的對稱點E點時，發(fā)現(xiàn)點E恰好在BA的延長線上，求∠B的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)40°【分析】本題考查作圖復雜作圖、軸對稱的性質，三角形全等的判定與性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據(jù)垂線的作圖方法，過點A作AD⊥BC于點D，則點D即為所求．（2）連接CE，由題意得，點D與點E關于AC對稱，可證明△ADC≌△AEC，得∠AEC=∠ADC=90°，∠ACE=∠ACD=25°，則∠BCE=∠ACE+∠ACD=50°，再根據(jù)【詳解】（1）解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，則點D即為所求．（2）解：連接CE，由（1）得AD⊥BC，∴∠ADC=90°由