8.4.1

平面第八章

立體幾何初步

前面我們初步認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)單幾何體的組成元素，知道了頂點(diǎn)、棱(直線段)、平面多邊形是構(gòu)成棱柱、棱錐等多面體的基本元素,即涉及點(diǎn)線面，為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，需要對(duì)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系進(jìn)行研究.導(dǎo)入新知思考：點(diǎn)和線我們?cè)谛W(xué)初中階段已經(jīng)有了一定的研究，那么類比線，你能知道什么是平面嗎？無(wú)限延展不計(jì)大小絕對(duì)的平平面的特征不計(jì)厚薄黑板面課桌面平靜的水面

幾何里所說(shuō)的“平面(plane)”就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.類似于直線向兩端無(wú)限延伸，平面是向四周無(wú)限延展的.導(dǎo)入新知問(wèn)題1：平面如何畫呢？直線的畫法：畫出直線的一部分來(lái)表示直線平面的畫法：畫出平面的一部分來(lái)表示平面類比生成矩形直觀圖水平平面直立平面

相交平面MNMN在畫圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫.新知探究平

面平面的表示：

②也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示如圖1也可以表示為平面ABCD，平面AC或平面BD..新知探究直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，直線、平面都可以看出是點(diǎn)的集合．接下來(lái)我們通過(guò)元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，分別用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)音、圖形語(yǔ)言來(lái)描述，點(diǎn)A，直線l，m、平面α的位置關(guān)系．

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言123學(xué)習(xí)新知文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言4567

學(xué)習(xí)新知思考：我們知道，兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面?過(guò)空間中一點(diǎn)可以做幾個(gè)平面？過(guò)空間中兩點(diǎn)呢？三點(diǎn)呢？學(xué)習(xí)新知

基本事實(shí)1

過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.ACB也可以簡(jiǎn)單說(shuō)成:“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”.基本事實(shí)1給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)

學(xué)習(xí)新知

αlAB利用基本事實(shí)2可以判斷

直線是否在平面內(nèi)追問(wèn)：根據(jù)基本事實(shí)1、2，你能知道還有什么可以確定平面的嗎？學(xué)習(xí)新知利用基本事實(shí)1和2再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可得到下面三個(gè)推論：【證明】如圖，設(shè)點(diǎn)A是直線a外一點(diǎn)，在直線a上任取兩點(diǎn)B、C，則由基本事實(shí)1，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)確定一個(gè)平面α．再由基本事實(shí)2，直線a也在平面α內(nèi)，因此平面α經(jīng)過(guò)直線a和點(diǎn)A．即一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面．推論一

經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．a(chǎn)學(xué)習(xí)新知利用基本事實(shí)1和2再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可得到下面三個(gè)推論：【證明】如圖，設(shè)點(diǎn)A、B分別是直線a、b上異于P的點(diǎn)，則由基本事實(shí)1，經(jīng)過(guò)A、B、P三點(diǎn)確定一個(gè)平面α．再由基本事實(shí)2，直線a和直線b也在平面α內(nèi)，因此平面α經(jīng)過(guò)直線a和直線b．即兩條相交直線確定一個(gè)平面．推論二

經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．學(xué)習(xí)新知利用基本事實(shí)1和2再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可得到下面三個(gè)推論：【證明】因?yàn)楫?dāng)兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)，且不相交時(shí)叫做平行線，所以兩條平行直線a和b必在某個(gè)平面α內(nèi)，就是說(shuō)過(guò)兩條平行直線有一個(gè)平面.如果過(guò)a和b還有一個(gè)平面β，那么在a上的任意一點(diǎn)A一定在β內(nèi)這樣過(guò)點(diǎn)A和直線b有兩個(gè)平面α和β，這和推論1矛盾，所以過(guò)平行直線a和b的平面只有一個(gè)．即兩平行線確定一個(gè)平面．推論三

經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．學(xué)習(xí)新知即一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面（1）ABCa學(xué)習(xí)新知推論1～3給我們提供了確定一個(gè)平面的另外幾種方法．如圖8.4-10，用兩根細(xì)繩沿桌子四條腿的對(duì)角拉直，如果這兩根細(xì)繩相交，說(shuō)明桌子四條腿的底端在同一個(gè)平面內(nèi)，否則就不在同一個(gè)平面內(nèi)，其依據(jù)就是推論2．不共線的三點(diǎn)，一條直線和這條直線外一點(diǎn)，

兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個(gè)平面．這些結(jié)論在后續(xù)研究直線和平面之間平行、

垂直關(guān)系時(shí)，也會(huì)經(jīng)常用到．學(xué)習(xí)新知

學(xué)習(xí)新知在畫兩個(gè)相交平面時(shí)，如果其中一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面擋住，通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫，這樣可使畫出的圖形立體感更強(qiáng)一些（圖8.4-8）．上述三個(gè)關(guān)于平面的基本事實(shí)是人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察與實(shí)踐總結(jié)出來(lái)的，是幾何推理的基本依據(jù)，也是我們進(jìn)一步研究立體圖形的基礎(chǔ)．ABAB圖8.4-8學(xué)習(xí)新知【練習(xí)1】題型一文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化能力提升

C練習(xí)1：用符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫出圖形．(1)平面

α

與

β

相交于直線

l，直線

a

與

α

，β

分別相交于點(diǎn)A，B；(2)點(diǎn)

A，B

在平面

α

內(nèi)，直線

a

與平面

α

交于

點(diǎn)C，點(diǎn)

C

不在直線

AB

上．

能力提升題型二點(diǎn)、線共面問(wèn)題【練習(xí)2】如圖，在下列正方體中，M，N為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，P，Q分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，M，N，P，Q四點(diǎn)共面的是（

）A.B.C.D.能力提升D能力提升

能力提升

能力提升題型二點(diǎn)、線共面問(wèn)題【感悟提升】證明點(diǎn)、線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．能力提升題型三點(diǎn)共線問(wèn)題【練習(xí)3】下列敘述中，正確的是（

）【詳解】能力提升能力提升能力提升【感悟提升】2.證明三點(diǎn)共線的方法:題型三點(diǎn)共線問(wèn)題能力提升證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的常用方法(1)先由部