第1章

三角形1.4線段垂直平分線與角平分線第2課時(shí)

角平分線的性質(zhì)1.請(qǐng)同學(xué)們拿出一張紙，在紙上任意畫(huà)出一個(gè)角∠AOB,把它剪下并對(duì)折，使角的兩邊重合，然后展開(kāi)鋪平，你有什么發(fā)現(xiàn)？角是軸對(duì)稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.BAOC獲取新知2.在∠AOB的內(nèi)部取折痕上的一點(diǎn)P，分別畫(huà)點(diǎn)P到OA和OB的垂線段PD和PE,再沿原折痕重新折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？PD=PE你能證明你的猜想嗎？由此你能得到什么猜想？猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.PPBAODEDEPDECAOBEDPC證明：∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP.∵PD⊥AO,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中,∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,

OP=OP,∴△PDO≌△PEO,（AAS）∴

PD=PE.驗(yàn)證猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P是OC上的任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E.求證：PD=PE.

也可以用圖形運(yùn)動(dòng)來(lái)證實(shí)：把△POB沿OP翻折，∵∠POA=∠POB.∴OA與OB重合.∵PD⊥AO,PE⊥OB，依據(jù)基本事實(shí)“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”可知PD與PE重合，∴PD=PE.AODEPCB符號(hào)語(yǔ)言：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)定理：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE.PD⊥OA,PE⊥OB，歸納總結(jié)如果角內(nèi)部一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上嗎？想一想通過(guò)上述研究，你得到了什么結(jié)論？證明：畫(huà)射線OQ.∵QC⊥OA,QD⊥OB，∴∠QDO=∠QCO=90°.

在Rt△QDO和Rt△QCO中，

OQ=OQ,

QD=QC,∴Rt△QDO

≌

Rt△QCO(HL)，∴∠AOQ=∠BOQ，∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.如圖，若點(diǎn)Q在∠AOB內(nèi)，QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分別為C,D,且QC＝QD，點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線上嗎？為什么？OBAQDC

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.角平分線性質(zhì)定理的逆定理：OEDPCAB符號(hào)語(yǔ)言:∵PD⊥OA，∴點(diǎn)P

在∠AOB的平分線上.(或OP平分∠AOP)PE⊥OB，且PD=PE，定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.歸納總結(jié)

角平分線是到角兩邊距離相等的點(diǎn)的集合.例1.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且DE⊥AB,DF⊥AC,D

是BC的中點(diǎn)，求證:∠B=∠C.證明：∵

AD平分∠BAC且DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），∠DEB=∠DFB=90°.∵

D

是BC的中點(diǎn)，∴DB=DC.

在Rt△DBE與Rt△DCF中，

DB=DC，

DE=DF，∴Rt△DBE≌

Rt△DCF(HL)，∴∠B=∠C.??例題講解例2.如圖，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D

，DE⊥AB,DF⊥AC,AB=6,BC=8,

若S△ABC=28,求DE的長(zhǎng).解：∵

BD平分∠ABC且DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.86?

例3.利用網(wǎng)格作圖.ACB（1）在BC上找一點(diǎn)P,使P到AB和AC的距離相等.P（2）在射線AP上找一點(diǎn)Q,使QB=QC.Q

例4

(教材典題)如圖,△ABC的角平分線AD,BE相交于點(diǎn)P.求證:點(diǎn)P在∠C的平分線上.證明:如圖,過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC,垂足分別為F,M,N.∵AD平分∠BAC,點(diǎn)P在AD上,PF⊥AB,PN⊥AC,∴PF=PN(角平分線的性質(zhì)定理).圖形已知條件結(jié)論OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于D

PE⊥OB于E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)

可用來(lái)證明兩條線段相等.判斷點(diǎn)是否在角平分線上課堂小結(jié)知識(shí)技能鞏固練1.(2024蘇州期末)在由邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的網(wǎng)格中,∠AOB的位置如圖1-4-14所示,到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是 (

)A.點(diǎn)M

B.點(diǎn)N

C.點(diǎn)P

D.點(diǎn)QA圖1-4-142.(2024泰州期末)如圖1-4-15,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,則下列結(jié)論不一定正確的是 (

)A.PC=PD

B.OC=ODC.∠CPO=∠DPO

D.∠CPD=∠DOCD圖1-4-153.如圖1-4-16,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F,且DE=DF.若∠DBC=50°,則∠ABC=

°.

100圖1-4-164.(2024徐州期末)已知,如圖1-4-17,BD是∠ABC的平分線,AB=BC,點(diǎn)P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別為M,N.求證:PM=PN.

圖1-4-17∴∠ADB=∠CDB.∵點(diǎn)P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.圖1-4-175.已知:如圖1-4-18,BP,CP是△ABC的外角平分線,PM⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,PN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.求證:AP平分∠BAC.證明:如圖,過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D.圖1-4-18∵BP是△ABC的外角平分線,PM⊥AB,PD⊥BC,∴PM=PD.同理,PN=PD.∴PM=PN.又∵PM⊥AB,PN⊥AC,∴AP平分∠BAC.圖1-4-186.如圖1-4-19,E是∠AOB的平分線上一點(diǎn),EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D,連接CD交OE于點(diǎn)F,則下列結(jié)論不能夠由上述條件證得的是(

)A.∠ECD=∠EDCB.OE是線段CD的垂直平分線C.OE=2DED.△DEF≌△CEFC能力提升綜合練圖1-4-197.如圖1-4-20,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,DE⊥BC于點(diǎn)E.若△ABC與△CDE的周長(zhǎng)分別為13和3,則AB的長(zhǎng)為 (

)A.10 B.16 C.8 D.5D圖1-4-208.如圖1-4-21,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,對(duì)角線BD平分∠ABC,則△BCD的面積為

.

7.5圖1-4-219.如圖1-4-22,已知CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,垂足分別為D,E,且AB=AC,BE與CD交于點(diǎn)O.求證:(1)DB=EC;

圖1-4-22∴△ADC≌△AEB(AAS),∴AD=AE,∴AB-AD=AC-AE,即DB=EC.圖1-4-22(2)AO平分∠BAC.

圖1-4-2210.[綜合運(yùn)用]如圖1-4-23,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,∠BAD=100°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且∠AEF=50°,連接DE.(1)求∠CAD的度數(shù);素養(yǎng)發(fā)展創(chuàng)新練圖1-4-23解:(1)∵EF⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,∠AEF=50°,∴∠FAE=90°-50°=40°.∵∠BAD=100°,∴∠CAD=180°-100°-40°=40°.圖1-4-23(2)求證:DE平分∠