幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練——構(gòu)造等腰三角形一、階段一（較易）1．如圖，在?ABCD，點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，連接AF，AE平分∠FAD，交CD于中點(diǎn)E，連接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，則EF＝．2．如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，則AC的長(zhǎng)為（）A．32 B．42 C．523．如圖，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，E為BC中點(diǎn)．求DE的長(zhǎng)．4．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足為D，E為AC中點(diǎn)，若AB=30，BC=18，則DE的長(zhǎng)為．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，點(diǎn)D在△ABC外，連接AD、BD，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，AD=4，∠CAD=∠CAB，則線段CE的長(zhǎng)．6．如圖，△ABC中，BD、CE是△ABC的兩條高，點(diǎn)F、M分別是DE、BC的中點(diǎn)．求證：FM⊥DE。7．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，連接EF、CF；（1）求證：EF=CF；（2）若∠BAC=45°，AD=6，求C、E兩點(diǎn)間的距離．8．如圖，在△ABC中，∠A=45°，∠F=∠ABC，EF⊥BC，其中BF=AD，DF=2，BC=42，DE=A．2?1 B．2+1 C．229．如圖，P為△ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，則∠ACB的度數(shù)是°.10．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=7，BC=4．則BD的長(zhǎng)為（）A．1 B．32 C．2 D．11．如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于點(diǎn)P，連接PC，若△PAB的面積為6cm2，△PBC的面積為8cmA．2 B．2.5 C．3 D．4二、階段二（中等）12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上的一點(diǎn)，且AB+AE=EC．若DE=2，則AB的長(zhǎng)為（）A．23 B．4 C．3313．如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，對(duì)角線AC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)，O分別為AD，AB，BD的中點(diǎn)，且EF=5，則點(diǎn)O到AC的距離為．14．如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，D是斜邊BC上的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF（1）若AB=AC，BE+CF=4，求四邊形AEDF的面積.（2）求證：BE15．如圖，正方形ABCD中，P為邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)E與B關(guān)于直線CP對(duì)稱，射線ED與CP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.若AD=4PD，EF=162，則BC的長(zhǎng)為16．如圖，在△ABC中，AB=AC=210，AD是邊BC上的高線，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB（1）求證：△ADE是等腰三角形；（2）連結(jié)CE交AD于點(diǎn)H，若∠DCE=45°，求EH的長(zhǎng).17．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是線段AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，連接DM，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)作MN⊥DM交∠CBP的角平分線于N，過點(diǎn)C作CE∥MN交AD于E，連接EM，CN，DN.（1）求證：DM＝MN；（2）求證：EM∥CN.18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B<∠A，CE平分∠ACB，CD⊥AB，MN為邊AB的垂直平分線且分別交BC、AB于點(diǎn)M、N，若∠DCE=∠B，AC=2，則BMA．2 B．322 C．2319．已知：在等邊△ABC中，點(diǎn)E是AB邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E與A、B兩點(diǎn)均不重合），點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC.（1）如圖①，當(dāng)E是AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：AE=BD；（2）如圖②，當(dāng)E是線段AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否一定成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)E是線段AB的延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，ED=EC，AE=2，AC=1，求CD的長(zhǎng).20．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝210，AD是邊BC上的高線，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E.（1）求證：△ADE是等腰三角形；（2）連結(jié)CE交AD于點(diǎn)H，若∠DCE＝45°，求EH的長(zhǎng).三、階段三（較難）21．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).三等分角是古希臘三大幾何問題之一.如圖（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的對(duì)角線BA與邊BC的夾角，以B為端點(diǎn)的射線BF交CA于點(diǎn)E，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若EF=2AB，則射線BF是∠ABC的一條三等分線.證明：如圖（2），取EF的中點(diǎn)G，連接AG，∵四邊形BCAD是矩形，∴∠DAC=90°，AD∥BC.在Rt△AEF中，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，∴（1）任務(wù)一：上面證明過程中得出“AG=12EF（2）任務(wù)二：完成材料證明中的剩余部分；（3）任務(wù)三：如圖（3），在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線與∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，若BF=12AC22．（1）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若∠BAD=2∠EAF，求證：EF=BE+DF.（2）【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD.已知CD=CB=100m，∠D=60°，∠ABC=120°，∠BCD=150°，道路AD，AB上分別有景點(diǎn)M，N，且DM=100m，BN=50(3?1)m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長(zhǎng)比路線M→A→N的長(zhǎng)少幾m？（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：23．如圖（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，分別以AB，BD為邊向外作等邊三角形ABC和等邊三角形BDE，連接AE，CD，相交于點(diǎn)O.①線段AE與CD的數(shù)量關(guān)系為：；∠AOC的度數(shù)為.②△CBD可看作△ABE經(jīng)過怎樣的變換得到的？.（2）應(yīng)用：如圖2，若點(diǎn)A，B，D不在一條直線上，(1)中的結(jié)論①還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展：在四邊形ABCD中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ADC=45°，若AD=8，CD=6，請(qǐng)直接寫出B，D兩點(diǎn)之間的距離.24．請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明；（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且∠DCE=30°，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù).25．

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足∠EDF=90°，則AE、AF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是.（2）【類比應(yīng)用】如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足∠EDF=60°，試探究AE、AF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（3）【拓展延伸】在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為直線AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足CE=1，∠EDF=60°，請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng).26．平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE.（1）如圖1，AC交BE于點(diǎn)G，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=2，請(qǐng)求出四邊形EGCD的面積；（2）如圖2，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF=AB，連接BF，過點(diǎn)F作FH⊥BE于H，連接AH，求證：HF+2（3）如圖3，線段PQ在線段BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R在邊BC上，連接CQ，PR.若BE平分∠ABC，∠DAC=30°，AB=3，PQ=32，BC=4BR27．如圖，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N，連接DM，下列結(jié)論：①DF=DN；②△DMN為等腰三角形；③EN⊥NC；④∠DAM=∠ADM；⑤AE=NC，其中正確結(jié)論有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)28．如圖1、在△ABC中，E、D是BC邊上的點(diǎn)，且AE是∠BAD的平分線，∠CAE+∠BEA=180°（1）若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度數(shù)（2）當(dāng)BE=AC時(shí)，請(qǐng)猜想線段AB、AD之間的數(shù)量關(guān)系；并證明你的猜想.（3）如圖2，在（2）的條件下，過D作DF⊥AE，垂足為F，交AB于G，如果S△DEF29．（1）如圖1，等腰Rt△PBF的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD上，斜邊BF交CD于點(diǎn)Q，連接PQ，求證：PQ=AP+CQ．請(qǐng)利用現(xiàn)在所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識(shí)，可將△ABP旋轉(zhuǎn)到△CBE，然后通過證明全等三角形來(lái)完成證明．（2）如圖2，若等腰Rt△PBF的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的邊DA的延長(zhǎng)線上，斜邊BF的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接PQ，猜想線段PQ，AP，CQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PA=AC且PB=PC，則∠BCP=．30．如圖，在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，C重合），連接DE.過點(diǎn)A作DE的垂線，分別交DE，DC于點(diǎn)F，H.延長(zhǎng)AF到點(diǎn)G，使得FG=AF，連接DG，（1）求證：△ADH≌△DCE；（2）①若∠ADE=60°，則∠AGC=°；②改變∠ADE的度數(shù)，∠AGC的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若發(fā)生改變，請(qǐng)寫出∠AGC與∠ADE之間的關(guān)系，若不改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，若BE=EC=5，求DF與CG

答案解析部分1．【答案】42．【答案】B3．【答案】解：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠FAD．∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADF=90°．∴∠ABD=∠AFD．∴AB=AF，BD=DF．∴D是BF的中點(diǎn)．∵AC=10，AB=6，∴FC=AC?AF=AC?AB=10?6=4．∵E為BC的中點(diǎn)，∴DE為△BFC的中位線．∴DE=14．【答案】65．【答案】96．【答案】證明：如圖，連接EM、DM，

∵∠BEC=90°，

∴EM=12BC，

同理DM=12BC，

∴EM=DM，

∴△DME為等腰三角形，

∵F是DE的中點(diǎn)，

∴7．【答案】（1）證明：∵DB⊥AB，∴∠DEA=90°，在RtΔAED和∵點(diǎn)F是斜邊AD的中點(diǎn)，∴EF=∴EF=CF（2）解：連接CE，由（1）得EF=AF=CF=∴∠FEA=∠FAE，∠FCA=∠FAC，∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×45°=90°，∴CE=即C，E兩點(diǎn)間的距離是38．【答案】C9．【答案】7510．【答案】B11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】314．【答案】（1）解：連接AD，如圖1，∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD為BC邊的中線，∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，又∵DE⊥DF，AD⊥DC，∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，∴∠EDA=∠CDF，在△AED與△CFD中，∠EDA=∠CDFAD=CD∴△AED≌△CFD(ASA)，∴AE=CF，∵BE+CF=4，∴AB=BE+AE=4，所以S======4，（2）證明：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使得DG=DE，連接FG，CG，如圖2，∵DE=DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF=FG，∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=CD，在△BDE和△CDG中，BD=CD∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDG(SAS)，∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，∵∠ACB+∠DBE=90°，∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，∵CG∴B15．【答案】416．【答案】（1）證明：在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠DAC=∠EAD∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC∴∠EAD=∠EDA∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）解：作EF∥BC，交AD于G，交AC于點(diǎn)F，連接FH，則EG⊥AD，∵△AED是等腰三角形，EG⊥AD∴AG=GD，∵AD⊥BC，∠DCE=45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴DH=DC，∠DHC=45°∵EG⊥AD，∠EHG=∠DHC=45°，∴△EGH是等腰直角三角形，∵EF∥BC∴∠AEF=∠B，又∵∠B=∠ACB∴∠AEF=∠AFE∴AE=AF，又∵AD⊥EF∴HE=HF∴∠HEF=∠HFE=45°，∴△HEF是等腰直角三角形，∴EF=2EH，又∵∠B=90°?∠EAD=90°?∠EDA=∠EDB，∠B=∠ACB∴ED∥AC，∴∠DEC=∠FCE，∵EF∥BC∴∠FEC=∠ECD在△DEC與△FCE中，∠FEC=∠ECD∴△DEC≌△FCE(ASA)，∴EF=DC∴GD=GH+DH=∵GA=GD=1∴AD=3DC，∵AB=AC=210，A∴40=9DC∴DC=2，∴EF=∴EH=2∴EH的長(zhǎng)為2.17．【答案】（1）證明：在線段AD上截取DF＝MB，連接FM，如圖所示：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，∵DF＝BM，∴AF＝AM，∴△FAM是等腰直角三角形，∴∠AFM＝45°，∴∠MFD＝135°，∵BN平分∠CBP，∠CBP＝90°，∴∠CBN＝45°，∴∠MBN＝135°，∴∠DFM＝∠MBN，∵DM⊥MN，∴∠NMB+∠AMD＝90°，∵∠AMD+∠ADM＝90°，∴∠NMB＝∠MDF，在△MDF和△NMB中，∠DFM=∠MBNDF=MB∴△MDF≌△NMB（ASA），∴DM＝MN；（2）證明：∵CE∥MN，DM⊥MN，∴DM⊥CE，∴∠DEC+∠EDM＝90°，∵∠AMD+∠EDM＝90°，∴∠DEC＝∠AMD，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，在△EDC和△MAD中，∠DEC=∠AMDDC=AD∴△EDC≌△MAD（ASA），∴EC＝DM，∵DM＝MN，∴EC＝MN，∵EC∥MN，∴四邊形EMNC為平行四邊形，∴EM∥CN.18．【答案】D19．【答案】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴∠ABC=∠ACB=60°，CE平分∠ACB，AE=BE，∴∠ECB=1∵DE=CE，∴∠D=∠ECB=30°，∵∠ABC=∠D+∠DEB，∴∠DEB=∠ABC?∠D=30°，∴∠D=∠DEB，∴BD=BE，∴AE=BD（2）解：當(dāng)點(diǎn)E為線段AB上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖②，過E作EF∥BC交AC于F，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∠DBE=∠EFC∠DEB=∠ECF∴△DEB≌△ECF(AAS)，∴BD=EF，∴AE=BD；（3）解：如圖③，過E作EF∥BC交AC的延長(zhǎng)線于F，則△AEF為等邊三角形，∠ECD=∠CEF，∴AF=AE=EF=2，∠F=60°，∵EC=ED，∴∠D=∠ECD，∴∠CEF=∠D，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC=1，∠ABC=60°，∴∠DBE=∠ABC=60°，∴∠F=∠DBE，在△CEF和△EDB中，∠F=∠DBE∠CEF=∠D∴△CEF≌△EDB(AAS)，∴BD=EF=2，∴CD=BD+AC=2+1=3.20．【答案】（1）證明：在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∵DE∥AC，∴AE＝BE，∴DE＝12∴△ADE是等腰三角形；（2）解：作EG∥BC，交AD于G，∵AE＝BE，∴AG＝DG，∴EG＝12BD＝1∵EG∥BC，∴GHDH=EH∴GH＝12DH，EH＝1∵AD⊥BC，∠DCE＝45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴DH＝DC，∴AD＝3DC，∵AB＝AC＝210，AC2＝AD2+DC2，∴40＝9DC2+DC2，∴DC＝2，∴DH＝DC＝2，∴CH＝22+2∴EH＝12CH＝2∴EH的長(zhǎng)為2.21．【答案】（1）直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）解：任務(wù)二：如圖，取EF的中點(diǎn)G，連接AG，∵四邊形BCAD是矩形，∴∠DAC＝90°，AD∥BC.在Rt△AEF中，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，∴AG＝EG=FG=12EF.∵EF＝2AB，∴AB＝AG.∴∠ABG＝∠AGB.∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F.∵AD∥BC，∴∠F＝∠CBF，∴∠ABG＝2∠CBF，∴∠ABC＝3∠CBF，∴射線BF是∠ABC的一條三等分線（3）解：2+2322．【答案】（1）證明：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)M，使BM=DF，連接AM，如圖，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，∵AB=AD，∴△ABM?△ADF，∴AM=AF，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAM=∠EAM=∠EAF，又∵AM=AF，∴△AEM?△AEF，∴ME=EF，∴EF=MB+BE=BE+DF；（2）解：如圖，延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)G，連接CN，CM，∵∠D=60°，∠ABC=120°，∠BCD=150°，∴∠A=360°?60°?120°?150°=30°，∴∠G=90°，∴AD=2DG，在Rt△CGB中，∠BCG=180°?150°=30°，∴BG=1∴DG=CD+CG=100+503∴AD=2DG=200+1003∵DM=100，∴AM=AD?DM=200+1003∵BG=50，BN=50(3∴AN=AG?BG?BN=150+1003?50?50(3∵CD=DM，∠D=60°，∴△DCM是等邊三角形，∴∠DCM=60°，∵GC=GN=503∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN=45°，∴∠BCN=45°?30°=15°，∴∠MCN=150°?60°?15°=75°=1由（1）的結(jié)論得：MN=DM+BN=100+50(3∵AM+AN?MN=100+1003∴路線M→N的長(zhǎng)比路線M→A→N的長(zhǎng)少370m.23．【答案】（1）AE=CD；60°；△CBD可看作△ABE繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的（2）解：若點(diǎn)A，B，D不在一條直線上，（1）中的結(jié)論①依然成立；理由如下：∵△ABC、△BDE都為等邊三角形，∴AB=BC，BE=BD，∠ACB=∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°，∴∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=BC∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE=CD，∠BAE=∠BCD，∴∠CAE+∠BCD=60°，∴∠AOC=180°?∠ACB?∠CAE?∠BCD=180°?60°?60°=60°；（3）解：BD=24124．【答案】（1）解：DE（2）解：關(guān)系式DE證明：將△ADB沿直線AD對(duì)折，得△AFD，連接FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，F(xiàn)D=DB，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC?∠BAE=90°?(∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC∴∠DFE=∠AFD?∠AFE=135°?45°=90°，∴在Rt△DFE中，DF即DE解法二：將△EAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△TAB.連接DT.∴∠ABT=∠C=45°，∵∠ABC=45°，∴∠TBC=∠TBD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAT=∠DAE，∵AD=AD，∴△DAT≌△DAE(SAS)，∴DT=DE，∵D∴DE（3）解：當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.如圖，與（2）類似，以CE為一邊，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，∴AD=DF，∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°.若使△DFE為等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，∴當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角∠DFE為120°.25．【答案】AB=AF+AE【類比應(yīng)用】（2）如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足∠EDF=60°，試探究AE、AF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】解：AE+AF=12AB.理由是：取AB中點(diǎn)G，連接DG，如圖2∵點(diǎn)G是△ADB斜邊中點(diǎn)，∴DG=AG=BG=12AB，∵AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD=60°，∴∠GDA=∠BAD=60°，即∠GDF+∠FDA=60°，又∵∠FAD+∠ADE=∠FDE=60°，∴∠GDF=∠ADE，∵DG=AG，∠BAD=60°，∴△ADG為等邊三角形，∴∠AGD=∠CAD=60°，GD=AD，∴△GDF≌△ADE(ASA)，∴GF=AE，∴AG=12AB=AF+FG=AE+AF，∴AE+AF=12AB；【拓展延伸】（3）在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為直線AC、AB上兩點(diǎn)，若滿足（1）AB=AF+AE（2）解：AE+AF=12AB.理由是：

取AB中點(diǎn)G，連接DG，如圖2

∵點(diǎn)G是△ADB斜邊中點(diǎn)，

∴DG=AG=BG=12AB，

∵AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴∠BAD=∠CAD=60°，

∴∠GDA=∠BAD=60°，即∠GDF+∠FDA=60°，

又∵∠FAD+∠ADE=∠FDE=60°，

∴∠GDF=∠ADE，

∵DG=AG，∠BAD=60°，

∴△ADG為等邊三角形，

∴∠AGD=∠CAD=60°，GD=AD，

∴△GDF≌△ADE(ASA)，

∴GF=AE，

∴AG=（3）解：AF的長(zhǎng)為32或26．【答案】（1）解：如圖，過點(diǎn)G作GK⊥AD于點(diǎn)K，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAC=∠ACB，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠DAC=30°，∴∠ABC=60°，∠ACD=∠BAC=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠AEB=∠CBE=30°，∴∠CBE=∠ACB，AE=AB，∴CG=BG=2，∴AG=1∴AC=AG+CG=3，AE=AB=BG2∴S===5（2）證明：如圖，過點(diǎn)A作AJ⊥AM于點(diǎn)A，交FH延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，∵FH⊥BE，AB⊥AC，AB=AF，∴∠BAF=∠BHF=∠BHJ=90°，∠AFB=∠ABF=45°，∴點(diǎn)A，B，F(xiàn)，H四點(diǎn)共圓，∴∠BHA=∠AFB=45°，∴∠AHJ=45°，∴△AHJ是等腰直角三角形，∴AH=AJ，∴JH=∵AB=AF，∴△ABH≌△AFJ(SAS)，∴BH=FJ，∵HF+JH=HF+∴BH=FJ=FH+HJ=HF+（3）解：21+3227．【答案】D28．【答案】（1）解：∵∠CAE+∠BEA=180°，∠AEC+∠BEA=180°，∴∠CAE=∠AEC，∴AC=CE，∵∠C=38°，∴∠CAE=∠AEC=71°，∵∠CAD=25°，∴∠CAE=71°?25°=46°；（2）解：AB=2AD，理由如下：在AB上截取AM=AD，連接ME，∵