第1講功與功率學習目標1.理解功的概念，會判斷正、負功，會計算功的大小。2.理解功率的概念，會求解平均功率和瞬時功率。3.會分析、解決機車啟動的兩類問題。1.2.1.思考判斷(1)只要物體受力的同時又發(fā)生了位移，就一定有力對物體做功。(×)(2)一個力對物體做了負功，則說明這個力一定阻礙物體的運動。(√)(3)作用力做正功時，反作用力一定做負功。(×)(4)由P＝Fv既能求某一時刻的瞬時功率，也可以求平均功率。(√)(5)由P＝Wt知，只要知道W和t就可求出任意時刻的功率。(×(6)當F為恒力時，v增大，F(xiàn)的功率一定增大。(×)2.(人教版必修第二冊P78T1改編)如圖，物體在力F的作用下水平發(fā)生了一段位移l，已知θ＝150°，則力F對物體做的功為()A.W＝Flcos150° B.W＝Flsin150°C.W＝Flcos30° D.W＝Flsin30°答案C考點一恒力做功的分析和計算1.判斷力是否做功及做正、負功的方法判斷根據(jù)適用情況根據(jù)力和位移方向的夾角判斷常用于恒力做功的判斷根據(jù)力和瞬時速度方向的夾角判斷常用于質點做曲線運動根據(jù)功能關系或能量守恒定律判斷常用于變力做功的判斷2.恒力做功的計算方法(1)恒力做的功直接用W＝Flcosα計算或用動能定理計算。(2)合力做的功方法一:先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功，尤其適用于已知質量m和加速度a的情況。方法二:先求各個力做的功W1、W2、W3、…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。方法三:利用動能定理，合力做的功等于物體動能的變化量。例1(多選)如圖所示，升降機內(nèi)斜面的傾角θ＝30°，質量為2kg的物體置于斜面上始終不發(fā)生相對滑動，在升降機以5m/s2的加速度從靜止開始勻加速上升4s的過程中。g取10m/s2，則()A.斜面對物體的支持力做功900J B.斜面對物體的摩擦力做功－300JC.物體克服重力做功－800J D.合外力對物體做功400J答案AD解析物體置于升降機內(nèi)隨升降機一起勻加速運動過程中，受力分析如圖所示，由牛頓第二定律得Ffcosθ－FNsinθ＝0，F(xiàn)fsinθ＋FNcosθ－mg＝ma，代入數(shù)據(jù)解得Ff＝15N，F(xiàn)N＝153N，又x＝12at2＝40m，斜面對物體的支持力所做的功WN＝FNxcosθ＝900J，故A正確;斜面對物體的摩擦力所做的功Wf＝Ffxsinθ＝300J，故B錯誤;物體所受重力做的功WG＝－mgx＝－800J，則物體克服重力做功800J，故C錯誤;合外力對物體做的功W合＝WN＋Wf＋WG＝400J，故D跟蹤訓練1.(2025·東北三省高三大聯(lián)考)如圖所示，傾角為θ＝37°的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力F1將位于斜面底端的物塊推到斜面頂端，推力F1做的功至少為W0。已知物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，若用水平向左的推力F2將物塊推到頂端，推力F2做的功至少為()A.1.2W0 B.1.4W0C.1.6W0 D.1.8W0答案C解析對物塊做功最少，物塊應從斜面底端緩慢運動到斜面頂端，用平行斜面向上的推力將位于斜面底端的物塊推到斜面頂端，對物塊受力分析如圖甲所示，根據(jù)平衡條件可得F1＝mgsinθ＋μmgcosθ＝mg，設斜面的長度為L，則W0＝F1L＝mgL;水平推物塊時受力分析如圖乙所示，根據(jù)平衡條件可得F2cosθ＝mgsinθ＋μ(F2sinθ＋mgcosθ)，解得F2＝mgsinθ＋μmgcosθcosθ-μsinθ＝2mg，則W＝F2Lcos考點二變力做功的分析和計算變力做功常見的五種計算方法方法情境說明方法總結微元法質量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運動，運動一周克服摩擦力做的功為Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR等效轉換法恒力F把物塊從A拉到B，繩子對物塊做的功為W＝F·h平均力法彈簧由伸長量為x1被繼續(xù)拉至伸長量為x2的過程中，克服彈簧彈力做的功為W＝FΔx＝kx1＋kx22圖像法在F－x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力F在這段位移上所做的功動能定理法用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做的功為WF，則有WF－mgL(1－cosθ)＝0，得WF＝mgL(1－cosθ)例2(多選)小劉駕駛的汽車后面用水平的繩子系著一質量為m的箱子，已知箱子與水平地面之間的摩擦因數(shù)為μ。從某位置開始，汽車拉著箱子在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運動，經(jīng)時間T，箱子第一次回到該位置，重力加速度為g，忽略空氣的阻力、繩子重力。則下列說法正確的是()A.繩子的拉力與摩擦力的方向相反B.摩擦力對箱子做的功為零C.摩擦力對箱子做的功為－2πμmgRD.箱子轉動一圈克服摩擦力做功的平均功率為2π答案CD解析由題意可知，箱子在水平面內(nèi)做圓周運動，則摩擦力與拉力的合力提供向心力，受力分析如圖所示，顯然繩子的拉力與摩擦力不在一條直線上，A錯誤;箱子做圓周運動的過程中，摩擦力的方向始終與運動方向相反，所以摩擦力為變力，因此求摩擦力做的功時可用微元法，即將軌跡分割成若干微元，有W1＝－μmg·ΔL1、W2＝－μmg·ΔL2、…、Wn＝－μmg·ΔLn，則Wf＝W1＋W2＋…＋Wn＝－μmgL(L為總路程)，L＝2πR，解得Wf＝－2πμmgR，C正確;箱子克服摩擦力做功的平均功率為P＝WT＝2π跟蹤訓練2.如圖所示，汽車通過細繩跨過固定在天花板上的光滑的輕質定滑輪牽引著箱子勻速上升，某時刻拴接在汽車上的細繩與豎直方向的夾角為30°，經(jīng)過一段時間細繩與豎直方向的夾角為45°，已知滑輪的大小可忽略不計，拴接在汽車上的點到滑輪的高度為h，重力加速度為g。則該過程汽車克服繩子的拉力做的功為()A.mgh B.2mghC.233mgh D.答案D解析由幾何關系可知該過程箱子上升的高度為Δh＝hcos45°－h(huán)cos30°＝32-233h，箱子勻速上升，繩子對箱子的拉力大小為F＝mg，則該過程中繩子的拉力對箱子所做的功為W＝F·Δh，解得W3.(2024·廣東深圳模擬)如圖甲所示，靜止于光滑水平面上的小物塊，在水平拉力F的作用下從坐標原點O開始沿x軸正方向運動，F(xiàn)隨物塊所在位置坐標x的變化關系如圖乙所示，圖線右半部分為四分之一圓弧，則小物塊運動到2x0處時的動能可表示為()A.0 B.12Fmx0(1＋C.12Fmx01＋π2 D.答案C解析F－x圖線與x軸所圍的面積表示拉力F做功的大小，可知F做功的大小W＝12Fmx0＋14πFmx0，根據(jù)動能定理得，Ek＝W＝12Fmx01＋考點三功率的分析與計算1.平均功率的計算方法(1)利用P＝(2)利用P＝Fvcosα，其中v為物體運動的平均速度。2.瞬時功率的計算方法(1)直接代公式P＝Fvcosα計算，其中v為物體的瞬時速度。(2)先分解再計算，P＝FvF，其中vF為物體的瞬時速度v在力F方向上的分速度;或者P＝Fvv，其中Fv為物體受到的外力F在瞬時速度v方向上的分力。例3(2024·浙江6月選考，5)一個音樂噴泉噴頭出水口的橫截面積為2×10－4m2，噴水速度約為10m/s，水的密度為1×103kg/m3，則該噴頭噴水的功率約為()A.10W B.20WC.100W D.200W答案C解析時間t內(nèi)噴頭噴水的質量m＝ρSvt噴頭噴水做的功W＝12m跟蹤訓練4.(多選)(2025·福建三明高三期中)如圖所示，同一高度處有4個質量相同且可視為質點的小球，現(xiàn)使小球A做自由落體運動，小球B做平拋運動，小球C做豎直上拋運動，小球D做豎直下拋運動，且小球B、C、D拋出時的初速度大小相同，不計空氣阻力。小球從釋放或拋出到落地的過程中()A.重力對4個小球做的功相同B.重力對4個小球做功的平均功率相等C.落地前瞬間，重力對4個小球做功的瞬時功率大小關系為PA＝PB<PC＝PDD.重力對4個小球做功的平均功率大小關系為PA＝答案AC解析4個質量相同的小球從同一高度釋放或拋出到落地的過程中，重力做功為WG＝mgh，故重力對4個小球做的功相同，故A正確;小球A做自由落體運動，小球B做平拋運動，小球C做豎直上拋運動，小球D做豎直下拋運動，小球從同一高度拋出到落地，運動時間關系為tD<tA＝tB<tC，重力對4個小球做功的平均功率為P＝WGt，可得重力對4個小球做功的平均功率大小關系為PD>PA＝PB>PC，故B、D錯誤;落地前瞬間，4個小球豎直方向有vyA2＝2gh，vyB2＝2gh，vyC2－v02＝2gh，vyD2－v02＝2gh，4個小球豎直方向的速度關系為vyA＝vyB<vyC＝v考點四機車啟動問題模型1:以恒定功率啟動模型2:以恒定加速度啟動角度恒定功率啟動例4(2025·廣東佛山模擬)國際聯(lián)運列車從開通至今已經(jīng)完成2萬多次運輸。列車采用內(nèi)燃加鋰電池的混合動力電傳動方式進行驅動，整車最大功率為750kW，行駛過程中受到的阻力恒定，速度最高為108km/h，已知列車的總質量為5×104kg，列車以最大功率啟動，下列說法正確的是()A.行駛過程中列車受到的阻力為2.5×104NB.以最大速度行駛時，列車1小時內(nèi)通過的位移一定是108kmC.列車以15m/s的速度行駛時加速度是1m/s2D.列車加速過程中的平均速率是15m/s答案A解析當列車勻速行駛時，所受的牽引力等于阻力，即P＝fvmax，解得行駛過程中列車受到的阻力為f＝Pvmax＝750×10330N＝2.5×104N，故A正確;以最大速度行駛時，列車1小時內(nèi)通過的路程是108km，但位移不一定是108km，故B錯誤;當列車以v1＝15m/s行駛時，對列車由牛頓第二定律有F1－f＝ma，其中P＝F1v1，聯(lián)立解得a＝0.5m/s2，故C錯誤;作出列車運動的v－t圖像如圖所示，列車加速過程中的平均速率v>0＋角度恒定加速度啟動例5(2025·湖南長沙模擬)一輛質量為m的小汽車在水平地面上由靜止開始運動，其功率隨速度的變化關系如圖所示，其中AB段平行于v軸，汽車勻速運動階段的速度為vB。根據(jù)圖像，下列說法正確的是()A.速度增大到vA的過程中，汽車的加速度逐漸減小，當v＝vA時，a＝0B.汽車與地面間的摩擦力大小為Ff＝PC.在OA段汽車的位移為x1＝vD.若AB段汽車的位移為x，則AB段汽車運動的時間t＝m答案C解析P－v圖像斜率表示牽引力，速度增大到vA的過程中，汽車的牽引力不變，加速度不變，故A錯誤;汽車勻速運動階段的速度為vB，此時牽引力等于摩擦力，汽車與地面間的摩擦力大小為Ff＝P0vB，故B錯誤;在OA段汽車為勻加速啟動，在A點功率為額定功率，牽引力為勻加速運動的牽引力，故勻加速階段的牽引力為F1＝P0vA，a＝F1-Ffm，vA2＝2ax1，聯(lián)立得x1＝vA3vBm2P0vB-vA掌握三個重要關系式(1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝PFmin＝PF阻(式中Fmin為最小牽引力(2)機車以恒定加速度啟動的過程中，勻加速過程結束時，功率最大，但速度不是最大，v＝P額F<vm＝(3)機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt。由動能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式經(jīng)常用于求解機車以恒定功率啟動過程的時間或位移等。跟蹤訓練5.(2024·遼寧遼陽一模)一電動玩具汽車啟動時，以額定功率沿直線加速并達到最大速度，其加速度a與速度倒數(shù)1v的關系圖像如圖所示。已知電動玩具汽車受到的阻力大小恒為100N，重力加速度大小g＝10m/s2。則電動玩具汽車的額定功率和最大速度分別為(A.200W2m/s B.100W4m/sC.100W2m/s D.200W4m/s答案A解析設電動玩具汽車的額定功率為P，受到的阻力大小為f，根據(jù)牛頓第二定律可得F－f＝ma，又P＝Fv，聯(lián)立可得a＝Pm·1v－fm，根據(jù)a－1v圖像可得fm＝2m/s2，Pm＝6-(-2)2m2/s3＝4m2/s3，解得P＝200W，當牽引力等于阻力時，速度達到最大，則有vA級基礎對點練對點練1恒力做功的分析和計算1.2024年元旦期間，哈爾濱文旅火爆出圈，南方的小伙伴紛紛趕往哈爾濱體驗冰雪盛宴。如圖所示為狗拉雪橇的娛樂項目，坐在雪橇上的同學與雪橇的總質量為m，狗拉著雪橇沿水平地面向左移動了一段距離L，假定狗對雪橇的拉力F為恒力且與水平方向成θ角斜向上。已知雪橇與雪地間的動摩擦因數(shù)為μ，雪橇受到的()A.支持力做功為mgL B.合外力做功為mgLC.拉力做功為FLcosθ D.滑動摩擦力做功為－μmgL答案C解析支持力做功為零，A錯誤;拉力做功為WF＝FLcosθ，C正確;滑動摩擦力做功為Wf＝－μ(mg－Fsinθ)L，D錯誤;合外力做功為W合＝WF＋Wf＝FLcosθ－μ(mg－Fsinθ)L，B錯誤。2.(2024·黑龍江大慶模擬預測)如圖所示，質量為m的物塊置于傾角為θ的斜面上，物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左勻加速運動一段距離，運動中物塊與斜面體始終相對靜止。關于物塊，下列說法正確的是()A.摩擦力一定不做功 B.摩擦力一定做負功C.支持力一定做正功 D.合外力做功可能為零答案C解析當物塊與斜面間的摩擦力為零時，則mgtanθ＝ma0，即a＝a0＝gtanθ時，物塊與斜面之間無摩擦力，此時摩擦力不做功;若a>gtanθ，物塊受摩擦力沿斜面向下，此時摩擦力與位移夾角小于90°，摩擦力做正功;若a<gtanθ，物塊受摩擦力沿斜面向上，此時摩擦力與位移夾角大于90°，摩擦力做負功，故A、B錯誤;支持力方向與斜面垂直，與位移夾角小于90°，則支持力一定做正功，故C正確;合外力為ma不為零，方向水平，可知合外力做功不可能為零，故D錯誤。3.如圖所示，長為L的小車置于光滑的水平面上，小車前端放一小物塊，用大小為F的水平力將小車向右拉動一段距離s，此時物塊剛好滑到小車的左端。物塊與小車間的摩擦力為Ff，在此過程中()A.摩擦力對小物塊做的功為Ffs B.摩擦力對系統(tǒng)做的總功為0C.力F對小車做的功為FL D.小車克服摩擦力所做的功為Ffs答案D解析由題意知，小物塊對地的位移方向向右，大小為s－L，小物塊受到的摩擦力方向水平向右，則摩擦力對小物塊做的功為W1＝Ff(s－L)，故A錯誤;小物塊相對于小車的位移大小為L，則摩擦力對系統(tǒng)做的總功為－FfL，故B錯誤;小車對地位移大小為s，則力F對小車做的功為Fs，故C錯誤;小車受到的摩擦力方向水平向左，位移方向向右，大小為s，則小車克服摩擦力所做的功為Ffs，故D正確。對點練2變力做功的分析和計算4.(2024·安徽卷，2)某同學參加戶外拓展活動，遵照安全規(guī)范，坐在滑板上，從高為h的粗糙斜坡頂端由靜止下滑，至底端時速度為v，已知人與滑板的總質量為m，可視為質點，重力加速度大小為g，不計空氣阻力，則此過程中人與滑板克服摩擦力做的功為()A.mgh B.12mvC.mgh＋12mv2 D.mgh－12m答案D解析人在下滑的過程中，由動能定理可得mgh－Wf＝12mv2－0，可得此過程中人與滑板克服摩擦力做的功為Wf＝mgh－12mv2，故5.(多選)力F對物體所做的功可由公式W＝Flcosα求得，公式中力F必須是恒力，而實際問題中，有很多情況是變力在對物體做功。如圖，對于甲、乙、丙、丁四種情況下求解某個力所做的功，下列說法正確的是()A.甲圖中若F大小不變，物塊從A到C過程中力F做的為W＝F(lOA－lOC)B.乙圖中，全過程中F做的總功為72JC.丙圖中，繩長為R，若空氣阻力f大小不變，小球從A運動到B過程中空氣阻力做的功W＝12πD.圖丁中，F(xiàn)始終保持水平，無論是F緩慢將小球從P拉到Q，還是F為恒力將小球從P拉到Q，F(xiàn)做的功都是W＝Flsinθ答案AB解析等效轉換法:甲圖中因力對繩做的功等于繩對物塊做的功，則物塊從A到C過程中繩對物塊做的功為W＝F(lOA－lOC)，故A正確。提示:輕繩對物塊的拉力一直在變化，但輕繩拉力大小不變，可將變力做功問題轉化為恒力做功來處理，輕繩對物塊拉力做的功和恒力F做的功相等。圖像法:乙圖中，F(xiàn)－x圖線與坐標軸圍成的面積代表功，則全過程中F做的總功為W＝15×6J＋(－3)×6J＝72J，故B正確。微元法:丙圖中，繩長為R，若空氣阻力f大小不變，方向始終與運動方向相反，可用微元法得小球從A運動到B過程中空氣阻力做的功為W＝－f·2πR4＝－12πRf，動能定理法:圖丁中，F(xiàn)始終保持水平，當F為恒力時將小球從P拉到Q，F(xiàn)做的功是W＝Flsinθ，而F緩慢將小球從P拉到Q，F(xiàn)為水平方向的變力，F(xiàn)做的功不能直接用力乘以位移計算，要根據(jù)動能定理求解力F做功，故D錯誤。6.(2025·河南信陽一模)如圖所示，用一個大小不變的力F拉著滑塊(視為質點)使其沿半徑為R的水平圓軌道勻速運動半周，若力F的方向始終與其在圓軌道上作用點的切線成60°夾角，則力F做的功為()A.FπRC.FR D.FπR答案A解析將力F分解為切線方向和徑向方向兩個分力，其中徑向方向始終與速度方向垂直，不做功，切線方向分力始終與速度方向相同，則滑塊勻速運動半周，力F做的功為W＝Fcos60°·πR＝FπR2，對點練3功率的分析與計算7.(2024·江西卷，5)“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天?！笔抢畎讓]山瀑布的浪漫主義描寫。設瀑布的水流量約為10m3/s，水位落差約為150m。若利用瀑布水位落差發(fā)電，發(fā)電效率為70%，則發(fā)電功率大致為()A.109W B.107W C.105W D.103W答案B解析發(fā)電功率P＝ηWt，由于W＝mgh，m＝ρV，Q＝Vt，所以P＝ηρVght＝ηρQgh，代入數(shù)據(jù)解得P≈107W8.(2023·山東卷，4)《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉筒車往稻田里引水的場景。引水過程簡化如下:兩個半徑約為R的水輪，以角速度ω勻速轉動。水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動，每個水筒離開水面時裝有質量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田，當?shù)氐闹亓铀俣葹間，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為()A.2nmgωC.3nmgω答案B解析由題知，水輪轉一圈灌入農(nóng)田的水的總質量為m總＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，則水輪轉一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，筒車對灌入稻田的水做功的功率為P＝WT，又T＝2πω，聯(lián)立解得P＝3nmgωRH5對點練4機車啟動問題9.復興號動車實現(xiàn)了速度350km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創(chuàng)新的又一重大標志性成果。一列質量為m的動車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運動，經(jīng)時間t達到該功率下的最大速度vm，設動車行駛過程所受到的阻力f保持不變。動車在時間t內(nèi)()A.做勻加速直線運動 B.牽引力的功率P＝fvmC.當動車速度為vm3時，其加速度為3fm D.牽引力做功W＝1答案B解析動車以恒定功率啟動，由P＝F牽v可知動車的速度增大，則牽引力減小，由牛頓第二定律得F牽－f＝ma，可得動車的加速度逐漸減小，A錯誤;當動車的加速度為零時，即牽引力等于阻力時，動車的速度最大，則P＝fvm，B正確;當動車速度為vm3時，牽引力為F牽'＝Pvm3＝3Pvm＝3f，根據(jù)牛頓第二定律可得F牽'－f＝ma1，則此時其加速度為a1＝2fm，C錯誤;設動車在時間t內(nèi)的位移為x，由動能定理得W－fx＝12mvm2－B級綜合提升練10.(多選)(2025·湖南長沙高三月考)一輛質量m＝2.0×103kg的無人蘿卜車，以v＝36km/h的速度在平直路面上勻速行駛，此過程中發(fā)動機功率P1＝12kW。當系統(tǒng)探測到前方有障礙物時，主動剎車系統(tǒng)立即撤去發(fā)動機驅動力，同時施加制動力使車輛減速。在制動過程中，系統(tǒng)提供的制動功率P2＝24kW，蘿卜車經(jīng)過x＝583m停下來，不計傳動裝置和熱損耗造成的能量損失，下列說法正確的是(A.蘿卜車勻速行駛過程中所受的阻力大小為800NB.蘿卜車剛進入制動狀態(tài)的瞬間，其所受合力大小為4800NC.制動過程蘿卜車的速度為5m/s時，加速度大小為3m/s2D.蘿卜車從剎車到停止經(jīng)歷的時間為3.2s答案CD解析蘿卜車勻速行駛過程中所受的阻力大小為f＝P1v＝1200N，故A錯誤;蘿卜車剛進入制動狀態(tài)的瞬間，主動剎車系統(tǒng)提供的制動力大小為F＝P2v＝2400N，蘿卜車剛進入制動狀態(tài)的瞬間，其所受合力大小為F合＝F＋f＝3600N，故B錯誤;蘿卜車的速度為5m/s時，主動剎車系統(tǒng)提供的制動力大小為F'＝P2v'＝4800N，加速度為a'＝F'＋fm＝3m/s2，故C正確;剎車過程，根據(jù)動能定理有－P2t－fx＝0－1