專題02一元二次方程內容導航考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺考點鞏固：必考題型講透練透，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點1一元二次方程1.一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等號左邊是一個關于未知數(shù)的二次多項式，等號右邊是0.其中：【易錯/熱考】如果明確了ax2+3.一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）.知識點2解一元二次方程基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原方程的解.1.直接開平方法（基礎）定義：通過開平方運算解一元二次方程的方法叫直接開平法.形如ax2=b 當b＞0時，則x1=ba=，x2=- 當b＝0時，則，此時方程有兩個相等的實數(shù)根； 當b＜0時，則方程無實數(shù)根.2.配方法（基礎）定義：通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法叫做配方法.配方的實質：將方程化為的形式，當m≥0時，直接用直接開平方法求解.3.公式法定義：一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)用公式法解一元二次方程的一般步驟：1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分數(shù)通常將其化為整數(shù)，方便計算)；2）求出的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；3）如果,將a、b、c的值代入求根公式：；4）最后求出.【補充說明】求根公式的使用條件：4.因式分解法定義：利用因式分解，將方程化為兩個一次因式乘積等于0的形式，再使這兩個一次因式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法.依據(jù)：如果兩個一次因式的積為0，那么這兩個因式中至少一個為0，即若ab=0，則a=0或b=0.口訣：右化零，左分解，兩因式，各求解.【補充說明】利用因式分解法解方程時，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項,將方程右邊化為0.知識點3根的判別式根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.根的情況與判別式的關系：在實數(shù)范圍內，一元二次方程的根的情況由其系數(shù)a，b，c，即確定.1）方程有兩個不相等的實根:x=?b±b2）方程有兩個相等的實根：x1=x3）方程無實根.【補充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數(shù)根；2）有兩個不相等的實數(shù)根．知識點4一元二次方程根與系數(shù)的關系若一元二次方程的兩個根是，則與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關系：x1+x2＝?ba，x1【補充說明】1）一元二次方程的根與系數(shù)的關系又稱之為“韋達定理”；2）一元二次方程根與系數(shù)關系的使用條件：.3）運用根與系數(shù)的關系和運用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.4）利用根與系數(shù)的關系還可以求出關于、的代數(shù)式的值，涉及到的變形如下：知識點5一元二次方程與實際問題用一元二次方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.【題型1一元二次方程的識別】高妙技法①一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關于未知數(shù)的整式.②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個未知數(shù).③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2.1．（24-25八年級上·上海嘉定·期中）下列關于x的方程一定是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理；如果能整理為的形式，則這個方程就為一元二次方程．【詳解】解：A、當時，不是一元二次方程，故不符合題意；B、符合一元二次方程的定義，故符合題意C、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合題意；D、是分式方程，故不符合題意．故選：B．2．（24-25八年級上·上海徐匯·階段練習）下列方程中，是一元二次方程的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的定義即可解答．【詳解】解：A、是分式方程，故此選項錯誤；B、當，且、、為常數(shù)時，是一元二次方程，故此選項錯誤；C、整理后為是一元一次方程，故此選項錯誤；D、是關于的一元二次方程，故此選項正確．故選：D．3．（24-25八年級上·上?！て谥校┫铝蟹匠讨?，是關于x的一元二次方程的是（

）A．（a、b、c是實數(shù)） B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．根據(jù)“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程”，由此問題可求解．【詳解】解：A、當時，則就不是一元二次方程，故不符合題意；B、把化簡為，不是一元二次方程，故不符合題意；C、含分式，不是一元二次方程，故不符合題意；D、是一元二次方程，故符合題意．故選D．【題型2將一元二次方程化為一般式】高妙技法二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項都是在一般形式下定義的，所以在確定一元二次方程各項的系數(shù)時，應先將方程化為一般形式，并且在說明各項系數(shù)的時，一定要帶上前面的符號.特殊情況：①若二次項系數(shù)為負，則要把它轉化為正數(shù)，注意其他項的符號均需要改變；②若有的項系數(shù)為分數(shù)，則要把它轉化為整數(shù).4．（24-25八年級上·上海徐匯·階段練習）把一元二次方程化成一般式之后，其二次項系數(shù)與一次項系數(shù)分別是（

）A．2， B．， C．2， D．，【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練把一元二次方程轉換為一般形式是解題的關鍵；通過移項，合并同類項，轉化為一二次方程的一般形式即可得出答案．【詳解】解：，∵，，，∴一元二次方程的二次項系數(shù)是2與一次項系數(shù)是，故選：A．5．（23-24八年級上·上海·單元測試）把下列方程化成一般式，并寫出二次項、一次項和常數(shù)項．(1)；(2)．【答案】(1)，二次項為，一次項為，常數(shù)項(2)，二次項為，一次項為，常數(shù)項【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．（1）根據(jù)一元二次方程的一般形式的定義即可解答；（2）根據(jù)一元二次方程的一般形式的定義即可解答．【詳解】（1）解：由，得：，化為一般式得：，二次項為，一次項為，常數(shù)項；（2）解：由，得：，化為一般式得：，二次項為，一次項為，常數(shù)項．【題型3根據(jù)一元二次方程的定義求參數(shù)】高妙技法1）只含有一個未知數(shù);2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且系數(shù)不為0；3)高于二次的項系數(shù)為0.6．（24-25八年級下·江蘇蘇州·期中）若關于的方程（為常數(shù)）是一元二次方程，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的概念，注意二次項系數(shù)不為零；根據(jù)二次項系數(shù)不為零即可求解．【詳解】解：∵關于的方程（為常數(shù)）是一元二次方程，∴，∴；故答案為：．7．（24-25九年級下·江西撫州·期中）若關于的方程是一元二次方程，則．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程進行計算解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，解得，故答案為：0．8．（24-25九年級上·湖南永州·期中）已知關于的方程(1)為何值時，此方程是一元一次方程？(2)為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項系數(shù)及常數(shù)項．【答案】(1)(2)當時，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次項系數(shù)為，常數(shù)項為【分析】此題考查了一元二次方程以及一元一次方程的定義，熟練掌握相關定義是解本題的關鍵．（1）利用一元一次方程的定義判斷即可；（2）利用一元二次方程的定義判斷確定出m的值，進而確定出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項即可．【詳解】（1）解：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．由題意得：，．當時此方程是一元一次方程；（2）由題意得：，．當時，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次項系數(shù)為，常數(shù)項為m.【題型4已知一元二次方程的解求參數(shù)/代數(shù)式的值】9．（21-22九年級上·貴州畢節(jié)·期末）關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定義，將代入方程可得：，解之求得a的值，再根據(jù)一元二次方程的定義求解可得．【詳解】解：根據(jù)題意將代入方程可得：，解得：或，∵是一元二次方程，∴，即，∴，故選：B．10．（2025·浙江麗水·二模）已知是方程的一個根，則代數(shù)式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】本題考查一元二次方程的解的意義，由題意可得，將原式變形后代入數(shù)值計算即可．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，∴，∴，故選：B．11．（24-25八年級下·重慶·期中）已知是一元二次方程的一個根，則【答案】13【分析】本題主要考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關鍵；由題意易得，然后整體代入進行求解即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴，即，∴；故答案為13．12．（24-25九年級上·重慶黔江·階段練習）（1）已知，，求的值．（2）已知是方程的一個實數(shù)根，求代數(shù)式的值．【答案】（1）97；（2）6【分析】本題主要考查了分母有理化，代數(shù)式求值，二次根式混合運算，一元二次方程的解，掌握完全平方公式和整式的運算法則是解題的關鍵．（1）先將，分母有理化，然后再代入代數(shù)式求值即可；（2）根據(jù)是方程的一個實數(shù)根，得出，，然后代入求值即可．【詳解】解：（1）∵，，∴；（2）∵是方程的一個實數(shù)根，∴，∴，∴，∴，∴．【題型5合適的方法解一元二次方程】高妙技法a，b，c分別為二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.1）當a=1，b為偶數(shù)，c≠0時，首選配方法；2）當b=0時，首選直接開平方法；3）當c=0時，可選因式分解法或配方法；4）當a=1，b≠0，c≠0時，可選配方法或因式分解法；5）當a≠1，b≠0，c≠0時，可選公式法或因式分解法.13．（24-25八年級上·上?！て谀┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）把看做整體，再運用因式分解法進行解方程，即可作答．（2）先移項，再運用因式分解法進行解方程，即可作答．【詳解】（1）解：∵，∴，則，解得；（2）解：∵，∴，則，，解得．14．（22-23八年級下·山東泰安·階段練習）用合適方法解下列方程(1)；(2)．(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）變形后，利用因式分解法求解；（3）利用因式分解法求解；（4）移項后，利用因式分解法求解．【詳解】（1）解：，則，，，∴，∴，解得：，；（2），∴，∴，∴，∴或，解得：，；（3），∴，∴或，解得：，；（4），∴，∴，即，∴或，解得：，．【點睛】本題考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接開平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要針對題目選用適當?shù)姆椒ㄇ蠼猓绢}型6換元法解一元二次方程】15．（22-23九年級上·江西萍鄉(xiāng)·開學考試）閱讀下列材料：為解方程，可將方程變形為，然后設，則，原方程化為，解得，，當時，無意義，舍去；當時，，解得；所以原方程的解為，；利用以上學習到的方法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，，，【分析】本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是掌握換元法解一元二次方程，利用換元降次求解一元高次方程．（1）設，則原方程化為，進而求解；（2）設，則原方程化為，進而求解；（3）設，則原方程化為，進而求解；【詳解】（1）解：設，則原方程化為，解得，，當時，無意義，舍去；當時，，解得；所以原方程的解為，；（2）設，則原方程化為，解得，當時，，，，；所以原方程的解為，；（3）.設，則原方程化為，解得，當時，，，解得：，；當時，，解得，；所以原方程的解為，，0，16．（20-21九年級上·江蘇揚州·期末）閱讀下列材料：為解方程可將方程變形為然后設，則，原方程化為①，解①得，．當時，無意義，舍去；當時，，解得；∴原方程的解為，；上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題轉化成簡單的問題．利用以上學習到的方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），，，；（2），．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料利用換元法降次，令，即原方程=，求解即可．（2）同理，令，即原方程=，求解即可．【詳解】（1）設，得：，解得：，．當時，，解得：，當時，，解得：，．∴原方程的解為，，，．（2）設，則方程可變成，∴，，．當時，，所以無解．當時，，∴，∴，．經(jīng)檢驗，是原方程的解．【點睛】本題考查利用換元法解一元二次方程．利用整體換元把一些形式復雜的方程變成一元二次方程，從而達到降次的目的是解答本題的關鍵．【題型7配方法求最值】高妙技法求多項式的最值，若a＞0，則代數(shù)式有最小值；若a＜0,則代數(shù)式有最大值.17．（23-24八年級上·上?！卧獪y試）（1）已知為實數(shù)，且，求的值．（2）用配方法求：①的最小值；②的最大值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】本題主要考查了解一元二次方程，配方法的應用：（1）把看做一個整體，利用因式分解法得到，據(jù)此求解即可；（2）①利用配方法得到，據(jù)此可得答案；②利用配方法得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①，∵，∴，∴的最小值為；②，∵，∴，∴，∴的最大值為．18．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）（1）當__________時，多項式的最小值為__________．（2）當__________時，多項式的最大值為__________．（3）當、為何值時，多項式取最小值？并求出這個最小值．【答案】（1）3，3（2）1，（3），，最小值是10【分析】本題考查了配方法的應用，非負數(shù)的性質應用，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）由配方可知，然后根據(jù)非負數(shù)的性質，判斷出的值，然后進行計算即可；（2）由配方可知，然后根據(jù)非負數(shù)的性質，判斷出的值，然后進行計算即可；（3）由配方可知，然后根據(jù)非負數(shù)的性質，判斷出和的取值，然后進行計算即可．【詳解】（1）當時，多項式取最小值，且最小值為3；故答案為：3，3（2）當時，多項式取最大值，且最大值為；故答案為：1，；（3），當且，即時，多項式取最小值，并且最小值為．，，最小值是10．19．（23-24八年級下·山東濟南·期中）求最值問題有多種方法，既有代數(shù)法也有幾何法．例如：若代數(shù)式，利用配方法求M的最小值：，，當時，代數(shù)式M有最小值為2．再比如：正數(shù)a，b滿足，用幾何法求的最小值．如圖，為線段DC的長度，為線段CE的長度，當?shù)闹底钚r，D、C、E三點共線，所以最小值為．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)若代數(shù)式，求M的最小值；(2)已知正數(shù)x，y滿足，求的最小值．【答案】(1)3(2)【分析】本題主要考查勾股定理的運用，兩點之間線段最短的知識，掌握勾股定理的運算，最短路徑的運用，合理作出圖形是解題的關鍵．（1）運用配方法解題即可；（2）運用材料提示，構造圖形，運用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：，，當，時，M有最小值為3；（2）如圖，為線段DC的長度，為線段CE的長度當?shù)闹底钚r，D、C、E三點共線，所以最小值．【題型8不解方程判定一元二次方程根的情況】高妙技法一元二次方程根的情況與判別式的關系：1）方程有兩個不相等的實根:x=?b±b2）方程有兩個相等的實根：x1=x3）方程無實根.20．（24-25九年級下·上?！るA段練習）下列關于的方程中，不論取什么實數(shù)值，一定有實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式逐一分析即可求解．【詳解】解：A、，，時，，即關于的方程有實數(shù)根，故該選項不符合題意；B、，，不論取什么實數(shù)值，，即方程一定有實數(shù)根，故該選項符合題意；C、，，當時，，即關于的方程有實數(shù)根，故該選項不符合題意；D、，，當時，，即關于的方程有實數(shù)根，故該選項不符合題意；故選：B．21．（24-25八年級上·上海·期中）下列一元二次方程中，有實數(shù)根的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對于一元二次方程，其根的判別式．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．據(jù)此逐項分析判斷即可．【詳解】解：A、對于方程，其判別式，該方程無實數(shù)根，不符合題意；B、對于方程，其判別式，該方程無實數(shù)根，不符合題意；C、對于方程，其判別式，該方程無實數(shù)根，不符合題意；D、對于方程，其判別式，該方程有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意．故選：D．22．（24-25八年級上·上海黃浦·期末）下列關于的方程中，有兩個實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．（為常數(shù)）【答案】A【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式及解一元一次方程，一元二次方程的根與有如下關系：①當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當時，方程無實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，∴方程有兩個實數(shù)根，故A符合題意；B、，方程沒有實數(shù)根，故B不符合題意；C、由，得，∵，∴方程沒有實數(shù)根，故C不符合題意；D、，當時，方程沒有實數(shù)根，故D不符合題意；故選：A．【題型9根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍】高妙技法前提條件：已知方程是一元二次方程（二次項系數(shù)不為0）.1）有根Δ≥0;2）有兩個不等根Δ＞0;3）有兩個相等根Δ=0;4）無實數(shù)根Δ＜0.23．（24-25九年級上·山西呂梁·期末）若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則n的值可能是（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】本題主要考查了根的判別式，利用一元二次方程根的判別式即可解決問題．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，∴，解得：，顯然只有A選項符合題意．故選：A．24．（2025·上海浦東新·二模）如果關于的方程有實數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的知識點是根的判別式，解題關鍵是熟練掌握根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的方法．方程有實數(shù)根，即根的判別式．【詳解】解：方程有實數(shù)根，，．故答案為：．25．（24-25八年級上·上海·期中）已知關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，請判斷關于的方程是否有兩個相等的實數(shù)根，并說明理由．【答案】有兩個不相等的實數(shù)根，理由見解析【分析】本題主要考查了根的判別式的知識，解答本題要掌握一元二次方程根的情況與判別式的關系．首先根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，求出m的取值范圍，然后求出方程根的判別式，進而作出判斷．【詳解】解：有兩個不相等的實數(shù)根，理由如下：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，，，對于關于的方程，，，∴，即，∴方程一定有兩個不相等的實數(shù)根．26．（24-25八年級上·上海閔行·期中）已知關于x的一元二次方程無實數(shù)根．求關于y的一元二次方程根的情況．【答案】一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根【分析】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況．熟記相關結論即可，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；若，則方程有兩個相等的實數(shù)根；若，則方程沒有實數(shù)根．據(jù)此即可求k的取值范圍．根據(jù)k的取值范圍可得方程根的情況．【詳解】解：關于x的一元二次方程無實數(shù)根，，即，解得：；在關于y的一元二次方程中，，∵，∴，∴一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．【題型10已知方程一個根求另一個根】高妙技法當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時，如，其兩根關系為x1+x2＝?p，x127．（2023·廣東佛山·三模）關于x一元二次方程有一個根是，則另一個根是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系解答即可.【詳解】解：設方程的另一個根為，則，解得：；故選：A.【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，若是方程的兩個根，則.28．（22-23九年級下·廣東佛山·階段練習）若是一元二次方程的一個根，則這個方程的另一個根是（）A． B．2 C．3 D．6【答案】D【分析】設方程的另一個根為m，利用根與系數(shù)的關系得到，解方程即可得到答案.【詳解】解：設方程的另一個根為m，∵是一元二次方程的一個根，∴，∴，故選D.【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數(shù)根，則．29．（2023九年級·全國·專題練習）已知，且有及，則的值為（

）A． B．2018 C．3 D．【答案】D【分析】把兩邊都除以，得，從而知x、是的兩根，根據(jù)韋達定理可得答案．【詳解】解：∵，∴，則x、是的兩根，∴，∵3，∴，故選：D．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系．根據(jù)已知條件得到x、是關于x的方程的兩根是解題的難點．【題型11一元二次方程根與系數(shù)的關系】高妙技法30．（22-23九年級上·貴州黔西·階段練習）設一元二次方程的兩根為，則的值為（）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】直接由根與系數(shù)的關系可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，∴，∴．故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，正確的計算是解決本題的關鍵．31．（22-23九年級上·山東日照·階段練習）已知是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，，，然后代入即可求解．【詳解】解：∵是方程的兩個實數(shù)根，∴，，，∴∴，故選：A．32．（23-24九年級下·上?！ぷ灾髡猩┮阎猘、b和c是的三邊，，，方程兩根之差是，求的底角的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應用及根與系數(shù)的關系，首先利用根與系數(shù)的關系得到兩根與系數(shù)的式子，然后根據(jù)方程的兩根之差是得到，代入得到的a、b的關系，從而確定底角的度數(shù)．【詳解】解：設方程的兩根分別為m、n，，方程兩根之差是，，整理得，即，，即，是底邊為b的等腰三角形，由圖可知，，的底角．33．（23-24八年級上·上?！るA段練習）閱讀：對于所有的一元二次方程中，對于兩根，存在如下關系：試著利用這個關系解決問題．設方程的兩根為，(1)不解方程，求(2)不解方程，求(3)不解方程，求(4)不解方程，求下列式子的值：【答案】(1)，(2)(3)3(4)34【分析】（1）根據(jù)方程的兩個根為，，可得，；（2）根據(jù)方程的兩個根為，，，代入即可；（3）由題意得，等式變形代入即可；（4）根據(jù)一元二次方程根的定義得到，，則原式，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】（1）解：方程的兩個根為，，∴，，故答案為：，（2）∵，∴故答案為：（3）方程的兩個根為，，，即，故答案為：3（4）方程的兩個根為，，，，即，，原式，原式．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．也考查了一元二次方程根的定義．34．（22-23八年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）設是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)2(5)4【分析】（1）根據(jù)韋達定理，可得，，再根據(jù)即可計算；（2）即可計算；（3）即可計算；（4）即可計算；（5）即可計算．【詳解】（1）根據(jù)韋達定理，可得，，∴；；；（2）；；；（3）；；；（4）；；；（5）；；；．【點睛】本題考查韋達定理的應用，將所求式子轉化為只含有兩根之和和兩根之積的式子是解題的關鍵．【題型12根據(jù)一元二次方程兩根滿足的關系求參數(shù)】35．（2024·貴州銅仁·一模）已知關于x的方程的兩實數(shù)根為，，若，則的值為（

）A．1 B． C．3 D．5【答案】D【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關系的知識．根據(jù)根與系數(shù)的關系，得出和，再代入等式求得即可．【詳解】解：關于的方程的兩實數(shù)根為，，，，，，，．故選：D．36．（22-23九年級上·湖北咸寧·階段練習）已知關于x的方程的兩個實數(shù)根，，若，則m的值為（

）A． B．1 C．或1 D．或3【答案】A【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系．熟練掌握根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．注意，方程有實數(shù)根，判別式大于等于零．由方程有兩個實數(shù)根得，根據(jù)根與系數(shù)的關系得，然后代入計算即可．【詳解】解：∵是方程的兩實數(shù)根，∴，∴，∴，∵，∴，解得：（舍）或；故選A．37．（24-25八年級上·上?！るA段練習）已知關于的一元二次方程，設方程兩個實數(shù)根分別為，且滿足，．【答案】或【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握如果一元二次方程的兩根為，，則+．由題意得所以，代入得到，換元解方程即可．【詳解】解：因為是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，所以．又因為，所以，解得，經(jīng)檢驗，兩根都是原方程的解，且滿足，所以k的值為或．故答案為：或．【題型13根的判別式和根與系數(shù)關系綜合】38．（22-23九年級上·遼寧鞍山·階段練習）已知關于x的一元二次方程．(1)若方程有兩個實數(shù)根，求m的取值范圍；(2)設方程的兩個實數(shù)根為，，若，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)求參數(shù)、一元二次方程根與系數(shù)的關系、完全平方公式變形、解一元二次方程等知識點．（1）由方程有實數(shù)根即可得出，解之即可得出m的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出，，結合，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范圍即可確定m的值．【詳解】（1）解：∵該方程有兩個實數(shù)根，∴，解得；（2）解：∵方程的兩個實數(shù)根為，，∴、，∴，解得或．∵，∴．39．（24-25八年級上·上海浦東新·期中）已知的兩邊，是關于的方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長度是，那么為何值時，是等腰三角形？【答案】或【分析】分兩種情況：①當，是腰；②當為腰，分別求解即可．【詳解】解：①當a、b是腰時，則，∵，是關于的方程的兩個實數(shù)根，∴，解得：，∴該方程為，解得：，∴，∵，∴不能組成三角形；②當為腰時，∴是其中一根，設另外一根為，∴，，解得：，或，，，，或，，能組成三角形，綜上所述，為或時，是等腰三角形．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系、根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的性質，三角形三邊關系．利用分類討論的思想解決問題是解題的關鍵．40．（24-25九年級上·內蒙古鄂爾多斯·階段練習）已知關于的方程．(1)求證：無論取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰三角形的一邊長為4，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求此時的值．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根；也考查了解一元二次方程，根與系數(shù)的關系：一元二次方程兩實數(shù)根為、，則，．（1）分和時兩種情況求解即可；（2）分三角形的腰長為4和底邊為4兩種情形討論即可．【詳解】（1）解：當時，原方程變?yōu)?，解得，故符合題意；當時，∵，∴無論k取任何非零實數(shù)，方程總有實數(shù)根．（2）解：當三角形的腰長為4時，設底邊為a，∴是的一根，∴，∴，∴，∴由根與系數(shù)的關系可知：，∴，此時，能夠組成三角形，滿足題意；∴當?shù)走厼?時，設腰長為b，∴有兩個相同的根，∴，∴，∴原方程為∴該方程的解為：．∴，不能組成三角形，故舍去，綜上所述，．【題型14一元二次方程與實際問題】高妙技法常見問題數(shù)量關系變化率問題利潤問題利潤=售價-進價；利潤率=利潤/進價×100%總利潤=總售價-總成本=單個利潤×總銷售量.循環(huán)問題單循環(huán)（如握手問題）：12雙循環(huán)（如寫信問題）：n（n－1）（其中n為人數(shù)）面積問題(a?2x)(b?2x)（x為空白部分的寬）(a?x)(b?x)（x為陰影部分的寬）41．（23-24九年級上·福建福州·期中）某流感病毒傳染性很強，若有一人感染上此病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后，共有100人患?。僭O每輪傳染中，平均一個人傳染的人數(shù)相同）．(1)每輪傳染中平均一個人傳染多少人？(2)如果這100位病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患??？【答案】(1)9人(2)1000人【分析】本題考查了一元二次方程的應用．（1）設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)“若一人攜帶此病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患病”，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）利用經(jīng)過三輪傳染后患病的人數(shù)經(jīng)過兩輪傳染后患病的人數(shù)，即可求出結論．找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，依題意得：，解得：，（不合題意，舍去）；答：每輪傳染中平均每個人傳染了9個人．（2）（人）．答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有1000人患?。?2．（24-25九年級上·全國·期末）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為(2)該品牌頭盔的實際售價應定為元/個【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為，根據(jù)4月份銷售150個，6月份銷售216個，列出方程進行求解即可；（2）設該品牌頭盔的實際售價應定為元/個，根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出方程進行求解即可．【詳解】（1）解：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為，由題意，得：，解得：或（舍去）；答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為；（2）設該品牌頭盔的實際售價應定為元/個，由題意，得：，解得：，∵盡可能讓顧客得到實惠，∴；答：該品牌頭盔的實際售價應定為元/個．43．（24-25八年級上·上?！て谀┰茥⌒〉慕?jīng)營者要把如圖所示的區(qū)域分隔成三個面積相同的商鋪出租．已知鋪面兩面靠墻，墻長分別為米和米，三間商鋪都在沿街開一個1米寬的門．經(jīng)營者共用去板材45(不計損耗)．(1)若三間商鋪總面積為，求每間商鋪的長和寬分別是多少？(2)小王作為個體經(jīng)商戶，希望同時租下三間鋪面開設不同的商鋪，但要求在不增加板材的基礎上，使這三間商鋪的總面積達到最大．已知商鋪的租金為每月每平方米元，請問小王每月需要付給經(jīng)營者多少租金？【答案】(1)每間商鋪的長為米，寬為米(2)小王每月需要付給經(jīng)營者元租金【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次不等式組的應用，配方法的應用；（1）設垂直于墻的一邊長米，可得米，根據(jù)三間商鋪總面積為列出方程，求得合適的解即可；（2）根據(jù)題意求得三間商鋪的總面積，根據(jù)配方法可得最大值，進而可得租金為多少．【詳解】（1）解：設垂直于墻的一邊長x米，則米，，整理得：，解得：，，由題意得：，解得：，∴，∴．答：每間商鋪的長為米，寬為米；（2）解：三間商鋪的總面積為，∵，∴時，三間商鋪的總面積最大，三間商鋪的總面積最大為平方米，(元)．答：小王每月需要付給經(jīng)營者元租金．44．（23-24八年級上·上?！て谀┬⊥鯗蕚渫顿Y銷售一種進價為每公斤40元的堅果．通過試營銷發(fā)現(xiàn)：當銷售單價在每公斤40元到90元之間（含40元和90元）時，每月的銷售量y（元/公斤）之間的關系可近似地看作一次函數(shù)，其圖像如圖所示．(1)求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)如果小王想要每月獲得2400元的利潤，那么銷售單價應定為每公斤多少元？【答案】(1)(2)60元或70元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應用，一元二次方程的實際應用：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)利潤（售價進價）銷售量列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設y與x之間的函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴y與x之間的函數(shù)解析式為（2）解：由題意得，，整理得，解得或，∴如果小王想要每月獲得2400元的利潤，那么銷售單價應定為每公斤60元或70元．45．（24-25八年級上·上?！て谀┗ヂ?lián)網(wǎng)經(jīng)濟已經(jīng)成為了我國經(jīng)濟的重要發(fā)展方向，下圖是某電商平臺上某商品第四季度的銷售額y（元）和銷售量x（件）之間的函數(shù)圖像，線段表示某商品以原價銷售時的函數(shù)圖像，線段表示由于“雙十一”活動階段商品以某一幅度降價時的函數(shù)圖像，線段表示由于“雙十二”活動階段商品以相同的幅度再次降價時的函數(shù)圖像，(1)求線段所在直線的函數(shù)解析式；(2)該商品原價每件為______元．第二次降價后該商品每件為______元．(3)該商品每次降價的百分率為_______．【答案】(1)(2)10，(3)【分析】本題考查了正比例函數(shù)的圖像與性質、從函數(shù)圖像中獲取信息、一元二次方程的應用，從函數(shù)圖像中正確獲取信息是解題關鍵．（1）根據(jù)點，利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）根據(jù)函數(shù)圖像可得每件的原價等于銷售額1000元除以銷售量100件；第二次降價后該商品每件的價格為銷售額元除以銷售量100件，由此即可得；（3）設該商品每次降價的百分率為，結合（2）的結果，建立一元二次方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：設線段所在直線的函數(shù)解析式為，將點代入得：，解得，則線段所在直線的函數(shù)解析式為．（2）解：由線段表示的函數(shù)圖像可知，該商品原價每件為（元），由線段表示的函數(shù)圖像可知，第二次降價后該商品每件為（元），故答案為：10，．（3）解：設該商品每次降價的百分率為，由題意得：，解得或（不符合題意，舍去），所以該商品每次降價的百分率為，故答案為：．【題型15與解一元二次方程有關的新定義問題】46．（24-25九年級上·湖南衡陽·期末）定義：如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如是“差1方程”．(1)判斷下列方程是不是“差1方程”，并說明理由；①；②．(2)已知關于的方程（是常數(shù)）是“差1方程”，求的值．【答案】(1)①不是“差1方程”，見解析；②是“差1方程”，見解析(2)或【分析】本題主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟練掌握“差1方程”的定義并能正確分類討論是解決此題的關鍵．（1）先解方程求出兩個根，再判斷兩個根是否相差1即可；（2）先解方程求出兩個根，再根據(jù)該方程是“差1方程”得出兩個根的差為1，解關于m的一元一次方程即可．【詳解】（1）解：①，，，，不是“差1方程”，②，，，，，，是“差1方程”；（2）解：，，，方程（是常數(shù)）是“差1方程”，或，或．47．（24-25九年級上·陜西商洛·期末）對于任意實數(shù)m、n，定義運算“☆”，其運算規(guī)則為：，例如，求方程的解．【答案】【分析】此題考查了實數(shù)的新定義和解一元二次方程．根據(jù)新定義得到，利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，解得48．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期末）定義新運算“”：對于實數(shù)m，n，p，q．有，其中等式的右邊是通常的加法和乘法運算．例如：．(1)求關于x的方程的根；(2)若關于x的方程有兩個實數(shù)根，求k的取值范圍．【答案】(1)，(2)且【分析】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，解一元二次方程，一元二次方程根的判別式．明確新定義的運算規(guī)則是解題的關鍵．（1）由新定義規(guī)定的運算法則，將其化為關于x的一元二次方程，解方程即可；（2）按新定義規(guī)定的運算法則，將其化為關于x的一元二次方程，在利用根的判別式進行求解即可解決．【詳解】（1），，．，，，（2），整理得：．方程有兩個實數(shù)根，且，解得：且49．（24-25九年級上·河南鶴壁·期末）定義：如果關于x的一元方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，那么稱這樣的方程是“對稱方程”，例如：一元二次方程的兩個根是，，2和互為相反數(shù)，則方程是“對稱方程”．(1)通過計算，判斷下列方程是否是“對稱方程”；①；②；(2)已知關于x的一元二次方程（k是常數(shù)）是“對稱方程”，求k的值．【答案】(1)①不是“對稱方程”；②是“對稱方程”(2)【分析】本題考查了一元二次方程的解法，以及根據(jù)“對稱方程”的概念來解答一元二次方程中相應參數(shù)的值，熟練掌握一元二次方程的解法以及根與系數(shù)的關系是解答此題的關鍵．（1）將這兩個方程分別解出來，再看它們的兩個根是否互為相反數(shù)，即可判斷它們是否為“對稱方程”；（2）根據(jù)“對稱方程”的特點即可得出兩根之和等于0，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系即可得出，代入相應字母的值可得出一個關于的方程，解出該方程即可得到的值．【詳解】（1）解：①，因式分解得，，，∵該方程的兩實數(shù)根不互為相反數(shù)，∴此方程不是“對稱方程”；②，整理得，，，∵該方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)，∴此方程是“對稱方程”；（2）解：∵關于一元二次方程是“對稱方程”，∴，∵，∴，∴，當時，原方程為，無解，∴．【題型16指出解一元二次方程過程中的錯誤步驟】50．（24-25九年級上·河北保定·期末）嘉嘉解一元二次方程的過程如下．解：整理得，①，②，③方程有兩個不相等的實數(shù)根，，④．⑤(1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解過程從第________步開始出現(xiàn)錯誤；(2)請你寫出這個方程正確的解題步驟．【答案】(1)公式法，②(2)，【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是關鍵；（1）根據(jù)題意可得解方程的方法是公式法，根據(jù)一次項的系數(shù)與常數(shù)項錯誤可得答案；（2）先求解，再利用公式法求解即可．【詳解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解過程從第②步開始出現(xiàn)錯誤（2）解：整理得，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，．51．（24-25九年級上·河北保定·期末）習題課上，數(shù)學老師展示了解方程時的兩種錯誤解答過程：甲：原方程可變形為：第一步第二步第三步第四步則第五步∴，第六步乙：原方程可變形為：第一步第二步則或第三步∴，第四步(1)分別寫出甲，乙的解答過程中是從第幾步開始出現(xiàn)錯誤的；(2)請寫出正確的解答過程．【答案】(1)甲從第一步開始出錯，乙從第二步開始出錯(2)見解析【分析】本題主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)解一元二次方程的計算的步驟一步步檢查即可；（2）根據(jù)配方法和因式分解法解答即可．【詳解】（1）解：甲：原方程可變形為：第一步，故甲從第一步開始出錯；乙：原方程可變形為：第一步，第二步，故乙從第二步開始出錯；∴甲從第一步開始出錯，乙從第二步開始出錯．（2）解：（方法不唯一）配方法：方程變形為：，，配方得，則或，，；因式分解法：方程變形為：，，則或，，．【題型17與解一元二次方程有關的材料閱讀類問題】52．（24-25九年級上·四川資陽·期末）閱讀下面材料：已知，是一元二次方程的兩實數(shù)根，若滿足，則此類方程稱為“差根方程”．在學習了求根公式法解方程后，小聰同學發(fā)現(xiàn)：．最后得到“差根方程”中a，b，c之間的關系是．(1)請通過計算判斷方程是否是“差根方程”．(2)若方程是“差根方程”，請求出k的值以及方程的兩個根．(3)若關于x的“差根方程”的一個根是（a，m，b均為常數(shù)，），則方程是“差根方程”嗎?若是，請求出它的根；若不是，請說明理由．【答案】(1)方程是“差根方程”(2)；，(3)方程是“差根方程”.它的根是，或，．【分析】本題考查了解一元二次方程、一元二次方程根與系數(shù)的關系，理解“差根方程”的定義是解此題的關鍵．（1）利用因式分解法求出方程的解，再結合“差根方程”的定義判斷即可得解；（2）由題意可得，從而可得，由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，，再利用完全平方公式的變形計算可得，最后解方程即可得解；（3）由“差根方程”的定義計算可得，從而可得，，，求解并判斷即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴或，∴，，∴，∴方程是“差根方程”；（2）解：∵方程是“差根方程”，∴，∴，∵，，∴，解得：，∴方程為，∴，∴，∴，∴，∴，；（3）解：∵關于x的“差根方程”的一個根是（a，m，b均為常數(shù)，），∴，∴，∴，即，∴，∵關于x的“差根方程”的一個根是（a，m，b均為常數(shù)，），∴，∴，.將代入方程可得：，解得：，，∴，∴方程是“差根方程”，它的根為，．即，或，．∴方程是“差根方程”.它的根是，或，．53．（24-25九年級上·山西臨汾·期末）閱讀與思考下面是小蕓同學的一篇數(shù)學周記，請仔細閱讀并完成相應的任務．用轉化的思想解方程我們知道一元二次方程的解法有四種，在解一元二次方程時，應該根據(jù)系數(shù)的特征選擇恰當快捷的方法求解．例如：當時，常選用因式分解法求解；當，且時，常選用直接開平方法求解……但是在求解的過程中發(fā)現(xiàn)，不管使用哪種方法求解，都是將一元二次方程轉化為一元一次方程，通過求解一元一次方程得到一元二次方程的解．通過查閱資料，我發(fā)現(xiàn)，不止解一元二次方程可以使用轉化思想將其轉化為解一元一次方程，解一元多次方程也可以使用轉化思想將其轉化為解一元一次方程．例如：解方程．解：提取公因式，得．第一步分解因式，得．第二步或或．第三步．第四步．．．．．．任務：(1)在上述材料中，第二步分解因式的依據(jù)是___________；(2)請參照材料中的方法，解方程；(3)實際上，除解方程外，初中數(shù)學還有一些知識也可以用轉化思想來解決．例如：可用轉化思想解二元一次方程組．請你再舉出一例：___________．【答案】(1)平方差公式(2)，(3)解不等式【分析】本題考查因式分解的應用，轉化思想，熟練掌握轉化思想是解題的關鍵．（1）第二步將分解為，是運用了平方差公式，據(jù)此即可解答；（2）參照材料中的方法，運用提公因式法與完全平方公式對方程左邊進行因式分解，即可解答；（3）可以運用轉化思想解一元二次不等式，將一元二次不等式轉化為一元一次不等式組進行求解，據(jù)此可舉例解答．【詳解】（1）解：第二步分解因式的依據(jù)是平方差公式．故答案為：平方差公式；（2）解：，提公因式，得，分解因式，得，∴或，∴，．（3）解：可以運用轉化思想解不等式，因式分解，得，∴或，∴或．54．（20-21九年級上·云南麗江·期末）閱讀下面的材料：∵的根為，，∴，；請利用這一結論解決下列問題：(1)若方程的兩根為和3，求b和c的值．(2)設方程的兩根為，，不解方程，求的值．【答案】(1)，；(2)3．【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系等知識點，（1）可以直接利用閱讀材料的結論，其中，則b為兩根之和的相反數(shù)，c為兩根之積即可得解；（2）把所求式子通分，然后把兩根之和、兩根之積代入即可求出其值；熟練掌握若方程的兩根為，，則，的性質是解決此題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴．提升專練1．（24-25八年級下·重慶·期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．（1）設，則原方程化為，得到或，當時，解得；當時，方程無實數(shù)解；即可得到答案；（2）整理方程得到，用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：設，則原方程化為，解得或，當時，解得；當時，方程無實數(shù)解；；（2）解：或解得：．2．（24-25九年級上·山東濰坊·期末）已知關于的方程有兩個實根，其中“□”內的數(shù)字待填．(1)請選擇一個實數(shù)填入“□”內，并求出該方程的兩個實根；(2)你認為“□”可以填入的實數(shù)應在什么取值范圍內？寫出推理過程．【答案】(1)當“□”內的數(shù)字為時，該方程的兩個實根都是（答案不唯一）(2)，且．過程見詳解【分析】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，因式分解法解方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）理解題意，則當“□”內的數(shù)字為時，再運用因式分解法進行解方程，即可作答．（2）根據(jù)關于的方程有兩個實根，得，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，當“□”內的數(shù)字為時，則，解得；（2）解：且，過程如下：設的值為a，則方程為，∵該方程有兩個實根，∴，且．解得，且．3．（24-25九年級上·廣東深圳·期末）（1）解方程：；（2）小明在解關于x的方程時，過程如下：第1步：移項，得，第2步：變形，得，第3步：設，即，代入上式得，所以，即，第4步：兩邊開平方，得，第5步：代入，得，即．你認為小明的做法從第______步開始出現(xiàn)錯誤，原因是______．【答案】（1），；（2）4，可能小于0，而負數(shù)沒有平方根．【分析】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法（1）利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可；（2）由于可能小于0，所以不能兩邊開方．【詳解】解：（1），，或，所以，；（2）小明的做法從第4步開始出現(xiàn)錯誤，原因是可能小于0，而負數(shù)沒有平方根．故答案為：4，可能小于0，而負數(shù)沒有平方根．4．（24-25九年級上·山西晉城·階段練習）項目化學習素材：全面推進美麗中國建設，當前在各地積極開展．我市在城市園林綠化建設方面，從“園林城市”、“生態(tài)園林城市”到“公園城市”，城市人居生態(tài)環(huán)境已有很大提升．其中，某一新建公園想在一塊長為，寬為的矩形地面上，修建等寬的道路，剩余部分種上草坪．現(xiàn)有兩種小道設計方案，如下圖：其中：按圖1的方案設計小道，測得草坪的面積是；如圖2所示，修建兩橫兩豎等寬的道路（橫豎道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪后，草坪的面積是地面面積的二分之一．請根據(jù)以上信息解決下列問題：任務1：求圖1中道路的寬度；任務2：經(jīng)過一致協(xié)商，最終選擇如圖2所示的第二種小道設計方案．從美觀角度考慮，決定在橫豎兩條小道上鋪設花磚，求小道重疊部分花磚的面積．【答案】任務1：；任務2：【分析】本題考查了平移的性質，一元二次方程的應用．熟練掌握平移的性質，一元二次方程的應用是解題的關鍵．任務1：設圖1中道路的寬度為，由平移可確定合成草坪的長和寬，依題意得，，計算求出滿足要求的解即可；任務2：設道路的寬度為，依題意得，，可求，（舍去），即道路寬為，由題意知，小道重疊部分花磚為4個相同的邊長為的正方形，然后求面積即可．【詳解】任務1：解：設圖1中道路的寬度為，依題意得，，解得，，（舍去），∴圖1中道路的寬度為；任務2：解：設道路的寬度為，依題意得，，解得，，（舍去），∴道路寬為，由題意知，小道重疊部分花磚為4個相同的邊長為的正方形，∵，∴小道重疊部分花磚的面積．5．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）如圖，這是玲玲同學在閱讀一本數(shù)學課外讀物時看到的一段內容．已知關于的一元二次方程．其中一次項系數(shù)被墨跡污染了．(1)若這個方程的一個根為，請求出一次項系數(shù)；(2)玲玲發(fā)現(xiàn)不論一次項系數(shù)為何值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根，請說明理由．【答案】(1)一次項系數(shù)為(2)見解析【分析】本題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的解，掌握當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根是解題的關鍵．（1）把代入方程即可求解；（2）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出，由此可證出：不論一次項系數(shù)為何值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【詳解】（1）解：設一次項系數(shù)為b，則方程為，把代入方程得，，解得：，所以一次項系數(shù)為．（2）解：∵方程，∴．∴不論一次項系數(shù)為何值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根．6．（24-25九年級上·貴州六盤水·期末）綜合與實踐(1)【猜想】是否存在面積和周長都相等的長方形？________；（填“存在”或“不存在”）(2)【驗證】設長方形的長和寬分別為，，是否存在面積和周長都等于的長方形，請說明理由；(3)【拓廣】若存在面積和周長都相等的長方形，則這個長方形的面積（或周長）應滿足什么條件？請說明理由．【答案】(1)存在(2)存在，理由見解析(3)大于或等于【分析】本題考查一元二次方程的應用，一元二次方程的根與系數(shù)的關系，一元二次方程的根的判別式，不等式的應用，熟練根據(jù)題意進行列式，并掌握一元二次方程的相關定義和性質是解題的關鍵．（1）先列式，再進行舉例即可；（2）由面積和周長都等于，列出關于，的方程組，變形為一元二次方程，求解即可；（3）設長方形的長和寬分別為，，面積或周長為，由題意得可得，則可知、是關于的一元二次方程的兩個解，則只需滿足，求解即可．【詳解】（1）解：存在，理由如下：設長方形的長和寬分別為，，由面積和周長都相等，得，舉例：當時，，則存在面積和周長都相等的長方形，故答案為：存在；（2）解：設長方形的長和寬分別為，，由面積和周長都等于，，由②得，代入①得，化簡得，解得，，當時，（長小于寬，舍），當時，，則存在長為，寬為的長方形，其面積和周長都等于；（3）解：存在，理由如下：設長方形的長和寬分別為，，由面積和周長都相等，設面積或周長為，由題意得，即，則可知、是關于的一元二次方程的兩個解，則只需滿足，其中，即，解得，即這個長方形的面積（或周長）應大于或等于．7．（24-25九年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，某農(nóng)戶準備利用墻面（墻面足夠長），用長的柵欄圍一個矩形羊圈和一個邊長為的正方形狗屋（圖中陰影部分為羊的活動范圍）．設．(1)的長為___________m；（用含的代數(shù)式表示）(2)若羊的活動范圍的面積為，求的長；(3)羊的活動范圍的面積能否為？若能，求出此時的長；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)的長為或；(3)羊的活動范圍的面積不能為．理由見解析【分析】此題考查了一元二次方程的應用，列代數(shù)式等知識，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．（）根據(jù)得到，整理即可得到答案；（）根據(jù)羊的活動范圍的面積為列出代數(shù)式即可；（）依題意得：，根據(jù)根的判別式，即可得到答案；【詳解】（1）解：依題意得，，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：依題意得：羊的活動范圍的面積為，∴，即，解得，∴的長為或；（3）解：羊的活動范圍的面積不能為．理由如下，依題意得：，即，∵，∴羊的活動范圍的面積不能為．8．（24-25九年級上·山西呂梁·階段練習）綜合與實踐如圖1，在矩形中，，動點分別以的速度從點同時出發(fā)，點沿著運動到點時停止，點沿著運動到點時停止．設運動時間為．

(1)當點在上運動時，________________________．（用含的代數(shù)式表示）(2)在（1）的條件下，當時，求的值．(3)如圖2、圖3，點沿著運動到點的過程中，當?shù)拿娣e為時，求的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，矩形的性質，一元二次方程的應用：（1）根據(jù)路程等于速度乘以時間得到，，則；（2）根據(jù)矩形的性質得到，再根據(jù)直角三角形面積計算公式建立方程求解即可；（3）分點P在和點P在上兩種情況，根據(jù)三角形面積計算公式列出方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，，∴，故答案為：；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，解得或（舍去）；（3）解：當點P在上運動時，，∵的面積