第12講線段的垂直平分線的性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的定義及性質(zhì)】1.定義：過(guò)線段的中點(diǎn)且與線段垂直的直線是這條線段的垂直平分線。如圖，若點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)且PC⊥AB，則直線l是線段AB的垂直平分線。2.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=BC，點(diǎn)P在l上.求證PA=PB.證明：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合時(shí)，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.【知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的判定】方法①：根據(jù)定義證明一條直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)且與線段垂直。方法②：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)一定在這條線段的垂直平分線上。證明一個(gè)點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等?！局R(shí)點(diǎn)3作已知線段的垂直平分線】已知：線段AB，求作：線段AB的垂直平分線．作法：①以線段AB兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，大于線段長(zhǎng)度的一半為半徑畫(huà)圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于C、D，如圖。②連接CD，過(guò)CD的直線即為線段的垂直平分線。如圖所示：【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例1】如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，AB=4cm，AC=5cm，BC=6cm，則△ABDA．9cm B．10cm C．11cm【答案】B【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)DE是AC的垂直平分線得DC=DA，繼而得到AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC，可得答案．解題的關(guān)鍵是掌握：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DC=DA，∵AB=4cm，AC=5cm，∴AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC=4+6=10cm∴△ABD周長(zhǎng)為10cm故選：B．【變式1-1】如圖，DE垂直平分AC，△ABD的周長(zhǎng)是8.5cm，AC=3cm，則△ABC的周長(zhǎng)是（A．8.5cm B．9.5cm C．10.5cm【答案】D【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理，可得AD=CD，從而得到BC=BD+AD，再由△ABD的周長(zhǎng)為8.5cm，可得到AB+BC=8.5【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，∴BC=BD+CD=BD+AD，∵△ABD的周長(zhǎng)為15cm∴AB+BD+AD=8.5cm∴AB+BC=8.5∵AC=3cm∴AB+BC+AC=8.5+3=11.5cm故選：D．【變式1-2】如圖，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，則△AEG的周長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE，AG=CG，再由三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，∴AE=BE，AG=CG，∴△AEG的周長(zhǎng)為AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=7，故選：C．【變式1-3】如圖，ΔABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD=DE．若△ABC周長(zhǎng)為13cm，AC=6cm，DC=【答案】3.5【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定得AB=AE=CE，再根據(jù)△ABC的周長(zhǎng)為13cm，AC=6cm，求出【詳解】解：∵EF是AC的垂直平分線，∴AE=CE．∵AD⊥BC,BD=DE，∴AD是BE的垂直平分線，∴AB=AE，∴AB=AE=CE．∵△ABC的周長(zhǎng)為13cm，AC=6∴AB+BC=13?6=7(cm∴AB+CE+BD+DE=7cm則2CE+2DE=7，∴CE+DE=3.5cm即CD=3.5cm故答案為：3.5．【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】【例2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD．若∠B=13°，則∠DAC的大小為（A．26° B．64° C．74° D．77°【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由作圖可知：MN平分AB，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠B=∠DAB=13°，最后由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：由作圖可知：MN平分AB，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=13°，∴∠DAC=180°?∠C?∠A?∠DAB=64°，故選：B【變式2-1】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50°．通過(guò)觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以求得∠DAEA．20° B．25° C．30°【答案】B【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．由題可得，直線DF是線段AB的垂直平分線，AE為∠DAC的平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：由題可得∶直線DF是線段AB的垂直平分線，AE為∠DAC的平分線，∴AD=BD,∴∠B=∠BAD=40°，∵∠B=40°，∠C=50°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=90°，∴∠DAC=∠BAC?∠BAD=50°∴∠DAE=1故答案為：B．【變式2-2】如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF、若∠A=60°，∠ACF=48°，則∠ABC的度數(shù)為．【答案】48°/48度【分析】由角平分線的定義可得∠ABD=∠BCD，由垂直平分線的性質(zhì)可得BF=CF，從而得到∠FBC=∠FCB，進(jìn)而得到∠ABD=∠FBC=∠FCB，由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠FBC=∠FCB，∴∠ABD=∠FBC=∠FCB，∵∠A+∠ACF+∠ABD+∠CBD+∠BCF=180°，∠A=60°，∠ACF=48°，∴∠ABD=∠CBD=∠BCF=24°，∴∠ABC=2∠ABD=48°，故答案為：48°．【變式2-3】如圖，在△ABC中，∠A=70°，OD、OE分別是AB、AC的垂直平分線，則∠OCB的度數(shù)是．【答案】20°/20度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．連接OA、OB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：OA=OB，OA=OC，推出OB=OC，∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，得到∠OBC=∠OCB，由∠A=70°，可得∠OBA+∠OCA=70°，∠ABC+∠ACB=180°?∠A=140°，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OA、OB，∵OD、OE分別是AB、AC的垂直平分線，∴OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠A=70°，即∠OAB+∠OAC=70°，∴∠OBA+∠OCA=70°，∠ABC+∠ACB=180°?∠A=140°，∴∠OCB=1故答案為：20°．【題型3作已知線段的垂直平分線】【例3】如圖，兩條筆直的小路AC與BD相交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C處分別為楓葉林景區(qū)和花卉景區(qū)，現(xiàn)打算在∠ACD內(nèi)部修建一處觀景臺(tái)P，使得觀景臺(tái)P到AC的距離與觀景臺(tái)P到CD的距離相等．且AP=CP，請(qǐng)你找出觀景臺(tái)P的位置．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析．【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，作角平分線和線段的垂直平分線，涉及角平分線的性質(zhì)和線段的垂直平分線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．作線段AC的垂直平分線，∠ACD的平分線，交點(diǎn)即為所求．【詳解】解：如圖，作線段AC的垂直平分線，作∠ACD的平分線，與AC的垂直平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．∵觀景臺(tái)P到AC的距離與觀景臺(tái)P到CD的距離相等，∴點(diǎn)P在∠ACD的角平分線上，∵AP=CP，∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，∴∠ACD的角平分線于線段AC的垂直平分線上的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．【變式3-1】尺規(guī)作圖：求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，N的距離相等，同時(shí)到∠AOB的兩邊OA,OB的距離也相等．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的判定定理，垂直平分線的判定應(yīng)用，作線段的垂直平分線，作角平分線．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．由點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，可知點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，由點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等，可知點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，即點(diǎn)P為線段MN的垂直平分線與∠AOB的平分線的交點(diǎn)，如圖作線段的垂直平分線與角平分線即可．【詳解】解：如圖：點(diǎn)P即為所求．【變式3-2】如圖，直線DE與∠AOB的兩邊OA，OB相交于(1)將線段DE平移，使D點(diǎn)與O點(diǎn)重合；(2)過(guò)D，E分別作OA，(3)在OB邊上求一點(diǎn)F，使MF最短．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析(3)作圖見(jiàn)解析【分析】（1）如圖，作∠HOP=∠ODE，并在射線OP上截取OG=DE，則OG即為所求；（2）根據(jù)垂線的作法分別過(guò)點(diǎn)D、E作OA，DE的垂線，兩垂線相交于（3）過(guò)點(diǎn)M作OB的垂線，垂足為點(diǎn)F，則垂線段MF即為所求；本題考查了平移作圖，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線，垂線段最短，掌握基本作圖方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，線段OG即為所求；（2）解：如圖所示，直線DM、EM即為所求；（3）解：如圖所示，線段MF即為所求．【變式3-3】請(qǐng)用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)，按要求作圖（寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，保留作圖痕跡）．(1)已知△ABC，∠BAC是鈍角，AC<AB<BC，①在圖1中求作點(diǎn)P，使得：點(diǎn)P在邊BC上，且PA+PC=BC；②在圖2中求作△AMN，使得：點(diǎn)M、N在邊BC上，且△AMN的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)；(2)如圖3，已知線段BC，求作Rt△DEF，使得：直角邊DF在線段BC上，且Rt△DEF的周長(zhǎng)等于【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖：作垂線，作一線段等于已知線段，作線段的垂直平分線，掌握這些基本作圖是解題的關(guān)鍵．（1）①作線段AB的垂直平分線，則PA+PC=PB+PC=BC；②分別作邊AB,AC的垂直平分線與BC交點(diǎn)為M,N，則C△AMN（2）在BC上取點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，在垂線上取點(diǎn)E使DE=DB，連接EC，作EC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，則DE+EF+DF=DB+DF+CF=BC，則Rt△DEF【詳解】（1）解：①解：如圖，點(diǎn)P即為所求：②如圖，△AMN即為所求：（2）解：如圖，Rt△DEF【題型4線段垂直平分線的判定的運(yùn)用】【例4】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線l1交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線l2交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)(1)求BC的長(zhǎng)；(2)試判斷點(diǎn)O是否在邊BC的垂直平分線上，并說(shuō)明理由．【答案】(1)BC=10(2)點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上，理由見(jiàn)解析【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DA，同理EA=EC，于是得到結(jié)論；（2）連接AO，BO，CO，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵l1垂直平分∴DB=DA，同理EA=EC，∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10；（2）點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上，理由：連接AO，BO，CO，∵l1與l2是AB∴AO=BO，CO=AO，∴OB=OC，∴點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上．【變式4-1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段BC上，且∠GDF=∠ADF，連接EG．求證：(1)AD=BF；(2)EG垂直平分DF．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)可得出∠ADE=∠BFE，再根據(jù)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，即得出AE=BE，由對(duì)頂角相等得出∠AED=∠BEF，即證明△AED≌△BEFAAS，得出AD=BF（2）由△AED≌△BEF，得出ED=EF．根據(jù)題意又易證GF=GD，結(jié)合EG=EG，可證△GFE≌△GDESSS，即得出∠GEF=∠GED=90°，即EG⊥DF【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，即AD∥CF，∴∠ADE=∠BFE．∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE．又∵∠AED=∠BEF，∴△AED≌△BEFAAS∴AD=BF；（2）證明：∵△AED≌△BEF，∴ED=EF．∵∠ADE=∠BFE，∴∠GFD=∠GDF，∴GF=GD．又∵EG=EG，∴△GFE≌△GDESSS∴∠GEF=∠GED=90°，即EG⊥DF．∴EG垂直平分DF．【變式4-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，AC=AD,DF⊥AB，AE=AF，且EF⊥BC(1)求證：CE=DF；(2)連接CF，如果∠ACF=∠ABF．求證：點(diǎn)F在BC的垂直平分線上．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用HL證明Rt△ACE≌（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BFD=∠ECF，利用ASA證明△FCE≌△BFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出FC=FB，結(jié)合EF⊥BC即可得證．【詳解】（1）證明：∵DF⊥AB,∠ACB=90°，∴△ADF、△ACE是直角三角形，在Rt△ACE和RtAE=AFAC=AD∴Rt△ACE≌∴CE=DF；（2）∵EF⊥BC，∴∠CEF=90°,∠BDF=90°，∴∠BFD+∠ABF=90°，又∵∠ACB=∠ACF+∠ECF=90°,∠ACF=∠ABF，∴∠BFD=∠ECF，在△FCE和△BFD中，∠ECF=∠BFDCE=DF∴△FCE≌△BFDASA∴FC=FB，又∵EF⊥BC，∴點(diǎn)F在BC的垂直平分線上．【變式4-3】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD=DF．(1)求證：CF=EB．(2)連接CE，求證：AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)CF=2【分析】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是在圖形中找到正確的全等三角形以及熟悉以上性質(zhì)與判定．（1）利用角平分線的性質(zhì)可得DC=DE，再利用“HL”證明Rt△DCF≌Rt△DEB（2）利用“HL”證明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，所以點(diǎn)A在CE的垂直平分線上，根據(jù)DC=DE，可得點(diǎn)D（3）設(shè)CF=BE=x，則AE=AB?BE=10?x=AC=AF+FC=6+x，即可建立方程求解．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB=90°，又AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和RtDF=DBDC=DE∴Rt△DCF≌∴CF=EB．（2）證明：連接CE，如圖，在Rt△ACD和RtAD=ADDC=DE∴Rt△ACD≌∴AC=AE∴點(diǎn)A在CE的垂直平分線上，∵DC=DE，∴點(diǎn)D在CE的垂直平分線上，∴AD垂直平分CE；（3）解：設(shè)CF=BE=x，∵AB=10，AF=6，∴AE=AB?BE=10?x，AC=AF+FC=6+x，∵AE=AC，∴10?x=6+x，解得：x=2，∴CF=2．【題型5線段垂直平分線的性質(zhì)與判定綜合】【例5】已知：如圖，AB=AC，DB=DC，點(diǎn)E在AD上，求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等和到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的判定定理可知AD是線段BC的垂直平分線，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可知EB=EC．【詳解】解：∵AB=AC∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，∵DB=DC，∴點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，∴AD是線段BC的垂直平分線，∵點(diǎn)E在AD上，∴EB=EC．【變式5-1】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BD=DC．線段AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接BE．試問(wèn)：線段AE與BE的長(zhǎng)相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】相等，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，連接CE，中垂線的性質(zhì)，推出AE=CE,BE=CE，即可得出結(jié)論．【詳解】解：相等，理由如下：連接CE，∵AD⊥BC,BD=CD，∴AD垂直平分CB，∴,BE=CE，∵線段AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，∴AE=CE，∴AE=BE．【變式5-2】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)D為線段CE的中點(diǎn)，∠CAD=20°，∠ACB=70°．求證：BE=AC．【答案】見(jiàn)解析【分析】首先證明AD是線段EC的垂直平分線，即可得出AE=AC，根據(jù)AB的垂直平分線EF，即可得出AE=BE,即可證明．【詳解】證明：連接AE，∵∠ACB=70°，∠DAC=20°，∴∠ADC=180°?∠DAC?∠ACB=180°?20°?70°=90°，∴AD⊥EC．∵點(diǎn)D為線段CE的中點(diǎn)，∴DE=DC，∴AD垂直平分線段CE，∴AE=AC，∵EF垂直平分AB，∴AE=BE，∴BE=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5-3】如圖，在△ABC中，直線l垂直平分邊BC，分別交AC，BC于點(diǎn)D，E．(1)若AB=9，△ABD的周長(zhǎng)為19，求AC的長(zhǎng)度；(2)若∠ADB=90°，求∠ACB的度數(shù)；(3)已知點(diǎn)P在線段DE上，且點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上，連接PC，試判斷點(diǎn)P是否在邊AB的垂直平分線上，若在，請(qǐng)證明；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)AC=10(2)∠ACB=45°(3)點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得BD=CD，再根據(jù)△ABD的周長(zhǎng)為19、AB=9得BD+AD=10，所以CD+AD=10，即AC=10；（2）由∠ADB=90°得∠BDC=90°，由線段垂直平分線的性質(zhì)得BD=CD，所以∠ACB=∠DBC=45°；（3）由線段垂直平分線的性質(zhì)得PB=PC，PA=PC，所以PA=PB，即可得解．【詳解】（1）解：∵直線l垂直平分邊BC，∴BD=CD，∵△ABD的周長(zhǎng)為19，∴AB+BD+AD=19，∵AB=9，∴BD+AD=10，∴CD+AD=10，∴AC=10；（2）解：∵∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∵直線l垂直平分邊BC，∴BD=CD，∴∠ACB=∠DBC=45°；（3）解：點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上，理由如下：連接PA、PB，∵直線l垂直平分邊BC，點(diǎn)P在直線l上，∴PB=PC，∵點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上，∴PA=PC，∴PA=PB，∴點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上．【題型6線段垂直平分線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)綜合】【例6】如圖，點(diǎn)A，B分別在∠MON的邊OM，ON上，∠MON的平分線OC與AB的垂直平分線CD交于點(diǎn)C，CE⊥OM于點(diǎn)E，CF⊥ON于點(diǎn)F．(1)求證：AE=BF；(2)若OB=8，OE=6，求OA的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)OA=4【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．（1）連接AC，BC，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC=BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=CF，∠CEA=∠CFB=90°，證明Rt△CEA≌（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=CF，∠CEO=∠CFO=90°，證明Rt△CEO≌Rt△CFO，得到OE=OF=6，推出BF=2即可求解．【詳解】（1）證明：連接AC，BC，∵CD垂直平分AB，∴AC=BC，∵CE⊥OM，CF⊥ON，OC平分∠MON，∴CE=CF，∠CEA=∠CFB=90°，∴Rt△CEA≌∴AE=BF；（2）∵CE⊥OM，CF⊥ON，OC平分∠MON，∴CE=CF，∠CEO=∠CFO=90°，∵OC=OC，∴Rt△CEO≌∴OE=OF=6，∴BF=OB?OF=8?6=2，由（1）知，AE=BF=2，∴OA=OE?AE=6?2=4．【變式6-1】在△ABC中，DE垂直平分AC，連接CE，CE平分∠ACB．(1)若∠CEB=46°，求∠B的度數(shù)．(2)若BC=4，△ABC的周長(zhǎng)比△EBC的周長(zhǎng)多8，△EBC的面積為6，則三角形AEC的面積為多少？【答案】(1)111°(2)12【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟知相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠A=23°，再得到∠ACB=46°，利用三角形內(nèi)角和即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)題意求得AC,EF的長(zhǎng)即可解答．【詳解】（1）解：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠A=∠ACE，∵∠BEC=46°，∴∠A=∠ACE=46°×∵CE為角平分線∴∠ACB=2∠ACE=46°∴∠B=180°?∠A?∠ACB=180°?46°?23°=111°；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F∵EF⊥BC，DE⊥AC，CE為角分平線，∴EF=DE，∴S△EBC=∴EF=DE=3，∵C△ABC=AB+AC+BC，C△EBC=EB+EC+BC∴AC=8∴S△AEC=∴△AEC的面積為12．【變式6-2】如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CD于F，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)E．(1)求證：AC平分∠EAF；(2)求證：∠FAD=∠E；(3)若∠EAD=90°,AE=5，△AEC的面積為154，求CF【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)3【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BA=BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠BCA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAF=∠BCA，等量代換證明結(jié)論；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠DCA，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)證明即可；（3）首先推導(dǎo)出CF⊥AF，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AE，垂足為M，依據(jù)△AEC的面積為154，求得CM=32，結(jié)合AC平分∠EAF，CM⊥AE,CF⊥AF【詳解】（1）證明：∵在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CD于F，∴∠CAF=∠BCA，∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF；（2）證明：∵在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一個(gè)外角，∴∠DCA=∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF，∵∠CAF=∠EAC，∴∠FAD=∠E；（3）解：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AE，垂足為M，如圖，∵∠EAD=90°，∴∠E+∠ADE=90°，又∵FAD=∠E，∴∠FAD+∠ADE=90°，∴∠AFD=90°，∴CF⊥AF，∵△AEC的面積為154∴12又∵AE=5，∴CM=3∵AC平分∠EAF,CM⊥AE,CF⊥AF，∴CF=CM=3【變式6-3】如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB上點(diǎn)，連接CD，∠ACD的平分線交AB于點(diǎn)E，并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得EF=AF，且∠EAF=∠ECB．(1)求證：CD⊥AB．(2)如圖2，若EG⊥AC，點(diǎn)H為CD上一點(diǎn)，連接AH，K為AH中點(diǎn)，且EK⊥AH，求證：AG=DH．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線定義設(shè)∠ACE=∠DCE=α，則∠ECD=α+∠1，根據(jù)EF=AF得∠EAF=∠3=α+∠2，再根據(jù)∠EAF=∠ECB得∠1=∠2，然后根據(jù)∠2+∠B=90°得∠1+∠B=90°，據(jù)此即可得出結(jié)論；（2）連接HE，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得EG=ED，再證明EK是線段AH的垂直平分線，則AE=HE，然后可依據(jù)HL判定Rt△AEG和Rt【詳解】（1）證明：如圖1，∵CE平分∠ACD，∴設(shè)∠ACE=∠DCE=α，∴∠ECB=∠DCE+∠1=α+∠1，∵EF=AF，∴∠EAF=∠3又∵∠3=∠ACE+∠2=α+∠2∴∠EAF=α+∠2，∴∠EAF=∠ECB，∴α+∠1=α+∠2∴∠1=∠2，在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°∴∠1+∠B=90°，在△BCD中，∠CDB=180°?∠1+∠B∴CD⊥AB；（2）證明：連接HE，如圖：∵CE平分∠ACD，EG⊥AC,CD⊥AB，∴EG=ED，∵點(diǎn)K為AH中點(diǎn)，且EF⊥AK，∴EK為AH的垂直平分線，∴AE=HE，在Rt△AEG和RtAE=HEEG=ED∴Rt△AEG≌∴AG=DH．1．如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，連接BE．若BE平分∠ABC，且∠A=72°，則∠CED的度數(shù)為（

）A．72° B．64° C．54° D．36°【答案】C【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問(wèn)題，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠C的度數(shù)，中垂線的性質(zhì)，角平分線的定義，推出∠ABC=2∠C，進(jìn)而求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠CED的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠A=72°，∴∠ABC+∠C=180°?72°=108°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵BC的垂直平分線分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，∴∠EDC=90°,BE=CE，∴∠CBE=∠C，∴∠ABE=∠CBE=∠C，∴∠ABC=2∠C，∴∠ABC+∠C=3∠C=108°，∴∠C=36°，∴∠CED=90°?∠C=54°；故選C．2．如圖，△ABC中，∠ABC的平分線BD和AC邊的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DM⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N．若AM=2,BC=7，則AB的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．連接AD、CD，由BD是∠ABC的平分線，可得DM=DN，BM=BN，由線段垂直平分線的性質(zhì)的得到AD=CD，進(jìn)而由“HL”可證Rt△DMA≌Rt△DNC，可得AM=CN=2【詳解】解：連接AD、CD，如圖所示，，∵BD是∠ABC的平分線，∴DM=DN，BM=BN，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，在Rt△DMA和Rt△DNC∴Rt∴AM=CN=2，∴BM=BN=BC?CN=BC?AM=7?2=5，∴AB=BM?AM=BN?AM=5?2=3，故選：C．3．在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)M，P，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)N，A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14【答案】D【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：AP=BP，AQ=QC，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，如圖所示：由垂直平分線性質(zhì)可知AP=BP，∴C△AQP當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，如圖所示：由垂直平分線性質(zhì)可知AP=BP，∴C=BP+CP+PQ+PQ=BC+2PQ=10+4=14；綜上所述，△AQP的周長(zhǎng)為10或14，故選：D．4．如圖，線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，則∠EBD的度數(shù)為（

）A．168° B．158° C．128° D．118°【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】解：如下圖所示，連接CE，∵CM是AB的垂直平分線，CN是DE的垂直平分線，∴CA=CB，CE=CD，∴∠ABC=∠CAB，∠CED=∠CDE，∵∠ABC=∠EDC=72°，∴∠ABC=∠EDC=∠CAB=∠DEC=72°，在△ABC中，∠ACB=180°?∠ABC?∠BAC=180°?72°?72°=36°，在△EDC中，∠ECD=180°?∠CED?∠CDE=180°?72°?72°=36°，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACB?∠ECB=∠ECD?∠ECB，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，CA=CB∠ACE=∠BCD∴△ACE≌∴∠AEC=∠BDC，設(shè)∠AEC=∠BDC=α，則∠BDE=∠CDE?∠BDC=72°?α，∠CEB=∠AEB?∠AEC=92°?α，∴∠BED=∠DEC?∠CEB=72°?92°?α在△BDE中，∠EBD=180°?∠BED?∠EDB=180°?72°?α故選：C．5．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若AC=4，AB=10，則△ACD的周長(zhǎng)為【答案】14【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，推出△ACD的周長(zhǎng)等于AB+AC，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由作圖可知：MN垂直平分BC，∴BD=CD，∴△ACD的周長(zhǎng)為:AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=4+10=14；故答案為：14．6．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線DE分別與邊AB，AC交于D，E兩點(diǎn)，邊BC的垂直平分線FG分別與邊BC，AC交于F，G兩點(diǎn)，連接BE，BG．若△BEG的周長(zhǎng)為32，AC=22，則GE的長(zhǎng)為．【答案】5【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，GB=GC，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB邊的垂直平分線，F(xiàn)G是BC邊的垂直平分線，∴EA=EB，GB=GC，∵△BEG的周長(zhǎng)為32，∴GB+EB+GE=32，∴EA+GC+GE=32，即AG+GE+GC+GE=AC+2GE=32，∵AC=22，∴GE=32?22故答案為：5．7．如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF．則下列結(jié)論中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中線；③ED=FD；④AB=AE+BF．其中正確的有【答案】①②③④【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得∠ADB=90°，然后可證△ADC≌△ADBASA【詳解】解：∵AD平分∠BAC，BC恰好平分∠ABF，∴∠CAD=∠BAD=1∵BF∥∴∠CAB+∠ABF=180°，∴∠DAB+∠ABD=90°，即∠ADB=90°，∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高，故①正確；∵∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ADC≌∴AC=AB，DB=DC，即AD是△ABC的中線，故②正確；∵BF∥∴∠CED=∠F，∵∠CDE=∠BDF，∴△DEC≌∴EC=BF，ED=FD，故③正確；∵AC=AB，EC=BF，AC=AE+CE，∴AB=AE+BF，故④正確；故答案為：①②③④．8．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分線ME交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線NF交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，求∠MAN的度數(shù)．【答案】80°【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于常考題型，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出∠B+∠C=180°?130°=50°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，于是可得∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=50°，進(jìn)而求解．【詳解】解：∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°?130°=50°．∵M(jìn)E是線段AB的垂直平分線，NF是線段AC的垂直平分線，∴MA=MB，NA=NC，∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，∴∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=50°，∴∠MAN=130°?50°=80°．9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C,BD平分∠ABC,DE⊥AB（E在AB之間），DF⊥BC，已知BD=5,DE=3,CF=4，求【答案】12【分析】本題考查了角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等的性質(zhì)，考查了角平分線平分角的性質(zhì)，考查了三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，本題中求證DE=DF是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等即可求得DE=DF，即可解題．【詳解】解：∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∵BD=5,DE=3,CF=4，∴BD=CD=5，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF=3，∴△DFC的周長(zhǎng)=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．10．如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD=DE，連接AE．(1)若∠BAE=40°，求∠C的度數(shù)；(2)若△ABC的周長(zhǎng)為14cm,AC=6cm【答案】(1)35°(2)4cm【分析】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，三角形的外角：（1）先證明AD是BE的垂直平分線，等邊對(duì)等角求出∠AEB的度數(shù)，再結(jié)合三角形的外交以及中垂線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角求出∠C的度數(shù)即可；（2）先求出AB+BC的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的轉(zhuǎn)化，得到2DC=8cm，進(jìn)而求出DC【詳解】（1）解：∵AD⊥BC,BD=DE，∴AD是BE的垂直平分線，∴AB=AE，∵∠BAE=40°，∴∠B=∠AEB=1∴∠C+∠EAC=70°，∵EF垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠C=∠EAC=35°，∴∠C的度數(shù)為35°；（2）∵△ABC的周長(zhǎng)為14cm∴AB+BC=14?6=8cm∴AB+BD+DC=8cm∴AE+DE+DC=8cm∴EC+DE+DC=8cm∴2DC=8cm∴DC=4cm∴DC的長(zhǎng)為4cm11．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AN垂直平分BC，交BC于點(diǎn)N，點(diǎn)M是CD中點(diǎn)．(1)證明：AM是線段CD的垂直平分線；(2)若∠MAN=70°，求∠BAD的度數(shù)．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)140°【分析】本題主要考查垂直平分線的判定和性質(zhì)，三線合一等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合題意得到AC=AD，即△ACD是等腰三角形，由“三線合一”得到AM⊥CD，由此即可求解；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠BAN=∠CAN,∠DAM=∠CAM，則∠CAN+∠CAM=∠MAN=70°，所以有∠BAN+∠DAM=∠CAN+∠CAM=70°，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵AN垂直平分BC，∴∠ANB=∠ANC=90°,BN=CN,AB=AC，∴AC=AD，即△ACD是等腰三角形，∵點(diǎn)M是CD中點(diǎn)，∴AM⊥CD，∴AM是線段CD的垂直平分線；（2）解：∵AN垂直平分BC，AM是線段CD的垂直平分線，AB=AC=AD∴∠BAN=∠CAN,∠DAM=∠CAM，∵∠CAN+∠CAM=∠MAN=70°，∴∠BAN+∠DAM=∠CAN+∠CAM=70°，∴∠BAD=140°．12．如圖，AB=CD，連接AC，BC，BD，線段AC的垂直平分線與線段BD的垂直平分線交于點(diǎn)E，連接【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明△ABE≌△CDE，推出∠ABE=∠CDE，可得結(jié)論．【詳解】解：連接AE，因?yàn)锳C，BD的垂直平分線相交于點(diǎn)所以AE=CE，又因?yàn)锳B=CD，所以△ABE≌△CDESSS所以∠ABE=∠CDE．13．如圖，在△ABC中，∠C=25°．(1)在BC上求作一點(diǎn)D，連接AD，使得線段AD最短；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，李明作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好在BA的延長(zhǎng)線上，求∠B的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)40°【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）根據(jù)垂線的作圖方法，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求．（2）連接CE，由題意得，點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，可證明△ADC≌△AEC，得∠AEC=∠ADC=90°，∠ACE=∠ACD=25°，則∠BCE=∠ACE+∠ACD=50°，再根據(jù)【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求．（2）解：連接CE，由（1）得AD⊥BC，∴∠ADC=90°由