黑龍江省龍東地區(qū)2025年中考數(shù)學(xué)真題一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列運算正確的是（）A．， B．C． D．2．我國古代有很多關(guān)于數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．楊輝三角B．割圓術(shù)示意圖C．趙爽弦圖D．洛書3．2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會的吉祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮”。某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀(jì)念品連續(xù)六天的銷售量（單位：套）分別為：136，140，129，180，136，154，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，1384．一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少是（）A．7 B．8 C．6 D．55．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具。某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設(shè)該汽車一月至三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為（）A．B．C．D．6．已知關(guān)于x的分式方程解為負(fù)數(shù)，則k的值為（）A． B．C．且 D．且7．為促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，某校計劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動，其中足球80元/個，籃球120元/個，共有多少種購買方案（）A．6 B．7 C．4 D．58．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、點B都在雙曲線上，且點A在點B的右側(cè)，點A的橫坐標(biāo)為，，則k的值為（）A． B． C． D．9．如圖，在中，，點D、E分別在邊AB和BC上，且，，連接DE，點M、N分別是AC、DE的中點，連接MN，則MN的長度為（）A． B． C．2 D．10．如圖，在正方形ABCD中，點F在BC邊上（不與點B、C重合），點E在CB的延長線上，且BE=BF，連接AC、AE、AF，過點E作于點G，分別交AB、AC、DC于點M、H、N．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤圖中共有5個等腰三角形．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11．電影《哪吒之魔童鬧?！纷陨嫌骋詠恚迷u如潮，截至2025年4月22日，總票房已超157億元，再次刷新中國電影票房紀(jì)錄。將數(shù)據(jù)157億用科學(xué)記數(shù)法表示為12．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是．13．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件，使平行四邊形ABCD為菱形。14．如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個，能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為．15．關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是。16．如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，AC是直徑，，17．若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為。18．如圖，已知中，，，，點M是內(nèi)部一點，連接AM、BM、CM，若，則的最小值為。19．如圖，在矩形ABCD中，，，點E是邊CD的中點，點F是對角線AC上一動點，作點C關(guān)于直線EF的對稱點P，若，則CF的長為。20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B．四邊形，，，，都是正方形，頂點。，，，，都在x軸上，頂點，，，，都在直線上，連接，，，，分別交，，，，于點，，，，．設(shè)，，，，…的面積分別為，，，，，則．三、解答題（滿分60分）21．先化簡，再求值：，其中．22．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別為．（1）將向上平移5個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到，畫出兩次平移后的，并寫出點的坐標(biāo)；（2）畫出繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點旋轉(zhuǎn)到點的過程中，所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）。23．如圖，拋物線交x軸于點A、點B，交y軸于點C，且點A在點B的左側(cè)，頂點坐標(biāo)為．（1）求b與c的值。（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使的面積與的面積相等．若存在，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。24．2025年6月5日是中國的第11個環(huán)境日，育華中學(xué)八年級學(xué)生積極參加公益活動，為了解活動時間（單位：h），張老師隨機(jī)抽取了該校八年級m名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖。請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）▲．扇形統(tǒng)計圖中▲．并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求參加公益活動時間為7h所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；（3）若育華中學(xué)八年級共有學(xué)生1200人，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計育華中學(xué)八年級參加公益活動的時間是10h的學(xué)生有多少人？25．一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經(jīng)B地接人，停留一段時間后原速駛往C地；一輛貨車從C地出發(fā)，送貨到達(dá)B地后立即原路原速返回C地（卸貨時間忽略不計）。兩車同時出發(fā)，轎車比貨車晚到達(dá)終點，兩車均按各自速度勻速行駛。如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：km）與轎車的行駛時間x（單位：h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）圖中a的值是，b的值是；（2）在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出轎車出發(fā)多長時間與貨車相距40km。26．已知：如圖，中，，設(shè)，點D是直線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α至AE，連接DE、BE，過點E作，交直線BC于點F．探究如下：（1）若時，如圖①，點D在CB延長線上時，易證：；如圖②，點D在BC延長線上時，試探究線段BF、DF、BC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論，并說明理由。（2）若，點D在CB延長線上時，如圖③，猜想線段BF、DF、BC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不需要證明。27．2024年8月6日，第十二屆世界運動會口號“運動無限，氣象萬千”在京發(fā)布，吉祥物“蜀寶”和“錦仔”亮相。第一中學(xué)為鼓勵學(xué)生積極參加體育活動，準(zhǔn)備購買“蜀寶”和“錦仔”獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生。已知購買3個“蜀寶”和1個“錦仔”共需花費332元，購買2個“蜀寶”和3個“錦仔”共需380元。（1）購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要多少元？（2）若學(xué)校計劃購買這兩種吉祥物共30個，投入資金不少于2160元又不多于2200元，有哪幾種購買方案？（3）設(shè)學(xué)校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，，OA的長是一元二次方程的根，過點C作交OA于點Q，交對角線OB于點P．動點M從點O以每秒1個單位長度的速度沿OA向終點A運動，動點N從點B以每秒個單位長度的速度沿BO向終點O運動，M、N兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒。

（1）求點P坐標(biāo)；（2）連接MN、PM，求的面積S關(guān)于運動時間t的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)時，在對角線OB上是否存在一點E，使得是含角的等腰三角形．若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】1.57×101012．【答案】13．【答案】AC⊥BD14．【答案】15．【答案】-2≤a＜-116．【答案】70°17．【答案】15π18．【答案】19．【答案】3或920．【答案】21．【答案】解：原式當(dāng)時原式22．【答案】（1）解：如圖所示：

△A1B1C1即為所求，

C1(4，1)（2）解：如圖所示：△A2B2C2即為所求，

C2(-1，4)（3）解：∵C1(4，1)，

∴OC1=，

∴點旋轉(zhuǎn)到點的過程中，所經(jīng)過的路徑長=.23．【答案】（1）解：由已知得：整理，得：∴b=-6，c=5；（2）點P的橫坐標(biāo)為：24．【答案】（1）解：200；30；補(bǔ)全圖形如圖所示???????（2）解：參加公益活動時間7h所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)：（3）解：(人)答：估計該校八年級學(xué)生參加公益活動的時間是10h的人數(shù)為240人.(如果其他方法正確，請參考標(biāo)準(zhǔn)答案酌情給分)25．【答案】（1）300；2（2）解：貨車從C地出發(fā)再返回C地所用時間：∴點N的坐標(biāo)是(，0)貨車到達(dá)B地的時間：點M的坐標(biāo)是(，120)設(shè)MN的解析式為y=kx+b(k≠0)將M的坐標(biāo)(，120)，N的坐標(biāo)(，0)代入解析式y(tǒng)=kx+b(k≠0)中，得解得貨車從B地返回C地的過程中y與x的函數(shù)解析式是：（3）轎車經(jīng)過h或h或h轎車和貨車相距40km。26．【答案】（1）解：（1）如圖①

∵，∠BAC=α=60°，

∴是等邊三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

∵∠DAE=α=60°

∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD

∴∠DAC=∠EAB

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AD=AE，

在和中：

∵AC=AB，∠DAC=∠EAB，AD=AE，

∴≌，

∴CD=BE，

∴∠ABE=∠ACD=60°，

∴∠EBF=60°，

∵，

∴∠BEF=-30°，

∴BE=2BF，

∴CD=2BF，

∵CD=DF+BF+BC，

∴；

圖②的結(jié)論是：BF=DF-BC

證明：∵AB=AC∠BAC=α=60°∴△ABC是等邊三角形∵AE=AD∠EAD=α=60°∴△ADE是等邊三角形∴∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CAD(SAS)∴BE=CD∠AEB=∠ADC∴∠EBF=∠EAD=60°∵EF⊥BC∴∠BEF=30°∴BE=2BF又∵BE=CD∴2BF=BD-BC=BF+DF-BC∴BF=DF-BC（2）解：3BF=DF+BC27．【答案】（1）解：設(shè)購買一個“蜀寶”需要x元，購買一個“錦仔”需要y元，由題意得：解得：答：購買一個“蜀寶”需要88元，購買一個“錦仔”68元（2）解：設(shè)購買“蜀寶”a個，則購買“錦仔”(30-a)個.由題意得：1880+688(30-2)≥22000解得：6≤a≤8∵a和(30-a)均為正整數(shù)∴a=6，7，830-a=24，23，22共有3種購買方案：方案一：購買“蜀寶”6個，購買“錦仔”24個；方案二：購買“蜀寶”7個，購買“錦仔”23個；方案三：購買“蜀寶”8個，購買“錦仔”22個.（3）解：由題意可得：W=88a+68(30-a)=20a+2040∵k=20＞0∴W隨a的增大而增大∴當(dāng)a=6時，元答：學(xué)校購買“蜀寶”6個，購買“錦仔”24個，投入資金最少，最少資