[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.掌握向量長(zhǎng)度計(jì)算公式.2.會(huì)用向量方法求兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離.知識(shí)點(diǎn)一兩點(diǎn)間的距離的求法設(shè)a＝(a1，a2，a3)，則|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離(1)定義：因?yàn)橹本€和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以空間點(diǎn)A到直線l的距離問題就是空間中某一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)到直線的距離問題，即過點(diǎn)A在該平面內(nèi)做垂直于l的直線，垂足為A′，則AA′即為點(diǎn)A到直線l的距離.(2)計(jì)算公式：d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·\f(s,|s|)))2)＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(PA,\s\up6(→))|2－|\o(PA,\s\up6(→))·s0|2))).知識(shí)點(diǎn)三點(diǎn)到平面的距離一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的投影的距離叫作這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，如圖所示，設(shè)n是平面α的法向量，AB是平面α的一條斜線，則點(diǎn)B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).若n0是平面α的單位法向量，則d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))·n0|.題型一點(diǎn)到直線的距離例1如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求點(diǎn)A1到下列直線的距離：(1)直線AC；(2)直線BD.解(1)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，顯然AA1⊥AC，所以AA1＝5即為所求點(diǎn)A1到直線AC的距離.(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有B(4,3,0)，A1(4,0,5).eq\o(DB,\s\up6(→))＝(4,3,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(4,0,5)，eq\f(\o(DA1,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),|\o(DB,\s\up6(→))|)＝eq\f(16,5)，設(shè)點(diǎn)A1到直線BD的距離為d.所以d＝eq\r(|\o(DA1,\s\up6(→))|2－\o(\s\up7(),\s\do5(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DA1,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),|\o(DB,\s\up6(→))|))))2))＝eq\r(41－\f(256,25))＝eq\f(\r(769),5).反思與感悟本題(1)利用基本定義直接求解距離，(2)利用向量方法求解，通過訓(xùn)練熟練掌握向量公式法求解.跟蹤訓(xùn)練1已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是()A.eq\f(6\r(5),5)B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(\r(5),5)答案B解析如圖所示，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,0,0).eq\o(BE,\s\up6(→))＝(1,0,2)，∴cosθ＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))，eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→)),|\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2\r(5),5).A到直線BE的距離d＝eq\r(|\o(BA,\s\up6(→))|2－\o(\s\up7(),\s\do5(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→)),|\o(BE,\s\up6(→))|))))))2＝eq\r(4－\f(4,5))＝eq\f(4\r(5),5).題型二點(diǎn)到平面的距離例2如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱AA1＝eq\r(3)，底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求點(diǎn)B1到平面A1BC的距離.解如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得直棱柱各頂點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，eq\r(3))，B1(0,1,eq\r(3))，C1(0,0，eq\r(3)).∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－1,1，－eq\r(3))，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－eq\r(3))，eq\o(B1A1,\s\up6(→))＝(1，－1,0).設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1C,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－\r(3)z＝0，,－x－\r(3)z＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)，,y＝0，,z＝1.))即n＝(－eq\r(3)，0,1)，所以，點(diǎn)B1到平面A1BC的距離d＝eq\f(|n·\o(A1B1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(\r(3),2).反思與感悟本題是一個(gè)基本的點(diǎn)面距離的求解問題，要從幾何角度作出這個(gè)距離有很大的困難，利用向量方法求解較為容易.跟蹤訓(xùn)練2四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F(xiàn)、E分別為AD、PC的中點(diǎn).(1)證明：DE∥平面PFB；(2)求點(diǎn)E到平面PFB的距離.(1)證明以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,2)、F(1，0,0)、B(2,2,0)、E(0,1,1)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(－1，0,2)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1,2,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,1,1)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，又∵DE不在平面PFB內(nèi)，∴DE∥平面PFB.(2)解∵DE∥平面PFB，∴E到平面PFB的距離等于D到平面PFB的距離.設(shè)平面PFB的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(FB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(FP,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－x＋2z＝0，))令x＝2，得y＝－1，z＝1.∴n＝(2，－1,1)，eq\o(FD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，∴D到平面PFB的距離為d＝eq\f(|\o(FD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴點(diǎn)E到平面PFB的距離為eq\f(\r(6),3).題型三線面、面面距離(選學(xué))例3在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.(1)求證：直線CD1∥平面A1BC1；(2)求直線CD1與平面A1BC1間的距離.(1)證明建系如圖，則C(0,4,0)，D1(0,0,2)，B(3,4,0)，A1(3,0,2)，C1(0,4,2)，所以eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0，－4,2)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(0，－4，2)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－3,0,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，0,0).∵eq\o(CD1,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→))，∴CD1∥BA1，又∵CD1?平面A1BC1，BA1平面A1BC1，∴CD1∥平面A1BC1.(2)解設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BC1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4y＋2z＝0，,－3x＋2z＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)z，,x＝\f(2,3)z.))取z＝6，則x＝4，y＝3，∴n＝(4,3,6)，則eq\o(BC,\s\up6(→))·n＝(－3,0,0)·(4,3,6)＝－12，|n|＝eq\r(61).所以點(diǎn)C到平面A1BC1的距離即直線CD1到平面A1BC1的距離，即d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))·n)),|n|)＝eq\f(|－12|,\r(61))＝eq\f(12\r(61),61).反思與感悟六種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離.而且我們?cè)谇蠼鈺r(shí)往往又轉(zhuǎn)化為空間向量的處理方法.跟蹤訓(xùn)練3如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M、N、E、F分別為A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD間的距離.解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(xiàn)(2,4,4)，N(4,2,4)，從而eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，又∵EF∩BF＝F，AM∩MN＝M，∴EF∥MN，AM∥BF，∴平面AMN∥平面EFBD.設(shè)n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，,n·\o(AM,\s\up6(→))＝－2x＋4z＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2z，,y＝－2z.))取z＝1，得n＝(2，－2,1)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))在n上的投影為eq\f(n·\o(AB,\s\up6(→)),|n|)＝eq\f(－8,\r(4＋4＋1))＝－eq\f(8,3).∴兩平行平面間的距離d＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(8,3).1.已知平面α的一個(gè)法向量n＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(－1,3,0)在α內(nèi)，則P(－2,1,4)到α的距離為()A.10B.3C.eq\f(8,3)D.eq\f(10,3)答案D解析eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,2，－4)，又平面α的一個(gè)法向量為n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距離為eq\f(|1，2，－4·－2，－2，1|,\r(4＋4＋1))＝eq\f(|－2－4－4|,3)＝eq\f(10,3).2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知P(－1,0,3)，Q(2,4,3)，則線段PQ的長(zhǎng)度為()A.eq\r(10)B.5C.eq\r(29)D.eq\r(34)答案B解析線段PQ的長(zhǎng)度為|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋42＋02)＝5.3.從點(diǎn)A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長(zhǎng)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝34，則B點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(18,17，－17) B.(－14，－19,17)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(7,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(11,2)，13))答案A解析設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝34，即eq\r(λ264＋λ281＋λ2144)＝34，得λ＝2，∴x＝18，y＝17，z＝－17.4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________.答案(0，－1,0)解析點(diǎn)M在y軸上，設(shè)M(0，y,0)，則：eq\o(MA,\s\up6(→))＝(1，－y,2)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1，－3－y,1)，因?yàn)閨eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|，所以1＋y2＋4＝1＋(－3－y)2＋1，解得y＝－1，故M(0，－1,0).5.如圖，△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3)，求點(diǎn)A到平面MBC的距離.解如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OM，因?yàn)椤鰾CD與△MCD均為正三角形，所以O(shè)B⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)椤鰾CD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以O(shè)B＝OM＝eq\r(3)，則O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，eq\r(3))，B(0，－eq\r(3)，0)，A(0，－eq\r(3)，2eq\r(3))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，eq\r(3)).設(shè)平面MBC的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(BC,\s\up6(→))，,n⊥\o(BM,\s\up6(→))，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BM,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\