[學習目標]1.理解直線的方向向量與平面的法向量，并能運用它們證明平行問題.2.會用向量語言表述線線、線面、面面的平行關系.知識點一直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量能平移到直線上的非零向量，叫做直線的一個方向向量平面的法向量直線l⊥α，取直線l的方向向量n，則向量n叫做平面α的法向量知識點二空間平行關系的向量表示(1)線線平行設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，則l∥m?a∥b?a＝λb?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R).(2)線面平行設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行設平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?u＝λv?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R).題型一利用方向向量和法向量判定線面、面面的位置關系例1根據下列條件，判斷相應的線、面位置關系：(1)直線l1與l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；(2)直線l1與l2的方向向量分別是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；(3)平面α與β的法向量分別是u＝(1，－1,2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))；(4)平面α與β的法向量分別是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；(5)直線l的方向向量，平面α的法向量分別是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3).解(1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－eq\f(1,3)b，∴a∥b，即l1∥l2.(2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共線也不垂直，即l1與l2相交或異面.(3)∵u＝(1，－1,2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β.(4)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)，∴u與v既不共線也不垂直，即α和β相交但不垂直.(5)∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，∴u＝－eq\f(1,4)a，∴u∥a，即l⊥α.反思與感悟(1)兩直線的方向向量共線時，兩直線平行；否則兩直線相交或異面.(2)直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線在平面內或線面平行；否則直線與平面相交但不垂直.(3)兩個平面的法向量共線(垂直)時，兩平面平行(垂直)；否則兩平面相交但不垂直.跟蹤訓練1設平面α的法向量為(1,3，－2)，平面β的法向量為(－2，－6，k)，若α∥β，則k＝________.答案4解析∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＝1，,λk＝－2，))∴λ＝－eq\f(1,2)，k＝4.題型二求平面的法向量則A(0,0,0)，D(eq\f(1,2)，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，1,0)，eq\o(DS,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，0,1).易知向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，0,0)是平面SAB的一個法向量.設n＝(x，y，z)為平面SDC的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DC,\s\up6(→))＝\f(1,2)x＋y＝0，,n·\o(DS,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋z＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,z＝\f(1,2)x.))取x＝2，則y＝－1，z＝1，∴平面SDC的一個法向量為(2，－1,1).反思與感悟求平面法向量的方法與步驟：(1)求平面ABC的法向量時，要選取平面內兩不共線向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)設平面的法向量為n＝(x，y，z)；(3)聯立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關系，設定一個坐標為常數(常數不能為0)便可得到平面的一個法向量.跟蹤訓練2已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一個法向量.解設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，由題意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,0，－1).∵n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n·\o(BC,\s\up6(→))＝x－z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng)，,x＝z.))令x＝1，則y＝z＝1.∴平面ABC的一個法向量為n＝(1,1,1).題型三利用空間向量證明平行關系例3在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點.證明：PA∥平面EDB.方法一連接AC，交BD于點G，連接EG，依題意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，eq\f(a,2)，eq\f(a,2)).因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點G的坐標為(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，0)，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝(eq\f(a,2)，0，－eq\f(a,2)).又eq\o(PA,\s\up6(→))＝(a,0，－a)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(EG,\s\up6(→))，這表明PA∥EG.而EG平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝(a，eq\f(a,2)，－eq\f(a,2))，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)y＋z＝0，,ax＋\f(y,2)－\f(z,2)＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋z＝0，,2x＋y－z＝0.))令y＝－1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,z＝1.))所以n＝(1，－1,1)，又eq\o(PA,\s\up6(→))＝(a,0，－a)，所以n·eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥eq\o(PA,\s\up6(→)).所以PA∥平面EDB.方法三假設存在實數λ，μ使得eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(DE,\s\up6(→))＋μeq\o(EB,\s\up6(→))，即(a,0，－a)＝λ(0，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))＋μ(a，eq\f(a,2)，－eq\f(a,2))，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝μa，,0＝λ·\f(a,2)＋μ·\f(a,2)＝\f(a,2)λ＋μ，,－a＝λ·\f(a,2)－μ·\f(a,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝1.))所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))，所以PA∥平面BDE.反思與感悟通過證明平面內的一個向量與直線的方向向量平行來證明線面平行，需要特別說明直線的方向向量不在平面內；通過證明平面的法向量與直線的方向向量垂直來證明直線與平面平行，求解法向量的賦值與運算一定要準確；本題應用共面向量定理證明線面平行轉化為判定eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(DE,\s\up6(→))＋μeq\o(EB,\s\up6(→))中λ和μ是否存在的問題.跟蹤訓練3如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分別是線段AB，BC的中點.判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD.解∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如圖，建立空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0).不妨令P(0,0,t)，∴eq\o(PF,\s\up6(→))＝(1,1,－t)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝(1,－1,0)，設平面PFD的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DF,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－tz＝0，,x－y＝0，))令z＝1，解得x＝y(tǒng)＝eq\f(t,2)，∴n＝(eq\f(t,2)，eq\f(t,2)，1).設點G的坐標為(0,0，m)，又E(eq\f(1,2)，0,0)，則eq\o(EG,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，0，m).要使EG∥平面PFD，只需eq\o(EG,\s\up6(→))·n＝0，即(－eq\f(1,2))×eq\f(t,2)＋0×eq\f(t,2)＋m×1＝0，即m－eq\f(t,4)＝0，解得m＝eq\f(1,4)t，從而滿足AG＝eq\f(1,4)AP的點G即為所求.利用向量法判斷直線與平面平行例4已知u是平面α的一個法向量，a是直線l的一個方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，則l與α的位置關系是________.錯解因為u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，所以u⊥a，所以l∥α.錯解分析錯誤的根本原因是忽視了直線與平面平行和向量與平面平行的區(qū)別.實際上，本例中由向量u⊥a可得lα或l∥α.正解因為u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.所以u⊥a，所以lα或l∥α.答案lα或l∥α1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量.若l1∥l2，則()A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝eq\f(15,2)C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝eq\f(15,2)答案D解析由l1∥l2得，eq\f(2,3)＝eq\f(4,x)＝eq\f(5,y)，解得x＝6，y＝eq\f(15,2).2.已知線段AB的兩端點坐標為A(9,－3,4)，B(9,2,1)，則線段AB與坐標平面()A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交答案C解析因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.3.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是()A.(2,2,6) B.(－1,1,3)C.(3,1,1) D.(－3,0,1)答案A解析∵A，B在直線l上，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,3)，與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量(2,2,6)可以是直線l的一個方向向量.4.設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b，若a·b＝0，則()A.l∥α B.lαC.l⊥α D.lα或l∥α答案D解析∵a·b＝0，∴l(xiāng)α或l∥α.5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是_____.(填序號)①eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(AA1,\s\up6(→))；③eq\o(B1B,\s\up6(→))；④eq\o(A1C1