變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)本章研究的模型對(duì)象：變質(zhì)量系統(tǒng)：質(zhì)量隨時(shí)間連續(xù)變化的質(zhì)點(diǎn)系。火箭是工程中最典型的變質(zhì)量系統(tǒng)。例：自然界的變質(zhì)量系統(tǒng)雨滴下降過程中由于蒸發(fā)而質(zhì)量變小，由于水汽凝結(jié)使質(zhì)量增加；浮冰在天熱時(shí)由于溶解而質(zhì)量變小，也會(huì)由于下雪而質(zhì)量變大。變質(zhì)量系統(tǒng)

：從零時(shí)刻到t時(shí)刻離開系統(tǒng)的質(zhì)量，

：從零時(shí)刻到t時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的質(zhì)量，

是時(shí)間的非負(fù)、非遞減、連續(xù)可微函數(shù)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量M(t)在t=0時(shí)為。在任意時(shí)刻為上面子彈打入墻內(nèi)是否滿足上述可微的要求？模型假設(shè)我們涉及到變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系、質(zhì)點(diǎn)、剛體三種對(duì)象。設(shè)S是慣性系中運(yùn)動(dòng)的封閉曲面，在運(yùn)動(dòng)(包括變形)中有質(zhì)點(diǎn)并入或離開S圍成的區(qū)域。變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)量定理的推導(dǎo)設(shè)在某固定時(shí)刻,S內(nèi)有：（1）變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系Q

，其動(dòng)量為P。另外，與S區(qū)域內(nèi)有狀態(tài)完全重疊的：

（2）常質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系，其動(dòng)量為。

由于在此時(shí)二者重合：S經(jīng)過時(shí)間

后，質(zhì)系Q和的動(dòng)量分別變?yōu)椋汉惋@然：

是內(nèi)離開S的部分質(zhì)量

的動(dòng)量。

是

內(nèi)進(jìn)入S的部分質(zhì)量

的動(dòng)量。S有：對(duì)常質(zhì)量系用動(dòng)量定理：

是t

時(shí)刻作用在上的外力主向量。F

稱為反推力。如何借助牛頓第三定律理解反推力？F1是分離質(zhì)量引起的反推力；F2是并入質(zhì)量引起的反推力。設(shè)O為慣性空間不動(dòng)點(diǎn)，同上可推出：M

稱為反推力矩。

變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)量矩定理對(duì)質(zhì)心如何？記變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)點(diǎn)是一種模型，不一定是幾何點(diǎn)，火箭也可以作為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)研究)為Q。設(shè)是t時(shí)刻離開Q的部分質(zhì)量的絕對(duì)速度，是t時(shí)刻并入Q的部分質(zhì)量的絕對(duì)速度。則是內(nèi)離開Q的質(zhì)量

是內(nèi)并入Q的質(zhì)量，則變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是從0到t

時(shí)刻離開Q的質(zhì)量之和，

是從0

到t時(shí)刻并入Q的質(zhì)量之和。而，

v為質(zhì)點(diǎn)Q留下部分質(zhì)心的絕對(duì)速度。稱為廣義密歇爾斯基方程。1)若

，即只有分離質(zhì)量，沒有并入質(zhì)量，則2)若

，即只有并入質(zhì)量，沒有分離質(zhì)量，則討論方程火箭是典型的例子。3)若且，則即當(dāng)沒有并入質(zhì)量，只有分離質(zhì)量，并且其絕對(duì)速度為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于外力。4)若

且

，則即當(dāng)沒有并入質(zhì)量，只有分離質(zhì)量，并且其相對(duì)速度為零時(shí)，質(zhì)系動(dòng)量定理的形式與常質(zhì)量系統(tǒng)相同。注意：這個(gè)結(jié)論對(duì)一般變質(zhì)量系統(tǒng)不成立。例1雨滴開始下落時(shí)的質(zhì)量為m0，在下落過程中，單位時(shí)間內(nèi)凝結(jié)其上水汽質(zhì)量λ為常數(shù)。不計(jì)空氣阻力。求雨滴速度。根據(jù)題意：例2水流流量為q，速度為u，角度為?。開始時(shí)車靜止，質(zhì)量m0，不計(jì)摩擦。求車速度。根據(jù)題意：設(shè)火箭在太空中運(yùn)動(dòng)，不受任何外力作用R=0

其中

是燃料向后噴射的相對(duì)速度，設(shè)與共線，取公共作用線為Ox軸，則例3火箭的運(yùn)動(dòng)若

，則當(dāng)燃料燃完時(shí)（t=T），火箭速度為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)比沖的概念：齊奧爾科夫斯基火箭公式。例4：鏈條自由下落

已知：鏈條的密度、長(zhǎng)度為：ρ、l。

求：鏈條自由下落時(shí)，磅秤的指示。

磅秤指示為已落于磅秤上的鏈條重量的三倍。解法一：考慮已落到磅秤上的鏈條為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，加入質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度與相對(duì)速度均為

。由于鏈條下落時(shí)各環(huán)相互不擠壓，故各環(huán)均為自由落體。下落x距離后有解法二：取鏈條整體為研究對(duì)象，應(yīng)用質(zhì)系動(dòng)量定理求解。質(zhì)系動(dòng)量：質(zhì)系動(dòng)量定理：

，所以

N=3ρxg。定義：變質(zhì)量剛體是指質(zhì)點(diǎn)之間距離不變，且至少有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)是變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)系。設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為其中是從零時(shí)刻到t時(shí)刻離開i質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。是從零時(shí)刻到t時(shí)刻并入i質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。變質(zhì)量剛體的運(yùn)動(dòng)我們已經(jīng)給出了變質(zhì)量質(zhì)系的動(dòng)量矩定理：設(shè)O為慣性空間不動(dòng)點(diǎn)，則對(duì)于剛體：分別為分離、并入第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的絕對(duì)速度。設(shè)分別是分離、并入第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的相對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度。則：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的變質(zhì)量剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程為變質(zhì)量剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程為上式第二項(xiàng)成為：注意到：衛(wèi)星消旋問題：設(shè)衛(wèi)星消旋過程中每秒鐘消耗燃料為q，燃料噴射速度為u，初始時(shí)刻衛(wèi)星繞自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和自旋角速度為，假設(shè)衛(wèi)星為環(huán)形剛體。求消旋到零角速度需多少燃料?例5解若很小，則有噴出去的角動(dòng)量等于衛(wèi)星減少的角動(dòng)量。實(shí)際的衛(wèi)星如何？火箭運(yùn)動(dòng)火箭垂直運(yùn)動(dòng)情況：提高火箭特征速度的途徑提高質(zhì)量比，需使用新材料及新結(jié)構(gòu)

鋁合金、鎂合金、鈦合金、高分子材料、復(fù)合材料 薄殼結(jié)構(gòu)、薄壁結(jié)構(gòu)、蜂窩夾層結(jié)構(gòu)、桿系結(jié)構(gòu)：m0/ms

9，雞蛋而言，m0/ms=7煤油+液氧(蘇聯(lián)“衛(wèi)星號(hào)”芯級(jí))ur

=3000m/s偏二甲肼+紅煙硝酸(長(zhǎng)征一號(hào)一.二級(jí))ur

=2500m/s偏二甲肼+四氧化二氮(長(zhǎng)征三號(hào)一.二級(jí))ur

=2900m/s液氫+液氧(長(zhǎng)征三號(hào)三級(jí))ur

=4300m/s提高噴射速度ur，需研制新型推進(jìn)劑按目前的技術(shù)水平，考慮空氣阻力、重力影響，實(shí)際到達(dá)速度小于第一宇宙速度。目前都用多級(jí)火箭入軌。設(shè)，則第一級(jí)第二級(jí)第三級(jí)多極火箭如果假設(shè)火箭在均勻重力場(chǎng)中豎直向上運(yùn)動(dòng)：實(shí)際的火箭如何？思考題除了提高發(fā)動(dòng)機(jī)噴射速度和結(jié)構(gòu)輕量化措施外，有沒有其他提高火箭特征速度的新方法？交叉輸送燃料，從而盡早拋掉無用質(zhì)量。助推器的燃料燃燒的同時(shí)向芯級(jí)交叉輸送燃料，保持芯級(jí)的燃料一直充滿狀態(tài)，助推器提前燒盡，燒盡后拋掉。肖智文（力7）、武迪，運(yùn)載火箭推進(jìn)劑交叉輸送技術(shù)收效分析，力學(xué)與