第十一章三角形11.3多邊形及其內(nèi)角和1．多邊形及其相關(guān)概念（1）多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的___________叫做多邊形．多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……，如果一個多邊形由條線段組成，那么這個多邊形就叫做邊形．（2）相關(guān)概念：①多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的___________．②多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的___________．③連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的___________．2．多邊形的對角線（1）定義：多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的__________，叫做多邊形的對角線．（2）規(guī)律總結(jié)：①從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形．②n邊形共有條對角線．3．凸多邊形與正多邊形（1）凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的___________，那么這個多邊形叫做凸多邊形．（2）正多邊形：各個角都相等，各條邊都___________的多邊形叫做正多邊形．4．多邊形內(nèi)角和定理邊形內(nèi)角和等于___________．正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為．5．多邊形的外角和定理（1）多邊形的外角和為___________．學(xué)科網(wǎng)（2）外角和定理的應(yīng)用：①已知外角的度數(shù)求正多邊形的邊數(shù)；②已知正多邊形的邊數(shù)求外角的度數(shù)．K知識參考答案：1．（1）封閉圖形（2）內(nèi)角，外角，對角線 2．（1）線段3．（1）同一側(cè)（2）相等 4． 5．K—重點(diǎn)（1）多邊形內(nèi)角和定理；（2）多邊形外角和定理．K—難點(diǎn)（1）多邊形內(nèi)角和定理的推理過程；（2）多邊形外角和定理的推理過程．K—易錯多邊形外角和定理的應(yīng)用．一、多邊形及其相關(guān)概念1．多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．2．正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．【例1】下列說法中，正確說法有①由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形；②多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內(nèi)角或外角；③各條邊都相等的多邊形是正多邊形．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】①中缺少“在平面內(nèi)”這一前提，故錯誤．②中多邊形的兩邊所在直線組成的角中有一個角是多邊形的內(nèi)角的對頂角，它既不是多邊形的內(nèi)角，也不是多邊形的外角，故錯誤．③中缺少“各個角都相等”這一條件，故錯誤．故選A．【名師點(diǎn)睛】（1）多邊形有幾條邊就是幾邊形，三角形是最簡單的多邊形．（2）三角形的三個頂點(diǎn)確定一個平面，但邊數(shù)大于3的“多邊形”的頂點(diǎn)有不共面的情況，所以在多邊形的定義中要加上“在平面內(nèi)”這個條件．（3）多邊形用表示它的各個頂點(diǎn)的字母表示，表示多邊形的字母要按頂點(diǎn)的順序書寫，可以按順時針順序，也可以按逆時針順序．二、多邊形的內(nèi)角和1．多邊形內(nèi)角和定理：邊形內(nèi)角和等于．2．多邊形內(nèi)角和定理的推理過程：（1）從邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出條對角線，這條對角線把邊形分成個三角形，又每個三角形的內(nèi)角和是，所以邊形的內(nèi)角和是．（2）在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，連接，，…，，把邊形分成個三角形，這個三角形的內(nèi)角和為，再減去中間的一個周角，即得邊形的內(nèi)角和為．3．多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用：（1）己知多邊形的邊數(shù)，求內(nèi)角和．（2）已知多邊形的內(nèi)角和，求邊數(shù)．（3）求正邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)．【例2】內(nèi)角為108°的正多邊形是A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【名師點(diǎn)睛】一個多邊形的內(nèi)角和取決于它的邊數(shù)，隨著邊數(shù)的增加而增加，并且每增加一條邊，內(nèi)角和就增加．三、多邊形的外角和1．多邊形的外角和定理：多邊形的外角和為．2．多邊形的外角和定理的推理過程：多邊形的每個內(nèi)角同與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加上外角和為，外角和等于．3．多邊形的外角和定理的應(yīng)用：（1）已知正多邊形的外角度數(shù)，求邊數(shù)．（2）已知正多邊形的邊數(shù)，求外角度數(shù)．【例3】十五邊形的外角和等于__________°．【答案】360°【解析】根據(jù)任意多邊形的外角和等于360°，∴十五邊形的外角和等于360°．故答案為：360°．【名師點(diǎn)睛】（1）邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，總是等于．（2）正邊形的每個內(nèi)角都相等，則每個外角都相等，又其外角和為，所以正邊形的每個外角度數(shù)為．1．若一個正多邊形的一個外角為45°，則這個正多邊形的邊數(shù)是A．6 B．7 C．8 D．92．一個多邊形的每一個外角都是72°，那么這個多邊形的內(nèi)角和為A．540° B．720°C．900° D．1080°3．下列圖形中，內(nèi)角和與外角和相等的是A． B． C． D．4．一個正八邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為___________．5．一個多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍多180°，則它的邊數(shù)是___________．6．某正n邊形的一個內(nèi)角為108°，則n=___________．7．若一個多邊形的每個內(nèi)角都等于150°，則這個多邊形是__________邊形；8．一個四邊形三個內(nèi)角度數(shù)分別是80°、90°、100°，則余下的一個內(nèi)角度數(shù)是__________．9．根據(jù)圖中所表示的已知角的度數(shù)，可以求出∠α=__________°．10．如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于__________．11．某多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為1620°，求此多邊形的邊數(shù)．12．多邊形中小于120°的內(nèi)角最多有A．4個 B．5個 C．6個 D．不能確定13．下列說法正確的有①由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形；②多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內(nèi)角或外角；③各條邊都相等的多邊形是正多邊形．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個14．一個多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個多邊形的A．內(nèi)角和增加180° B．外角和增加360° C．對角線增加一條 D．內(nèi)角和增加360°15．如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30°，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)30°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時，一共走了___________米．16．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___________．17．定義：有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形．三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，則∠A的取值范圍__________．18．已知：四邊形ABCD如圖所示，（1）填空：∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．（2）請用兩種方法證明你的結(jié)論．學(xué)！科網(wǎng)19．若一個多邊形的邊數(shù)增加一條，其內(nèi)角和變?yōu)?，求原多邊形的邊?shù)．20．如圖所示，求的度數(shù)．21．（2018?烏魯木齊）一個多邊形的內(nèi)角和是720°，這個多邊形的邊數(shù)是A．4 B．5 C．6 D．722．（2018?臺州）正十邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為A．120° B．135° C．140° D．144°23．（2018?濟(jì)寧）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，則∠P=A．50° B．55° C．60° D．65°24．（2018?寧波）已知正多邊形的一個外角等于40°，那么這個正多邊形的邊數(shù)為A．6 B．7 C．8 D．925．（2018?宿遷）若一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是__________．26．（2018?聊城）如果一個正方形被截掉一個角后，得到一個多邊形，那么這個多邊形的內(nèi)角和是__________．1．【答案】C【解析】因?yàn)槎噙呅瓮饨呛蜑?60°，所以這個正多邊形的邊數(shù)是360°÷45°=8．故選C．3．【答案】B【解析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式（n–2）×180°與多邊形的外角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得（n–2）×180°=360°，解得n=4．故選B．4．【答案】135°【解析】180°–360°÷8=180°–45°=135°．故答案為：135°．5．【答案】9【解析】(n?2)?180°=3×360°+180°，所以(n?2)?180°=6×180°+180°，n?2=7，解得：n=9．則這個多邊形的邊數(shù)是9．故答案為：9．6．【答案】5【解析】．∵正n邊形的一個內(nèi)角為108°，∴正n邊形的一個外角為180°–108°=72°，∴n=360°÷72°=5．故答案為：5．7．【答案】十二【解析】360°÷（180°–150°）=12．故答案為：十二．8．【答案】90°【解析】360°–80°–90°–100°=90°．故答案為：90°．12．【答案】B【解析】∵多邊形的內(nèi)角小于120°，∴外角大于60°，∵360°÷60°=6，∴這個多邊形小于120°的內(nèi)角的個數(shù)最多有5個，故選B．13．【答案】A【解析】①中缺少“在平面內(nèi)”這一前提，故錯誤；②中多邊形的兩邊所在直線組成的角中有一個角是多邊形內(nèi)角的對頂角，它既不是多邊形的內(nèi)角，也不是多邊形的外角，故錯誤；③中缺少“各個角都相等”這一條件，故錯誤．故選A．14．【答案】A【解析】因?yàn)閚邊形的內(nèi)角和是（n–2）?180°，外角和為360°，對角線的條數(shù)為，當(dāng)邊數(shù)增加一條就變成n+1，則內(nèi)角和是（n–1）?180°，內(nèi)角和增加：（n–1）?180°–（n–2）?180°=180°；根據(jù)A．15．【答案】120【解析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，因?yàn)?60°÷30°=12，所以他需要走12次才會回到原來的起點(diǎn)，即一共走了12×10=120米．故答案為：120．16．【答案】360°【解析】∵∠7=∠4+∠6，∠8=∠1+∠5，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°．故答案為：360°．17．【答案】60°<∠A<120°【解析】由“四邊形內(nèi)角和為360°”得，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即∠D=360°–∠A–∠B–∠C，因?yàn)?°<∠D<180°，所以0°<360°–3∠A<180°，即180°<3∠A<360°，即60°<∠A<120°．故答案為：60°<∠A<120°．18．【解析】（1）四邊形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=．（2）證法一：如圖1，連接AC，∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠D+∠DAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠ACD+∠D+∠DAC=360°，∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°．證法二：如圖2，在四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，∵∠PAB+∠ABP+∠APB=180°，∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°，∠DPC+∠PCD+∠CDP=180°，∠APD+∠ADP+∠DAP=180°，∴∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×4–360°=360°．19．【解析】設(shè)原多邊形的邊數(shù)為，則增加一邊后的邊數(shù)為．由多邊形內(nèi)角和定理得，解得，故原多邊形的邊數(shù)為．解答本例也可以利用多邊形邊數(shù)每增加，其內(nèi)角和就增加這一規(guī)律來解，即原多邊形的內(nèi)角和為，若設(shè)原多邊形的邊數(shù)為，則可得方程，解得．20．【解析】連接，設(shè)與的交點(diǎn)為，如圖．在與中，．∴，∴．23．【答案】C【解析】∵在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠ECD+∠BCD=240°，又∵DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故選C．24．【答案】D【解析】正多邊形的一個外角等于40°，且外角和為360°，則這個正多邊形的邊數(shù)是：360°÷40°=9．故選D．25．【答案】8【解析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為