專題02空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)01：空間兩個(gè)向量的夾角

1、定義：如圖已知兩個(gè)非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作OAa，OBb，則么AOB叫做向量a,b

的夾角，記a,b.（特別注意向量找夾角口訣：共起點(diǎn)找夾角）

rr

2、范圍：a,b0,．

特別地，（1）如果a,b，那么向量a,b互相垂直，記作ab．

2

(2)由概念知兩個(gè)非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時(shí)，夾角為0；反向時(shí)，夾角為，故a,b0(或

a,b)a//b(a,b為非零向量)．

(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定0與任何向量a都是共線的，即0a．兩非零向量的夾角是

唯一確定的．

3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）

若兩個(gè)向量a,b所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，

(1)向量夾角的范圍是0<<a,b><，異面直線的夾角的范圍是0<<，

2

(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時(shí)，a,b；當(dāng)兩向量的夾角為時(shí)，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為

2

鈍角時(shí)，a,b.

1

知識(shí)點(diǎn)02：空間向量的數(shù)量積

1、定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cosa,b叫做a，b的數(shù)量積，記作ab；即

ab|a||b|cosa,b．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.

特別提醒：兩個(gè)空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;

2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

(1)利用公式|a|aa可以解決空間中有關(guān)距離或長(zhǎng)度的問題;

ab

(2)利用公式cosa,b可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;

|a||b|

3、向量a的投影

（1）如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面

b

內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c|a|cosa,b向量c稱為向量a

|b|

在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．

（2）如圖(3)，向量a向平面投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面的垂線，垂足分別為A，

B，得到AB，向量AB稱為向量a在平面上的投影向量．這時(shí)，向量a，AB的夾角就是向量a所

在直線與平面所成的角．

4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量a，b的數(shù)量積等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的投影

|b|cosa,b的乘積或等于b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上的投影|a|cosa,b的乘積.

5、數(shù)量積的運(yùn)算：

（1）(a)b(ab)，R.

（2）abba(交換律)．

（3）a(bc)abac(分配律).

知識(shí)點(diǎn)03：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a，b是非零向量，e是單位向量，則

2

①aeeaacosa,e；②abab0；

2ab

③aaa或aaa；④cosa,b；⑤abab

ab

一、單選題

1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則(ABAD)ADAA1（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解.

2

【詳解】

(ABAD)ADAA1ABADABAA1ADADAA100101,

故選：A

2．（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，

uuuruuur

M為棱BC的中點(diǎn)，則DBgAM的值為（）

3

A．1B．1C．2D．2

【答案】A

【分析】將DBAM轉(zhuǎn)化為DBABBM，再利用數(shù)量積的定義求解.

【詳解】由題意可知：

DBAMDBABBMDBABDBBMDBABcosABDDBBMcosπCBD

11

22211.

22

故選：A

3．（24-25高二上·四川宜賓·期末）如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，

ABADAA11,A1ABA1ADBAD60，則BD1AC的值為（）

A．1B．2C．3D．1

【答案】A

【分析】利用平面向基本定理可得BD1ABADAA1，ACABAD，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可

求解.

【詳解】因?yàn)?，?/p>

BD1BAADDD1ABADAA1ACABAD

所以BD1ACABADAA1ABAD

22

ABABADADABADAA1ABAA1AD

22

ABADAA1ABAA1AD

121211cos6011cos601.

故選：A.

4．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）在正三棱錐PABC中，O是VABC的中心，PAAB2，則PO(PAPB)

等于（）

4

10268216

A．B．C．D．

9333

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征求出PO，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.

232

【詳解】在正三棱錐PABC中，O為正VABC的中心，PAAB2，OAOBAB

323

28

則PO平面ABC，而OA,OB平面ABC，于是POOA，POOB，且PO222()2，

33

2816

所以PO(PAPB)PO(POOAPOOB)2PO2.

33

故選：D

5．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一

點(diǎn)，則AEAF（）

1

A．B．C．2D．4

21

【答案】B

【分析】由數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】依題意，有ABACAD2，AB,ACAB,AD60，設(shè)CFCD，

11

則AEAFAB1ACADABACABAD

222

1

ABACcosAB，ACABADcosAB，AD

22

111

22221．

2222

故選:B．

5

6．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知正四棱錐PABCD的所有棱長(zhǎng)均為1，O為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，

11

且POPAPBPCR，則POPB（）

32

5734

A．B．C．D．

121243

【答案】B

【分析】由題意作圖，根據(jù)空間向量的共面定理，求得參數(shù)，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.

【詳解】由題意可作圖如下：

由PAPBPCABBC1，則APBBPC60，

111

由O,A,B,C共面，則1，解得，

326

111

所以POPBPAPBPBPBPCPB

362

1117

11cos601111cos60.

36212

故選：B.

一、單選題

π

1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知空間向量a，b的夾角為，且a2，b1，則a2b與b的夾

3

角是（）

π5ππ3π

A．B．C．D．

6644

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及模長(zhǎng)公式，結(jié)合夾角公式即可代入求解.

π21

【詳解】由a，b的夾角為，且a2，b1得(a2b)bab2b2123，

32

221

a2ba4b4ab4442123，

2

a2bb33

設(shè)a2b與b的夾角為，則cos，

a2bb232

6

π

由于0,π，故

6

故選：A

2．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACABAA12，BC2AE2，

則向量與的夾角是（）

AEA1C

A．30°B．45°

C．60°D．90°

【答案】C

【分析】由線面垂直推導(dǎo)出線線垂直，再利用向量運(yùn)算及夾角公式運(yùn)算求解.

【詳解】∵A1A平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，

∴A1AAB,A1AAC.

∵ACAB2，BC2，∴AB2AC2BC2,ABAC，

又BC2AE2，∴E為BC的中點(diǎn)，

1

∴AEABAC.

2

∵，∴

ACAA12A1C2.

112

∵

AEA1CABACACAA1AC1

22

AEAC1

1

∴cosAE,A1C＝,

AEA1C2

又0AE,A1C180，∴AE,A1C60.

故選：C.

3．（24-25高二上·廣東·期中）已知空間向量a,b,c滿足a2b7c0,abc1，則a與b的夾角為

（）

A．30oB．150C．60oD．120

【答案】C

【分析】先根據(jù)已知化簡(jiǎn)得出a2b7c，再兩邊平方結(jié)合數(shù)量積公式計(jì)算得出夾角余弦進(jìn)而求出夾角.

7

【詳解】設(shè)a與b的夾角為.由a2b7c0，得a2b7c，

222

兩邊平方得a4ab4b7c，所以1411cos47，

1

解得cos.又0,π，所以60.

2

故選：C.

4．（24-25高二下·浙江溫州·開學(xué)考試）如圖，在平行六面體ABCDABCD中，底面ABCD是正方形，

AA2AB，M是CD中點(diǎn)，AABAAD120，則直線AC與BM所成角的正弦值為（）

9515321

A．B．C．1D．

10514

【答案】C

1

【分析】根據(jù)ACABADAA、BMBAADDMADAB，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公

2

式求直線AC與BM所成角的余弦值，進(jìn)而求其正弦值.

【詳解】設(shè)AA2AB2a，AABAAD120，

由ACABADAA，

所以

222

AC(ABADAA)2ABADAA2ABADABAAADAA2a24a24a22a，

1

因?yàn)锽MBAADDMADAB，

2

11225

所以BM(ABAD)2ABADABADa，

242

12121

ACBMABADAAADABADAAADABABAA0，

222

ACBM

所以cosAC,BM0，直線AC與BM所成角的正弦值為1.

ACBM

故選：C

5．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，

π1

PA3,ABCBAP，且cosPAD，則cosPBC（）

36

8

27273737

A．B．C．D．

771414

【答案】D

【分析】利用基底AB、AD、AP表示出向量PC，然后求出PC的模，余弦定理求出PB的長(zhǎng)，在PBC中，利

用余弦定理的變形即可求出cosPBC.

【詳解】如圖連接AC,

則PCACAPABADAP

PC(ABADAP)2AB|2AD|2|AD|22ABAD2ABAP2ADAP

π1

由題可知AB2,PA3,ABCBAP,cosPAD，

36

∴AB|2AD|24,|AP|29,

1

2ABAD2ABADcosBAD2224，

2

1

2ABAP2ABAPcosPAB2236，

2

1

2ADAP2ADAPcosPAD2232，

6

∴PC4494625，

2221

在ABP中,PBABAP2ABAPcosPAB492237,

2

PB7,

PB2BC2PC274537

在PBC中,cosPBC,

2PBBC27214

故選：D.

9

一、單選題

1．（23-24高二上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知空間單位向量a，b，c兩兩垂直，則abc（）

A．3B．6C．3D．6

【答案】A

2

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，可求得abc，由此可得結(jié)果.

【詳解】由題意，abc1，ab0，ac0，cb0，

22222

abcabcabc2ab2bc2ac

1212123，

abc3.

故選：A.

2．（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且

A1ADA1AB60，AA13，則線段AC1的長(zhǎng)為（）

A．5B．27C．29D．30

【答案】C

【分析】根據(jù)AC1ABADAA1及數(shù)量積的運(yùn)算律求出AC1，即可得解.

【詳解】因?yàn)锳C1ABADAA1，

22

所以

AC1ABADAA1

222

ABADAA12ABAD2AA1AB2ADAA1

11

222232222022322329，

22

所以AC129，即線段AC1的長(zhǎng)為29.

故選：C

10

4

3．（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知a，b，c均為單位向量，且ab.若ac，則bc（）

5

7334

A．B．C．D．

4545

【答案】B

4

【分析】先設(shè)a與c，b與c的夾角，再由已知得出cos，分90，90應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)

5

合數(shù)量積的定義計(jì)算求解.

【詳解】設(shè)a與c的夾角為，b與c的夾角為，

444

由ac，知11cos,所以cos，

555

3

當(dāng)90時(shí)，90，所以coscos90sin=1cos2，

5

3

當(dāng)90時(shí)，90+，所以coscos90+sin=1cos2，

5

3

所以bc11cos.

5

故選：B

4．（24-25高二上·河南信陽·期末）如圖，在三棱錐ABCD中，

ABACAD2,BAC90,BADCAD60,M,N分別為BC,AD的中點(diǎn)，則|MN|（）

A．22B．2C．2D．1

【答案】D

111

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可得MN=AD-AB-AC，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得

222

MN.

【詳解】由題意得，ABACAD2，AB,AC=90°，AB,AD60，AC,AD=60°，

11

∴ABAC0，ABAD222，ACAD222.

22

11111

∵M(jìn)N=AN-AM=AD-AB+AC=AD-AB-AC，

22()222

11

2

驏111

∴MN=琪AD-AB-AC

桫222

121212111111

=AD+AB+AC-2鬃ADAB-2鬃ADAC+2鬃ABAC

444222222

=1+1+1-1-1+0=1.

故選：D.

5．（24-25高二上·四川成都·期末）如圖，二面角l的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B，線段AC與BD分別在這

π

個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若AB1，AC2，BD3，二面角l的平面角為，則

3

CD（）

A．2B．22C．23D．25

【答案】B

【分析】根據(jù)式子CDCAABBD，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出CD的長(zhǎng).

【詳解】由條件知CAAB0，ABBD0，CDCAABBD，

ππ

又二面角l的平面角為，則BD,AC，

33

2222

所以CDCAABBD2CAAB2ABBD2CABD

222π

213223cosπ8，所以CD22.

3

故選：B.

一、單選題

2π

1．（23-24高二上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知a4，空間向量e為單位向量，a,e，則空間向量a在

3

向量e方向上的投影向量的模長(zhǎng)為（）

11

A．2B．2C．D．

22

【答案】A

ae

【分析】由空間向量a在向量e方向上的投影數(shù)量為，運(yùn)算即可得解.

e

12

2π

【詳解】由題意，a4，e1，a,e，

3

2

aecos

則空間向量a在向量e方向上的投影數(shù)量為ae31.

42

ee2

所以所求投影向量的模長(zhǎng)為2.

故選：A

rrr

2．（24-25高二下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j,k}下，已知向量ai2j3k，b2i3k，則向量

mab在i上的投影數(shù)量為（）

A．3B．2C．6D．4

【答案】A

rrr

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算用基底{i,j,k}表示m，再求出mab在i在投影數(shù)量即

可.

【詳解】因?yàn)橄蛄縜i2j3k，b2i3k，

因此mabi2j3k+2i3k3i2j6k，

mi(3i2j6k)i3ii2ji6ki3，

mi

所以向量m在i上的投影數(shù)量為3.

|i|

故答案為：A.

3．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形ABCD中，ABDBDC90,AC2BD，則BD在AC

上的投影向量為（）

1111

A．ACB．ACC．BDD．BD

2424

【答案】B

【分析】在四面體中，用向量加法法則表示AC，再結(jié)合投影向量的計(jì)算方法求解.

【詳解】在四面體中，因?yàn)锳BDBDC90,AC2BD，

uuuruuuruuuruuur

設(shè)AC2,BD1，且ABBDBDDC0，ACABBDDC，

2

則ACBDABBDDCBDBD，

2

BDACACBD1

在上的投影向量為

BDAC2ACAC.

ACACAC4

故選：B

4．（24-25高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在八面體ABCDEF中，平面ABE,ACF均垂直于底面ABC，

且AEBEAFCF，則下列向量中與向量EF在平面ABC上的投影向量相等的是（）

13

111

A．ABB．ACC．BCD．BCAC

222

【答案】C

【分析】取P,Q分別為AC,AB的中點(diǎn)，連接FP,EQ,PQ，結(jié)合題意，由面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合共線向量

的定義即可求解.

【詳解】取P,Q分別為AC,AB的中點(diǎn)，連接FP,EQ,PQ，

因?yàn)锳EBEAFCF，所以EQAB,FPAC，

因?yàn)槠矫鍭BE平面ABC，平面ABE平面ABCAB,EQ平面ABE，

所以EQ平面ABC，

同理可得FP平面ABC，

1

所以向量EF在平面ABC上的投影向量為QP，且QPBC.

2

故選：C.

二、填空題

5．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，向量AB在向量A1C1上的

投影向量是，向量AB在平面BDD1B1上的投影向量是．

14

11

【答案】AC；DB.

2112

【分析】空（1），法一：應(yīng)用向量投影的定義求投影向量；法二：根據(jù)投影向量的幾何求法，結(jié)合正方體

性質(zhì)確定投影向量；空（2），連接AC，交BD于點(diǎn)O，應(yīng)用線面垂直的判定證AC平面BDD1B1，再由

投影向量的幾何法確定投影向量.

o

【詳解】空（1）法一：在正方體ABCDA1B1C1D1中，易知AB//A1B1，C1A1B145，

uuuuruuuur2uuuur2

向量與向量夾角為，AB1，，

ABA1C145°A1C1A1B1B1C12

AC2AC1

ABcosAB,AC11111AC

所以向量AB在向量A1C1上的投影向量是1111．

A1C1222

法二：設(shè)B1D1A1C1O1，如圖，由正方體的性質(zhì)得AB//A1B1，ABA1B1，B1O1A1C1，

1

向量AB在向量AC上的投影向量是AOAC．

1111211

空（2）如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，易知ACBD，線面垂直性質(zhì)有ACBB1，

由BB1BDB，BB1,BD平面BDD1B1，則AC平面BDD1B1，

uuuruuur

1

所以AB在平面BDD1B1上的投影向量就是OB，易知OBDB．

2

11

故答案為：AC；DB

2112

6．（23-24高二下·浙江寧波·期末）平面內(nèi)的點(diǎn)、直線可以通過平面向量及其運(yùn)算來表示，數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常

會(huì)用到類比的方法，把平面向量推廣到空間向量，利用空間向量表示空間點(diǎn)、直線、平面等基本元素，經(jīng)

過研究發(fā)現(xiàn)，平面向量中的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算法則同樣也適用于空間向量.在四棱錐PABCD中，

已知ABCD是平行四邊形，ABC120,AB2,BC3，且PA面ABCD，則向量PC在向量BD方向上

15

的投影向量是(結(jié)果用BD表示).

5

【答案】BD

7

【分析】運(yùn)用投影向量的概念，結(jié)合數(shù)量積，基底只是求解即可.

PCBDBDPCBD

【詳解】向量PC在向量BD方向上的投影向量為BD.

|BD||BD||BD|2

運(yùn)用運(yùn)用余弦定理求得|BD|2AB2AD22ABADcos604967.

PCPAACPABCBA，BDBAADBABC，

PCBD(PABCBA)(BABC)，展開化簡(jiǎn)得到，

2222

PCBDPABAPABCBCBABCBABABCPABAPABCBCBA，由于且PA面

ABCD，則PABA0,PABC0,

22

則PCBDBCBA5.

PCBD55

代入BD，得到BD.則向量PC在向量BD方向上的投影向量為BD.

|BD|277

5

故答案為：BD.

7

一、單選題

1．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知空間向量a,b滿足|a|2,|b|1,a(a2b)，則向量a,b的夾角為（）

ππ2π3π

A．B．C．D．

3434

【答案】D

【分析】由a(a2b)，求得ab1，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】由向量|a|2,|b|1，

2

因?yàn)閍(a2b)，可得a(a2b)a2ab0，解得ab1，

ab12

所以cosa,b.

|a||b|212

16

3π

又因?yàn)閍,b0,π，所以a,b.

4

故選：D．

π

2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）三棱錐OABC中，AOBBOCAOC,OA2OB2，若

3

CBOA，則OC（）

A．1B．2C．2D．3

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，表示出CBOBOC，根據(jù)CBOA可得CBOA0，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，

即可求得答案.

【詳解】由題意可知CBOBOC，

而CBOA，故CBOA，CBOA0，

即(OBOC)OA0，所以O(shè)BOAOCOA0，

ππ

則12cos2|OC|cos0，解得|OC|1，

33

即OC1，

故選：A

3．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知a、b、c均為單位向量，a,bb,c90，a,c60，則abc

（）

A．4B．2C．2