PAGE1專題03空間向量基本定理內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：5大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)01：空間向量基本定理1、空間向量基本定理如果向量三個(gè)向量不共面，那么對空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得2、基底與基向量如果向量三個(gè)向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個(gè)集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個(gè)基底都叫做基向量．對基底正確理解，有以下三個(gè)方面：（1）空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底；（2）因?yàn)榭梢暈榕c任意一個(gè)非零向量共線，與任意二個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是；（3）一個(gè)基底是由三個(gè)不共面的向量構(gòu)成的，它是一個(gè)向量組；而一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是不同的概念．知識點(diǎn)02：空間向量的正交分解1、單位正交基底：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)向量兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫作正交基底，特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用表示。2、正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量，均可以分解為三個(gè)向量，使.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解?！绢}型01：空間向量基底的概念及辨析】一、單選題1．（24-25高二上·遼寧·期末）已知、，下列可使非零向量，，組成的集合成為空間的一組基底的條件是（

）A． B．，，兩兩垂直C． D．【答案】B【分析】由基底定義和共面定理即可逐一判斷選項(xiàng)A、B、C、D得解.【詳解】由基底定義可知只有非零向量，，不共面時(shí)才能構(gòu)成空間中的一組基底.對于A，，則共線，由向量特性可知空間中任意兩個(gè)向量是共面的，所以與共面，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)榉橇阆蛄?，，兩兩垂直，所以非零向量，，不共面，可?gòu)成空間的一組基底，故B正確；對于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C錯(cuò)誤；對于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（24-25高二下·河北保定·開學(xué)考試）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可作為基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】根據(jù)基底的定義，結(jié)合空間向量的共面條件，可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，，共面；因?yàn)椋?，，共面；因?yàn)椋?，，共面；因?yàn)椴淮嬖趚，y，使得，所以，，不共面，所以可以作為基底．故選：D.3．（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）在四棱臺中，一定能作為空間向量的一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不共面的三個(gè)向量能作為一組基底一一判斷.【詳解】對A，因?yàn)?所以中三個(gè)向量共面，不能作為空間向量的基底，A錯(cuò)誤；對B，因?yàn)樵谡睦馀_中，，所以中三個(gè)向量共面，不能作為空間向量的基底，B錯(cuò)誤；對C，，且不共面，所以中三個(gè)向量不共面，能作為一組基底，C正確；對D，因?yàn)槿齻€(gè)向量均在平面內(nèi)，所以不能作為作為空間向量的基底，D錯(cuò)誤；故選:C.4．（18-19高二上·吉林長春·期末）若是空間的一組基，且向量，則可以與構(gòu)成空間的另一組基的向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一判斷選項(xiàng)中的向量是否與共面即可，如果不共面就符合題意.【詳解】由題意知，不共面，對于選項(xiàng)A，，故共面，排除A；對于選項(xiàng)B，，故共面，排除B；對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A得，，故共面，排除D．對于C，，向量，而不與共面，故C正確.故選：C.5．（24-25高二上·吉林·期中）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量共面的定義逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對于A選項(xiàng)，有，所以共面；對于B選項(xiàng)，有，所以共面；對于C選項(xiàng)，假設(shè)共面，則有，即，由此有、、共面，與已知條件矛盾，所以不共面；對于D選項(xiàng)，，所以共面.故選：C【題型02：用基底表示向量】一、單選題1．（24-25高二上·江蘇常州·期中）如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)镸為與的交點(diǎn)，所以M是與的中點(diǎn)，所以.故選：D.2．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面體，M、N分別是的中點(diǎn)，且，用表示（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形可得.【詳解】因?yàn)镸、N分別是的中點(diǎn)，所以，所以.故選：D3．（24-25高二下·甘肅金昌·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)空間向量法線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槿庵堑酌鏋橹苯侨切蔚闹崩庵?，所以四邊形為長方形，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，則，又，又，，不共面，所以，所以．故選：D．4．（24-25高二下·廣東·階段練習(xí)）在三棱錐中，分別為線段的中點(diǎn)，為的重心，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由為的重心，得，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】依題意，，故選：A.5．（24-25高二上·福建南平·期末）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面分別交，，于點(diǎn)，，，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空間向量基本定理，用表示，由，，，四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)，使，再轉(zhuǎn)化為，由空間向量分解的唯一性，列方程求其解可得結(jié)論.【詳解】由題意可知，因?yàn)椋?，，四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．故選：B.【題型03：空間向量基本定理中的參數(shù)問題】一、單選題1．（24-25高二上·河南·期中）在四面體中，為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，，又，所以，則.故選：C2．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）設(shè)，，不共面，已知，，，若，，三點(diǎn)共線，則（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】首先表示出，由，，三點(diǎn)共線，可得，則則存在實(shí)數(shù)使得，根據(jù)空間向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，又，，三點(diǎn)共線，所以，則存在實(shí)數(shù)使得，即，又，，不共面，所以，解得，所以.故選：C3．（24-25高二上·陜西·階段練習(xí)）已知四面體中，，，，，為中點(diǎn)，若，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡得到，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，依題意可得，因?yàn)?，所以，解?故選：D.4．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，在四面體OABC中，，，，若，且∥平面ABC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可知，延長與交于，連接，則由題意可得∥，令，，則利用不同的方法將用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得結(jié)果.【詳解】由條件可知，延長與交于，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以∥，令，，則有，，根據(jù)向量基底表示法的唯一性，得解得∥，，，．故選：D．5．（24-25高二上·重慶·期中）在三棱錐中，為的重心，，，，其中，，若交平面于點(diǎn)，且，則的取值范圍為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用四點(diǎn)共面定理可知，若四點(diǎn)共面，則可用表示，且系數(shù)和為1，通過條件表示向量，可得的關(guān)系，代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】連結(jié)并延長交于，因?yàn)闉橹匦?，則為中點(diǎn)，，，四點(diǎn)共面，則，即，因?yàn)椋?，解得：，，，，即，故選：A

【點(diǎn)睛】知識點(diǎn)點(diǎn)睛：若四點(diǎn)共面，且面外一點(diǎn)，則可用表示且系數(shù)和為1.【題型04：利用空間向量基本定理證明線線平行、垂直位置關(guān)系】一、解答題1．（24-25高二上·廣東·階段練習(xí)）如圖所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中點(diǎn).

(1)用，，表示向量；(2)在線段上存在一點(diǎn)，且，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果；（2）利用垂直關(guān)系的向量表示，可得，即可求得.【詳解】（1）易知；（2）易知，又；所以；不妨取，可得，即可得，所以.2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為空間的9個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：

(1)A，B，C，D四點(diǎn)共面，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)；(3)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)空間向量的基本定理即可得證；（2）由，結(jié)合空間向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算可推出，從而得證；（3）由，結(jié)合（2）中結(jié)論與可得證.【詳解】（1）證明：由，，知A，B，C，D四點(diǎn)共面，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．（2）證明：由，，，得，．（3）證明：由（2）知，所以，．3．（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體中，M，N分別在棱上，且，且.(1)求證：共面；(2)當(dāng)為何值時(shí)，.【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何表示可得，進(jìn)而即得；（2）設(shè)，然后利用表示出，再利用向量的數(shù)量積為0可得答案.【詳解】（1）在平行六面體中，連接，如圖，因?yàn)椋?，，所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，即共面；?）當(dāng)時(shí)，，理由如下，設(shè)，且與、與、與的夾角均為，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以，?若，則，即，所以，即，又，所以，即，所以，即時(shí)，.4．（24-25高二上·河南平頂山·階段練習(xí)）如圖.在平行六面體中.(1)如圖1，已知，點(diǎn)是側(cè)面的中心，試用向量表示下列向量：.(2)如圖2，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，請選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄浚C明：平面平面.【答案】(1)，(2)基底向量見解析，證明見解析【分析】（1）結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算即可得解；（2）利用空間向量的線性運(yùn)算得到，，進(jìn)而利用線面平行與面面平行的判定定理即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋c(diǎn)是側(cè)面的中心，所以，.（2）以為基底，則，，，，所以，，則，，又平面平面平面.同理平面，又平面，所以平面平面.【題型05：空間向量的正交分解】一、單選題1．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知平面ABC，，，，則空間的一個(gè)單位正交基底可以為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正交基地的定義可知，三個(gè)向量兩兩互相垂直，且模長為1.【詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，AB、AC都在面ABC內(nèi)，所以，.因?yàn)椋?，，所以，又SA=1，所以空間的一個(gè)單位正交基底可以為.故選：A2．（24-25高二上·福建廈門·階段練習(xí)）在單位正交基底下，已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先表示出，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，又為一組單位正交基底，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A二、多選題3．（23-24高二上·內(nèi)蒙古·期末）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，則（

）A． B．構(gòu)成空間的一個(gè)基底C． D．構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】ACD【分析】A.根據(jù)均為單位向量且兩兩垂直判斷；B.利用基底的定義判斷；C.利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解判斷；D.利用基底的定義判斷.【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，所以均為單位向量且兩兩垂直，所以，A正確．因?yàn)?，所以不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，B錯(cuò)誤．，C正確．因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)，使得，所以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D正確．故選：ACD三、填空題4．（23-24高二上·河南鄭州·期中）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，，若，則.【答案】4【分析】變形得到，從而得到方程組，求出答案.【詳解】，又，所以，故.故答案為：45．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，用基底表示向量.【答案】【分析】根據(jù)空間向量基底的意義表示向量，再借助相等向量列出方程組求解即得.【詳解】設(shè)，依題意，，而空間的基底，則，解得，所以．故答案為：一、單選題1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn).設(shè)，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性關(guān)系即可求解.【詳解】,故選：C2．（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，則空間的一個(gè)單位正交基底可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得到兩兩垂直，再根據(jù)其長度得到空間的一個(gè)單位正交基底.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，．因?yàn)?即兩兩垂直，又，，，所以空間的一個(gè)單位正交基底可以為．故選：B.3．（24-25高二上·山東濰坊·期末）如圖，空間四邊形OABC中，是BC的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】故選：A4．（24-25高二上·山西晉中·期末）在三棱柱中，，，，為平行四邊形對角線的交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：易知.故選：C5．（24-25高二上·河南許昌·階段練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，，則空間向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，則則，則空間向量在方向上的投影向量為，故選：D.6．（24-25高二上·貴州黔東南·階段練習(xí)）如圖，已知空間四邊形，其對角線為、，、分別是對邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且分所成的定比為，現(xiàn)用基向量、、表示向量，設(shè)，則、、的值分別為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】推導(dǎo)出，由題意可得，利用空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，即可得解.【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，由題意可得，則，所以，，則，故，，.故選：D.7．（2025·上海黃浦·二模）如圖，在平行六面體中，設(shè)，，若、、組成空間向量的一個(gè)基底，則可以是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合空間共面向量定理愛空間向量基本定理逐項(xiàng)判斷.【詳解】由，，、、組成空間向量的一個(gè)基，得向量、、不共面，對于A，在平行六面體中，，則與、共面，A不是；對于C，，與、共面，C不是；對于D，，與、共面，D不是；對于B，由，得，不共面，假設(shè)與、共面，則存在，使得，而，則，整理得，從而，此方程組無解，假設(shè)不成立，因此與、不共面，可以是.故選：B8．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知，，是不共面的三個(gè)向量，則下列能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的基本定理結(jié)合共面向量的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，是不共面的三個(gè)向量，對于A，，則向量，，共面，即向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，因此A錯(cuò)誤；對于B，，則向量，，共面，即向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，因此B錯(cuò)誤；對于C，假定向量，，共面，則存在不全為的實(shí)數(shù)，，使得，整理得，而向量，，不共面，則有，顯然不成立，所以向量，，不共面，即向量，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，因此C正確；對于D，，則向量，，共面，即向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，因此D錯(cuò)誤；故選：C．9．（23-24高二上·河北保定·期中）如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足．若四點(diǎn)在同一個(gè)平面上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四點(diǎn)共面可得存在實(shí)數(shù)，使，表示出，根據(jù)系數(shù)對應(yīng)相等列方程求解.【詳解】由平行六面體的特征可得設(shè)，則，可得，又由四點(diǎn)共面可得存在實(shí)數(shù)，使所以，所以，解得.故選：B.二、多選題10．（24-25高二下·陜西渭南·開學(xué)考試）若是空間向量的一組基，則下列各組中能構(gòu)成空間向量的一組基的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量基本定理逐一分析即可.【詳解】對A，因?yàn)槭强臻g向量的一組基，則可以構(gòu)成空間向量的一組基，故A正確；對B，設(shè)，其中，則，無解，則能構(gòu)成空間向量的一組基，故B正確；對C，顯然不存在實(shí)數(shù)使得成立，則能構(gòu)成空間向量的一組基，故C正確；對D，因?yàn)?，則不能構(gòu)成空間向量的一組基，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．（24-25高二上·廣東·期末）已知點(diǎn)分別為正方體中平面和平面的中心，則（

）A．對于任意的，均有共面B．對于任意的，使得C．存在，使得共面D．不存在使得【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量共面定理判斷AC，根據(jù)空間向量基本定理求得值判斷BD．【詳解】對于A，正方體中，，四邊形為平行四邊形，，都在平面內(nèi)，所以對于任意的，都有共面，故A正確；對于，故，故B錯(cuò)誤；對于，則時(shí)，共面，故C正確；對于D，，得，故D錯(cuò)誤．故選：AC．

三、填空題12．（24-25高二上·陜西西安·期末）若是空間的一個(gè)基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)題意，可知存在，使得，結(jié)合空間向量基本定理運(yùn)算求解.【詳解】由不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則存在，使得，即，所以，解得.故答案為：.13．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）在正三棱錐中，點(diǎn)O為三角形BCD的中心，，則．【答案】【分析】取中點(diǎn)N，連接，，利用空間向量的線性運(yùn)算即可得解.【詳解】取中點(diǎn)N，連接，又，.故答案為：.14．（23-24高二上·湖北武漢·期中）設(shè)是空間的一個(gè)單位正交基底，且向量，若，則用基底表示向量．【答案】【分析】設(shè)，從而根據(jù)列出方程組，求出，求出答案.【詳解】設(shè)，則，故，解得：，故故答案為：15．（24-25高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）兩條異面直線，所成的角為，在直線，上分別取點(diǎn)、和點(diǎn)、，使得，且.已知，，，則.【答案】/0.5【分析】由兩邊同時(shí)平方計(jì)算可得答案．【詳解】如圖，兩條異面直線，所成的角為，，，，，，或，，，則，得或（舍去）故答案為：16．（24-25高二上·四川成都·期中）已知三棱錐，如圖所示，為重心，點(diǎn)，為，中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上，，，若四點(diǎn)共面，則．【答案】4【分析】先得到，進(jìn)一步有，結(jié)合四點(diǎn)共面的充要條件即可求解.【詳解】如圖所示：

設(shè)中點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)G為重心，所以點(diǎn)在線段上面，因?yàn)?，所以，所以，若M，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則，解得，故答案為：4.四、解答題17．（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）已知在三棱柱中，，記，.(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用空間向量的基本定理及線性運(yùn)算可得，可得從而證得；（2）由向量的線性運(yùn)算可得